Ứng dụng lí thuyết ổn định vào giải một số bài toán kinh tế

0

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II








ĐÀO THỊ TUYÊN









1
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới T.S
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
giáo Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn

bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.


Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả


Đào Thị Tuyên












2
LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân
dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn
nhiệt tình và chu đáo của T.S Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Luận văn với đề tài “Ứng dụng lí thuyết ổn định vào giải một số bài

toán kinh tế” không có sự trùng lặp.



Người cam đoan


Đào Thị Tuyên












3
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan

2
Mục lục

3
MỞ ĐẦU
4
Chương 1
: GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ
MÔ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN.


1.1. Tóm tắt về lí thuyết ổn định 6
1.2. Sơ lược về các hệ thống kinh tế 12
1.3. Một số mô hình kinh tế cổ điển

13
Chương 2
: VAI TRÒ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ.


2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

19
2.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 21
Chương 3
: ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀO GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ.


3.1. Giới thiệu và xây dựng mô hình kinh tế

25

3.2. Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không 32
3.2.1. Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương

32
3.2.2. Tính hút về điểm biên của nghiệm 33
3.3. Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương

41
3.3.1. Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương

41
3.3.2. Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương 43
3.4. Bài toán áp dụng 51
KẾT LUẬN
64
TÀI LIỆU THAM KHẢO
65

4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên
quan tới lí thuyết ổn định. Vì vậy việc nghiên cứu lí thuyết ổn định đóng vai
trò quan trọng trong lí thuyết toán học và toán học ứng dụng.
Chúng ta biết rằng hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác
động của nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế
ta phải mô hình hóa bằng mô hình toán học. Các mô hình này thường được
mô tả bởi các phương trình sai phân hoặc vi phân. Trong mô hình này điều
được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ổn định của
mô hình ta sử dụng lí thuyết ổn định.

Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô
hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình có
nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết ổn định và ứng dụng của lí thuyết ổn định trong giải một
số bài toán kinh tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân.
Dựa vào lí thuyết ổn định để xét tính ổn định của mô hình kinh tế.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu về lí thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu tính ổn
định và ứng dụng vào một số mô hình kinh tế.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp xét sự ổn định của hệ phương trình vi phân và hệ phương
trình sai phân.

5
6. Giả thuyết khoa học (hoặc: dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không
thuộc chuyên ngành giáo dục học).

6

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ
MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN

1.1
.
Tóm tắt về lí thuyết ổn định

1.1.1
.
Khái niệm

Xét hệ phương trình vi phân thường

),(
.
xtfx 
(1.1)
trong đó
,0

t
Xx

(
X
nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy
X = R
n
),

 
XDXDRf 

:

f
đủ tốt để thoả mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên
.DR 


Định nghĩa 1.1. Giả sử
)(txx



là một nghiệm của hệ (1.1). Nói
nghiệm này ổn định nếu:
0
0

t
,
0


,
0
,( t


) sao cho mọi nghiệm
x(t) của hệ (1.1) thoả mãn:



)()(
00
txtx
thì
0
,)()( tttxtx 



.
Nếu
)(txx


ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại
0
1


, sao cho:



)()(
00
txtx
1



)()(
00
txtx


0

khi
t

thì nghiệm nói trên (và bản
thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận.
Nếu

,
1

có thể chọn không phụ thuộc vào
0
t
thì các nghĩa ổn định trên được
gọi là ổn định đều.
Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết
0)0,(

tf

0

t
.
Khi đó nghiệm
)(txx


thường lấy là nghiệm tầm thường
0)( 

txx
.

7
Nếu tồn tại
0

N
,
0


sao cho:
)(
0
)(
tt
Netx




0
tt


thì nói hệ là ổn định mũ.
1.1.2. Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định

Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản,
có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp
(được trình bày trong chương 3 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính

ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc
các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các
bất đẳng thức mở rộng).
a. Phương pháp thứ nhất Liapunov
Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ
đơn giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự:
- Hệ tuyến tính thuần nhất dừng.
- Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng.
- Hệ tuyến tính.
- Hệ tựa tuyến tính.
- Hệ phi tuyến.
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng
Axx 
.
(1.2)

Xxt

,0
.
Phổ của hệ (1.2) là tập

)(:)( IACA


không khả nghịch}.

