đề thi toán thpt tỉnh thanh hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi 21/7/2015
Đề có 01 trang gồm 05 câu
Câu 1 (2 điểm) :
1. Giải phương trình mx
2
+ x – 2 = 0
a) Khi m = 0
b) Khi m = 1
2. Giải hệ phương trình:
5
1
x y
x y
+ =


− =


Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức Q =
4 3 6 2
1
1 1
b
b

b b
+
+ −
−
− +
(Với b
≥
0 và b
≠
1)
1. Rút gọn Q
2. Tính giá trị của biểu thức Q khi b = 6 + 2
5
Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol
(P) : y = x
2
1. Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2)
2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x
1
, x
2
thỏa mãn: 4
1 2
1 2
1 1
3 0x x
x x
 
+ − + =
 ÷

 
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường
tròn (O) tại 2 điểm E, F. Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với
đường tròn (C, D là các tiếp điểm).
1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.
2. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh KM là phân giác của góc CKD.
3. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T. Tìm vị
trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:
5x
2
+ 2xyz + 4y
2
+ 3z
2
= 60
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z.
Hết
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ B
ĐÁP ÁN KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Câu 1:
1. a. Khi m = 0 ta có x -2 = 0 => x = 2
b. Khi m = 1 ta được phương trình: x
2
+ x – 2 = 0 => x
1

= 1; x
2
= -2
2. Giải hệ phương trình:
5
1
x y
x y
+ =


− =

⇔
3
2
x
x
=


=

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;2)
Cấu 2.
a. Rút gọn Q
Q =
4 3 6 2
1
1 1

b
b
b b
+
+ −
−
− +
=
( )
3 1
4( 1) 6 2
1 1 ( 1)( 1)
4 4 3 3 6 2
( 1)( 1)
1
( 1)( 1)
1
1
b
b b
b b b b
b b b
b b
b
b b
b
−
+ +
+ −
− + − +

+ + − − −
=
− +
−
=
− +
=
+
2. Thay b = 6 + 2
2
5 ( 5 1)= +
(Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q đã rút gọn
ta được:
2
1 1
5 2
5 2
( 5 1) 1
= = −
+
+ +
Vậy b = 6 + 2
5
thì Q =
5
-2
Câu 3.
1. Thay x = 0; y = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: n = 3
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x
2

– x – (n - 1) = 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
3
4 3 0
4
n n⇔ ∆ = − ⇔f f
.
Khi đó theo định lý Vi ét ta có:
1 2
1 2
1
( 1)
x x
x x n
+ =


= − −

Theo đề bài: 4
1 2
1 2
1 1
3 0x x
x x
 
+ − + =

 ÷
 
1 2
1 2
1 2
4 3 0
x x
x x
x x
 
+
⇔ − + =
 ÷
 
2
1 2
4
2 0
1
6 0( : 1)
2( ); 3( )
n
n
n n DK n
n TM n L
⇒ + + =
− +
⇔ + − = ≠
⇒ = =
2

Vậy n = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 4.
d
E
F
O
M
C
D
R
T
K
1. HS tự chứng minh
2. Ta có K là trung điểm của EF => OK
⊥
EF =>
·
0
90MKO =
=> K thuộc đương tròn đường kính
MO => 5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
=>
·
·
DKM DOM=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

·
·
CKM COM=

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có
·
·
DOM COM=
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=>
·
·
DKM CKM=
=> KM là phân giác của góc CKD
3. Ta có: S
MRT
= 2S
MOR
= OC.MR = R. (MC+CR)
≥
2R.
.CM CR
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có: CM.CR = OC
2
= R
2
không đổi
=> S
MRT

2
2R≥
Dấu = xảy ra

⇔
CM = CR = R
2
. Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính
R
2
.
Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R
2
thì diện tích tam giác MRT nhỏ
nhất.
Câu 5
Ta có: 5x
2
+ 2xyz + 4y
2
+ 3z
2
= 60
⇔
5x
2
+ 2xyz + 4y
2
+ 3z
2
– 60 = 0
x
∆
= (yz)

2
-5(4y
2
+ 3z
2
– 60) = (15-y
2
)(20-z
2
)
Vì 5x
2
+ 2xyz + 4y
2
+ 3z
2
= 60 => 4y
2
≤
60 và 3z
2
≤
60 => y
2
≤
15 và z
2
≤
20 => (15-y
2

)
≥
0 và
(20-z
2
)
≥
0
=>
x
∆

≥
0
=> x=
2 2
(15 )(20 )
5
yz y z− + − −
≤
2 2
1
(15 20 )
2
5
yz y z− + − + −
(Bất đẳng thức cauchy)
=> x
≤
2 2 2

2 35 35 ( )
10 10
yz y z y z− + − − − +
=
3
=> x+y+z
≤
2 2
35 ( ) 10( ) 60 ( 5)
10 10
y z y z y z− + + + − + −
=
≤
6
Dấu = xảy ra khi
2 2
5 0
1
15 20 2
6 3
y z
x
y z y
x y z z
+ − =

=




− = − ⇔ =
 
 
+ + = =


Vậy Giá trị lớn nhất của B là 6 đạt tại x = 1; y = 2; z = 3.
Hết
4