đề thi lớp 10 môn toán tỉnh nghệ an năm 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016

Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức
1 4
P
x 4
x 2
= −
−
−
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
4
Câu 2: (1,5 điểm)
Số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả dừa và
4 quả thanh long là 120 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao
nhiêu ? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
– 3 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x

1
và x
2
sao cho x
1
2
+ x
2
2
= 4.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi quả tâm O. Điểm A chuyển động trên
đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF của tam
giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) EF.AB = AE.BC.
c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương x, y thỏa mãn x + y
3≥
.
Chứng minh rằng:
1 2 9
x y
2x y 2
+ + + ≥
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.
Môn: TOÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,5 đ) a
(1,5đ)
Điều kiện xác định:
x 0
x 2 0
x 4 0
≥


− ≠ ⇔


− ≠

x 0
x 4
≥


≠

Rút gọn:

1 4

P
x 4
x 2
1 4
P
x 2 ( x 2)( x 2)
= −
−
−
= −
− − +

x 2 4
P
( x 2)( x 2)
x 2
P
( x 2)( x 2)
+ −
=
− +
−
=
− +

1
P
x 2
=
+

. Vậy
1
P
x 2
=
+
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1,0đ)
Với x =
1
4
(tmđk) thay vào biểu thức P
Ta được: P =
1 1 2
1
5
1
2
2
2
4
= =
+
+
Vậy với x =

1
4
thì P =
2
5

0,75
0,25
2
(1,5đ)
Gọi x (nghìn đồng) là giá mỗi quả dừa
và y (nghìn đồng) là giá mỗi quả thanh long.
Điều kiện: 0 < x < 25; 0 < y < 25.
Vì số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng
Nên ta có phương trình x + y = 25 (1)
Do số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn
đồng, do đó ta có phương trình 5x + 4y = 120 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

x y 25
5x 4y 120
+ =


+ =

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

5x 5y 125
5x 4y 120
+ =

⇔

+ =


x 20
(tmdk)
y 5
=

⇔

=

Vậy giá mỗi quả dừa là 20 nghìn đồng và giá mỗi quả thanh long
là 5 nghìn đồng.
0,25
3
(2,0 đ)
a
(1,0đ)
Thay m = 2 vào phương trình (1), ta được:
x
2

+ 2(2 + 1)x + 2
2
– 3 = 0
⇔
x
2
+ 6x + 1 = 0
Ta có:
'∆ =
3
2
- 1 = 8 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
= - 3 - 2
2
2; x 3 2 2= − +
Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là:
S =
{ }
3 2 2; 3 2 2− − − +
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1,0đ)
Ta có:
/

∆
= (m + 1)
2
– m
2
+ 3
= m
2
+ 2m +1 – m
2
+ 3
= 2m + 4
Để phương trình (1) có 2 nghiệm
' 0 2m 4 0 m 2
⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
(4)
Theo hệ thức vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
x x 2(m 1) (2)
x .x m 3(3)
+ = − +



= −


Theo bài ra, ta có:

2 2
1 2
4+ =x x

⇔
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4 (*)
Thay (2) và (3) vào (*), ta được:
[ ]
2
2
2(m 1) 2(m 3) 4− + − − =

⇔
4(m + 1)
2
– 2(m
2
– 3) = 4

⇔

4m
2
+ 8m + 4 – 2m
2
+ 6 – 4

= 0

⇔
m
2
+ 4m + 3

= 0
Phương trình có dạng: a - b +c = 1 - 4 + 3 = 0
⇒
PT có 2 nghiệm: m
1
= - 1(TMĐK 4); m
2
= - 3 (KTMĐK 4)
Vậy với m = - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho
x
1
2
+ x

2
2
= 4.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3,0đ)
Vẽ
hình
đúng

N
M
H
O
F
E
C
B
A
0,5
a
Ta có:
·
0
BEC 90 (gt)=

·
0
BFC 90=
(gt)
Xét tứ giác AFDE có
·
·
0
BEC BFC 90= =
⇒
Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn (Vì có hai đỉnh E và F kề
nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90
0
)
0,25
0,25
0,5
b Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (cm câu a)
·
·
0
BCE BFE 180⇒ + =
(Tính chất tứ giác nội tiếp)
Mà
·
·
0
EFA BFE 180+ =
(Vì hai góc kề bù)
Suy ra:

·
·
AFE BCE=
Xét
EFA và BCA∆ ∆
có:
·
BAC
chung

·
·
AFE BCE=
(cm trên)

⇒
EFA∆

BCA
∆
(g.g)

⇒
EF AE
EF.AB AE.BC
CB AB
= ⇒ =
0,25
0,25
0,25

0,25
c
Ta có:
·
0
HEA 90 (gt)=
;
·
0
AFH 90=
(gt)
Xét tứ giác AFDE có
·
·
0
HEA AFH 180+ =
⇒
Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn (Vì có tổng 2 góc đối diện
bằng 180
0
)
Do đó r bán kính đường tròn ngoại tiếp
AEF∆
là r =
1
AH
2
(1)
Vẽ đường kính AN của đường tròn (O)
Khi đó:

·
0
ACN 90=
(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

NC AC⇒ ⊥
mà
BE AC(gt) NC / /BE hay NC / /BH (2)⊥ ⇒

·
0
ABN 90=
(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

NB AB⇒ ⊥
mà
CF AB(gt) NB / /CFhay NB / /CH(3)⊥ ⇒
Từ (2) và (3) suy ra: Tứ giác BHCN là hình bình hành.
Gọi M là giao điểm của BC và HN
M⇒
là trung điểm của BC;
của HC (Tính chất hình bình hành)
Xét
NAH∆
có OA = ON = R (R là bán kính đường tròn (O) cũng
là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
MH = MN (cmt)
⇒
OM là đường trung bình của
NAH∆

1
OM AH (4)
2
⇒ =
Từ (1) và (4) suy ra: OM = r
Mặt khác:
EFA∆

BCA∆
(cm câu b)

⇒
EF AE AF r EF r
hay
BC AB AC R BC R
= = = =

r.BC
EF
R
⇒ =
(5)
Từ (4) và (5)
OM.BC
EF
R
⇒ =
không đổi (vì OM; BC và R không
đổi do O, B, M, C cố định)

Vậy Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động.
0,25
0,25
5
(1,0đ)
Ta có:
1 2
x y
2x y
+ + +
1 1 1 2 1
x y (x y)
2 x 2 y 2
 
 
= + + + + +
 ÷
 ÷
 
 

1 1 1 2 1
.2 x. 2 y. .3
2 x 2 y 2
≥ + +
= 1 + 2 +
3
2
=
9

2
(BĐT côsi và x + y
3
≥
)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
1
x
x
x 1
1 2
y
y 2
2 y
x y 3

=


=


= ⇔
 
=



+ =



Vậy
1 2 9
x y
2x y 2
+ + + ≥

⇔
x= 1 và y = 2 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25

Hồ Văn Oai giáo viên trường THCS quỳnh Xuân, Thị xã Hoàng Mai, Nghệ an.
.