8
Nếu

A
là ma trận hằng cỡ
nn 
thì

0)det(:)(

IACA

}.
Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ

(A)
đều có phần thực âm thì hệ
(1.2) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường
0

x
là ổn định
tiệm cận).
- Nếu mọi phần tử của phổ

(A)
đều có phần thực không dương và các
phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định.
- Nếu

(A
) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định.
Tiêu chuẩn Hurwitz. Với

A
là mà trận hằng cỡ n

n, việc tìm phổ

(A) là
khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lí 1.2) để xét
tính ổn định của hệ (1.2).
Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng
0)det(

IA

của hệ (1.2)
là:
n
n
n
n
aaaaaf




1
1
2
210
)(

có dạng chuẩn, nghĩa là
0
0
a
và
0
n
a
. Khi đó mọi phần tử của phổ

(A
)
(hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận
sau xác định dương (các định thức con chính đều dương).
A
=

















 nnnnnn
aaaaaa
aaaaa
aaaa
aa


0
0 0
0 000
5242322212
12345
0123
01

,
trong đó a
s
= 0 khi
0

s
hoặc
ns 
.
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng

xtAx )(
.

. (1.3)

9
Với hệ này, ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây
dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2).
Định nghĩa 1.2. Giả sử
)(txx

là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới
hạn
 
)(ln
1
lim tx
t
x
t 



là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác


của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này.
Định lí 1.3. Nếu
A(t
) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên

R
+


0)(  tCtA

(
0
< C <

)

thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu
hạn. Trong trường hợp này, hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất
thiết khác nhau).
Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm
0)(max
max

i

(
i

là phần tử phổ của
A(t
)).
Hệ tuyến tính
Hệ tuyến tính là hệ có dạng

)()(
.
tfxtAx 
. (1.4)
Nếu
)(tf
là một hàm liên tục, giới nội trên
R
+
thì tính ổn định của hệ (1.4)
được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3).
Hệ tựa tuyến tính
Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng

),()(
.
xtfxtAx 
. (1.5)

10
Giả sử
)(tA
là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc
XO

sao cho với mọi
x
thuộc lân cận có
xtxtf )(),(



,
trong đó
)(t

là một hàm dương nào đó trên
R
+
và
0)(

t

khi t

thì hệ
(1.5) ổn định.
Có thể thay điều kiện
0)(

t

khi t

bởi điều kiện.



0
)( cdtt


.
Hệ phi tuyến
Hệ phi tuyến là hệ có dạng

.00)0,(
),(
.


ttf
xtfx
(1.6)
Giả sử hàm
),( xtf
đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor
),( xtf
tại
0

x

ta có:
xxtgx
x
tf
xtf ),(
)0,(
),( 




,
trong đó
)(0),( xxtg 
. Đặt
x
tf
tA



)0,(
)(
ta đưa hệ (1.6) về dạng
),()(
.
xtgxtAx 
.
Vậy nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận
x
tf

 )0,(
đều âm (hay số mũ cực đại
âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.
b. Phương pháp thứ hai Liapunov
Xét hệ

11

00)0,(
),(
.


ttf
xtfx
(1.7)
trong đó x

X
(hoặc x

R
n
) và
f
đủ tốt.
Ta kí hiệu
K
là lớp các hàm số
(.)a


 RR:
,
trong đó
(.)a
là hàm liên tục đơn điệu tăng trên


R
và
0)0(

a
.
Định nghĩa 1.3. Một hàm
),( xtV
khả vi liên tục theo
t
và theo x trên một
lân cận

R



D



R
nhận giá trị trong

R
.
)(,:
)1,1(
,
DRCVRDRV

xt



được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu:
i)
00)0,(

ttV
.
ii) Tồn tại hàm
a

K
sao cho
DRxtxtVxa 

),(),()(
.
iii)
DRxtxtf
t
V
t
V
xtVd
f









),(,0),(),(
.
Trường hợp
),( xtV
là hàm Liapunov và tồn tại
Kcb

,
sao cho
 
0\,)(),(
,),()(),(
DxRxxcxtVd
DRxtxbxtV
f





thì
),( xtV
được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7).
Định lí 1.5. Nếu hệ (1.7) là hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm
Liapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận đều.

Lưu ý. Định lí trên đây chỉ cho điều kiện đủ về ổn định. Việc tìm hàm
),( xtV
chưa có phương pháp tổng quát và hàm
),( xtV
không duy nhất cho mỗi

12
hệ. Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính
khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm.
1.2. Sơ lược về các hệ thống kinh tế
Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu
tác động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có thể sử dụng
nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải
quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô. Phương pháp mô hình là một trong
những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng
thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống
trong nghiên cứu kinh tế - xã hội. Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một
số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế.
Đặc điểm của các biến số kinh tế
Các biến kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như
những gì thường được dùng trong lí thuyết. Các mối quan hệ qua lại giữa
chúng và quan hệ với các lĩnh vực khác của xã hội như chính trị, văn hoá,
quốc phòng, đối ngoại,… lại càng phức tạp. Điều đó làm cho việc mô tả các
mô hình trở nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn. Để có
thể mô tả được chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng
bằng các quy ước nhất định.
Khi mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề
kinh tế liên quan tới đối tượng, chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu
tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là
các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị

trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo
lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất

13
của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ
dữ liệu liên quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau:
- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp
hoặc gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh
là các biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình.
- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của
các tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán
học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh
còn được gọi là các tham biến.
Tuỳ vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến
nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh.
1.3.

Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân

1.3.1.

Mô hình Harod-Domar

Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những
vấn đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu
cầu về vốn nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư
của nền kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến.
Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một
công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng
số vốn đầu tư cho nó.

Nếu gọi
Y
t
là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn
t
S
là mức tích
luỹ (tiết kiệm) thì
tt
sYS 
,
trong đó
s
là một hằng số và được gọi là tỷ lệ tích luỹ trong GDP.
Đầu tư
I
t
tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta có

14
)(
1

ttt
YYcI
,
trong đó
c
là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra.
Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức là

tt
IS

.
Ta có mô hình tăng trưởng Harod - Domar

tt
sYS

.
)(
1

ttt
YYcI
.
tt
IS

.
Từ ba phương trình trên ta có

ttt
sYYYc


)(
1
. (1.8)
Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ

số hằng. Giải phương trình này ta tìm được
0
)( Y
sc
c
Y
t
t


.
Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào
sc
c

. Do
c
là tỉ số gia tăng vốn -
đầu ra nên
1

c
. Chính vì thế
Y
t
tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu
nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn.
Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng
sc
c


lần thu nhập của giai
đoạn trước
1


tt
Y
sc
c
Y
.
Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là:

15
sc
s
Y
YY
sc
c
Y
YY
g
t
tt
t
tt












1
11
1
1
)(
.
Vậy tỉ lệ tăng trưởng là:
sc
s
g


.
1.3.2.

Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow

Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu
mô hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm
1970. Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do
những đóng góp to lớn của ông về lí thuyết tăng trưởng.

Các giả thiết của mô hình Solow:
- Thời gian là liên tục.
- Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi.
- Không có sự tham gia của Chính phủ hoặc thương mại quốc tế
- Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm.
- Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi
L
L
n
'

.
- Giá trị ban đầu của vốn và lao động là
K
0
, L
0.

- Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas)
 




1
)()()(),()( tLtKtLtKFtY
.
Để đơn giản ta ký hiệu





1
LKY
,
trong đó
K
là vốn,
L
là lao động.
Y
là hàm thuần nhất cấp một vì





1
),(),( LKLKFLKF
.
- Mô hình thoả mãn điều kiện ban đầu

16
0),0()0,()0,0(

LFKFF
.
- Sản xuất cận biên là dương
















.0)1(
,0
11




LK
L
F
LK
K
F

- Sản xuất cận biên giảm, tức là
















.0)1)((
,0)1(
1
2
2
12
2
2




LK
L
F
LK
K

F

Xây dựng mô hình
Đặt
L
Y
y 
là giá trị đầu ra trên một lao động. Khi đó





R
L
K
L
L
L
K
L
LK
L
Y
y 


)()()(
1
1

, (1.9)
trong đó
L
K
R 
là vốn trên một lao động.
Tại mọi thời điểm, đầu tư
sYI

biểu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có phương
trình tích luỹ vốn.
KsYK


'

trong đó tỉ lệ tiết kiệm
s
là hằng số, tỉ lệ trượt giá

là hằng số.
Chia hai vế phương trình trên cho
K
ta có


R
y
s
L

K
L
Y
s
K
K
K
Y
s
K
K ''
.
Ta có
n
K
K
L
L
K
K
K
L
L
KLLK
R
R
L
KLLK
R
L

K
R 




'''
.
'''''
22
'
.

17


R
y
sn
R
R
n
R
R
K
K '''
.
RnsyR )('



. (1.10)
Từ phương trình (1.9) và (1.10) ta được phương trình vi phân của mô hình
Solow.
RnRsR )(' 


.
Đây là phương trình Bernoulli, ta có thể giải phương trình để tìm R theo

,,, ns
.
Phân tích mô hình
Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định
là khi có nguồn vốn
*
R
thoả mãn phương trình

















1
1
***
0)()(
n
s
RRnRs
.
Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là








1
*
)(
n
s
y
.
Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ
lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá.
Ta có

0
1
)(
1
12
1
*

















s
ns
y
,

0

)(
1
)(
2
1
12
**






















n

s
n
s
n
yy
.
Trường hợp đặc biệt: Mô hình sản xuất Cobb-Douglas
Hàm sản xuất Cobb-Douglas chỉ sử dụng hai yếu tố đầu vào là vốn và lao
động có dạng:


LKY 
,

18
trong đó
Y
là sản lượng,

là năng suất toàn bộ nhân tố,
K
là lượng vốn,
L
là
lượng lao động và

,

lần lượt là hệ số co dãn theo sản lượng của vốn và
lao động.

Hệ số

,
là cố định và phụ thuộc vào công nghệ:
- Nếu
1


thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô.
- Nếu
1


thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô.
- Nếu
1


thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô.
Khi đó các yếu tố cơ bản trong mô hình được xác định như sau:
Tỉ lệ tiết kiệm
Y
S
s 
. (
S
là tiết kiệm).
Sản lượng trên một đơn vị lao động
L
Y

y 
, hoặc

s
y 
(với

: là tỉ lệ khấu
hao).
Vốn trên một đơn vị lao động
L
K
k 
.
Lượng tiêu dùng trên mỗi lao động là
ysT )1(

.
Mức vốn thực là
K
Y
P
R
2
1

.
Tiền công thực là
YL
P

W
2
1

.
Tổng thu nhập thực theo K và L lần lượt là

.;
21
L
P
W
GK
P
W
G 






19
CHƯƠNG 2
VAI TRÒ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Chúng ta nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp
một qua ví dụ đơn giản sau đây
Ví dụ. Xét hệ phương trình vi phân






.61)(4)()('
77)(5)(2)('2)('
tytxty
tytxtytx
(2.1)
Kí hiệu





































61
77
,
41
52
,
10
21
,
)(
)(
,
)('

)('
gMJ
ty
tx
v
ty
tx
u
.
Lúc đó hệ (2.1) được viết dưới dạng
,gMvJu

(2.2)
hoặc
dKvIugJMvJJuJ 
 111
,
trong đó
I
là ma trận đơn vị
MJK
1

và
gJd
1

.
Chúng ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (2.2) dưới dạng véc tơ có các toạ độ
không đổi
























0
0
)(
)(
u
y
x

ty
tx
v
,
nên (2.2) trở thành:
























61

77
41
52
1
1
gM
y
x
v


20
=




























15
1
61
77
3
2
3
1
3
5
3
4
. (2.3)
Để tìm nghiệm bù của hệ (2.2), tức là nghiệm thoả mãn
0

MvJu
chúng ta
xét nghiệm có dạng:
rt

metx )(
và
rt
nety )(
. Do đó:
rt
mretx )('
và
rt
nrety )('
.
u =
rt
rt
rt
re
n
m
nre
mre
















và
rt
rt
rt
e
n
m
nre
mre
v

















.

Thay u và v trong các công thức trên vào phương trình Ju + Mv = 0, chúng ta
có
0)(0 




















n
m
MrJe
n

m
Mre
n
m
J
rtrt
. (2.4)
Để (2.4) có nghiệm không tầm thường, chúng ta phải có
0)det(

MrJ
. (2.5)
Phương trình (2.5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2.2) và cho
phép tìm được các nghiệm r
i
cần thiết, từ đó có thể tính được các giá trị m
i
và
n
i
tương ứng thoả mãn (2.4). Trong ví dụ này, ta có:
0
41
522
det)det( 










r
rr
MrJ



r
2
+ 4r + 3 = 0


1
1
r
,
3
2
r
.
Với
1
1

r
ta có
1111

1
1
,30
31
31
AnAm
n
m













với A
1
là tham số có giá trị tuỳ chọn.
Với
3
2

r
, ta có

21
2222
2
2
,0
11
11
AnAm
n
m















với A
2
là tham số có giá trị tuỳ chọn.
Căn cứ các giá trị r

i
, m
i
và n
i
đã xác định được với
2,1

i
như trên đây,
nghiệm bù của (2.2) có dạng

















trtr
trtr

c
c
enen
emem
y
x
21
21
21
21
.
Nên nghiệm tổng quát của (2.2) sẽ là




































15
13
)(
)(
3
21
3
21
tt
tt
c
c
eAeA

eAeA
y
x
y
x
ty
tx
.
Hơn nữa, nếu xét điều kiện ban đầu x(0) = 6 và y(0) = 12 thì các tham số
A
1

và
A
2
sẽ nhận các giá trị thích hợp là:
A
1
= 1 và
A
2
= 2.
Ngoài ra, với các giá trị tuỳ ý của các tham số
A
1
và
A
2
dễ thấy rằng các
đường quỹ đạo thời gian

x(t)
và
y(t)
đều hoặc hội tụ hoặc không hội tụ. Trong
ví dụ trên, do r
1
= -1; r
2
= -3 nên các đường này đều hội tụ về mức cân bằng
ổn định động với
15,1  yx
.
Phương pháp giải hệ phương trình vi phân tuyến tính tổng quát cũng có
thể được trình bày trong ví dụ trên. Ta có thể tự nghiên cứu công thức tìm
nghiệm bù và nghiệm tổng quát trong các trường hợp hệ phương trình vi
phân tuyến tính cấp một có phương trình đặc trưng với các nghiệm thực phân
biệt hay các nghiệm phức.
2.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Để nghiên cứu cách giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một,
chúng ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 2. Xét hệ phương trình sai phân

22








.0
496
1
1
tt
ttt
xy
yxx
(2.6)
Chúng ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (2.6) dưới dạng











































.
4
1
4
1
0
497
1

1
y
x
yx
yx
y
x
y
x
y
x
t
t
t
t
(2.7)
Chú ý: Nếu cách tìm nghiệm riêng trên đây không cho ta đáp số thì
cần tìm nghiệm riêng dưới dạng: x
t
= k
1
t và y
t
= k
2
t.
Để tìm nghiệm bù của (2.6), chúng ta xét dạng nghiệm sau: x
t
= mb
t

và
y
t
= nb
t
. Lúc đó x
t+1
= mb
t+1
và y
t+1
= nb
t+1
. Thay các biểu thức này vào hệ
phương trình thuần nhất tương ứng với hệ (2.6):







0
096
1
1
tt
ttt
xy
yxx

ta sẽ thu được





.0
09)6(
bnm
nmb
(2.8)
Để hệ có nghiệm (
nm,
) không tầm thường, cần xét điều kiện
det








b
b
1
96
=0


b
2
+ 6b + 9 = 0

b
1
= b
2
= -3
. (2.9)
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2.6) và cho
phép tìm được
3
An

và
3
3Am

, với
3
A
là tham số tuỳ chọn. Từ đó, có thể
tìm được công thức tính nghiệm bù của (2.6).


















tt
tt
c
c
tAA
tAA
y
x
)3()3(
)3(3)3(3
43
43

nên nghiệm tổng quát của (2.6) sẽ là:

23







































4
1
)3()3(
4
1
)3(3)3(3
)(
)(
43
43
tt
tt
c
c
tAA
tAA
y
x
y
x
ty
tx
.
Dễ thấy, trong ví dụ này, do
3

21

bb
nên các đường quỹ đạo thời gian
x
t
và y
t
đều phân kì và có dạng dao động tuần hoàn khuyếch đại. Trong
trường hợp tổng quát, các đường quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế x
t
và
y
t
luôn đồng thời hoặc hội tụ hoặc phân kì.
Phương pháp giải trên đây có thể được trình bày dưới dạng các phương trình
ma trận như sau:
Trước hết hệ (2.6) được viết dưới dạng:
dKvIu
y
x
y
x
t
t
t
t






































0
4
01
96
10
01
1
1
(2.10)
trong đó







































0
4
,
01
96
,
10
01
,,

1
1
dKI
y
x
v
y
x
u
t
t
t
t
.
Để tìm nghiệm riêng, chúng ta giả sử
xxx
tt

1
và
yyy
tt

1
thì có
phương trình
dKI
y
x
d

y
x
KI
1
)()(





















=















































4
1
4
1
0
4
16
7
16
1
16
9
16
1
0
4
11
97

1

còn để tìm nghiệm bù, chúng ta xét
1
1
1



















t
t
t
b
n

m
nb
mb
u
và v =
t
t
t
b
n
m
nb
mb















.

24
Thay vào phương trình (2.10) chúng ta thu được
0)( 







n
m
KbI
. (2.11)
Để (2.11) có nghiệm không tầm thường, cần xét điều kiện sau
0960
1
96
det)det(
2









 bb

b
b
KbI

3
21

bb
. (2.12)
Phương trình
096
2
 bb
được gọi là phương trình đặc trưng. Từ đây ta
cũng có
3
An

và
3
3Am

, với
3
A
là tham số tuỳ chọn và nghiệm tổng quát
của (2.10) là







































4
1
)3()3(
4
1
)3(3)3(3
)(
)(
43
43
tt
tt
c
c
tAA
tAA
y
x
y
x
ty
tx
.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm là các số
thực phân biệt (hay là các số phức), chúng ta vẫn có thể dễ dàng viết được
công thức của nghiệm bù cũng như nghiệm tổng quát của hệ phương trình sai

phân tuyến tính cấp một .