Đề thi học sinh giỏi cấp THPT tỉnh Lâm Đồng năm 2010 - 2011 - Hệ bổ túc môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG LỚP 12 GDTX NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN
(Đề thi có 01 trang) Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18/02/2011
Bài 1 (5 điểm)
Cho hàm số
3
3 2= − +y x x
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;4).
3. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
3
3 2
− + =
x x m
.

Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình
2
sin 2 2cos sin cos 1 0
− + + + =
x x x x
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải bất phương trình
− − ≥
x x
2
log (8 7.2 5) 0

Bài 4 ( 2 điểm)
Giải hệ phương trình

+ − − =

+ =

3 2
2 2
x x 2y 2x y 0
x y 5
Bài 5 (3 điểm)
Tính tích phân
6
0
1 cos
cos
x
I dx
x
π
+
=
∫
Bài 6 (3 điểm)
Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng
(P) qua AB cắt cạnh CC’ tại M và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
α
.
1. Tính theo a và

α
thể tích khối đa diện ABB’A’C’M.
2. Xác định giá trị của góc
α
để thể tích khối đa diện ABB’A’C’M bằng 5 lần thể tích
khối chóp M.ABC.
Bài 7 (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(-1;2), B(3;4) và đường thẳng
∆ − − =
: x y 1 0
. Tìm điểm C thuộc đường thẳng
∆
sao cho tổng AC + CB nhỏ nhất

……………HẾT………….
Họ và tên thí sinh Số báo danh :
Giám thị 1 : Ký tên :
Giám thị 2 : Ký tên :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG LỚP 12 GDTX NĂM 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN GDTX
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
Bài 1
5 điểm
1.1
(2điểm)
TXĐ D = R ,

2
' 3 3= −y x
.
' 0 1= ⇔ = ±y x
0,5
Cực đại(-1 ; 4) , cực tiểu (1; 0) .
lim
x
y
→±∞
= ±∞
0,5
Bảng biến thiên
+
-
+
0
4
-1
1
0
0
+
∞
-
∞
+
∞
-
∞

y
y'
x
0,5
Đồ thị 0,5
1.2
(2 điểm)
Gọi k là hệ số góc của đường thằng d
(d): y = k(x-2)+4
0,5
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm
3
2
3 2 ( 2) 4
3 3
x x k x
k x

− + = − +

= −

0,5
2
( 2) ( 1) 0x x− + =
2
1
x
x
=


⇔

= −

0,5
x= 2 suy ra k = 9 , PTTT là y = 9x - 14
x = -1 suy ra k = 0 , PTTT là y = 4
0,5
1.3
(1 điểm)
Vẽ đồ thị
3
3 2y x x= − +
f(x)=abs(x^3-3x+2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
0,5
Số nghiệm của
3

3 2− + =x x m
là số điểm chung của đồ thị (C
1
):
3
3 2= − +y x x
và đường thẳng y = m
Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi y = m và (C
1
) có hai điểm
chung
0,25
m = 0 hoặc m > 4
0,25
Bài 2
(3 điểm)
2
1 cos2
sin 2 2. sin cos 1 0
2
x
x x x
+
− + + + =
0,5
sin 2 sin (cos2 cos ) 0x x x x+ − − =
0,5
3 3
2sin cos 2sin sin 0
2 2

x x x x
x x
+ =
0,5
3
sin (cos sin ) 0
2 2
x x x
x
+ =
0,5
3 2
sin 0 ( )
3
x k
x k Z
x
π
= ⇔ = ∈
0,5
cos sin 0 2 ( )
2 2 2
x x
x l l Z
π
π
+ = ⇔ = − + ∈
0,5
Bài 3
(2 điểm)

Bất phương trình tương đương với
8 7.2 5 1
x x
− − ≥
0,5
2
(2 1)(2 2 6) 0
x x x
+ − − ≥
0,5
2 2
2 3
x
x

≤ −

≥

0,5
2
log 3x ≥
0,5
Bài 4
2 điểm
2
2 2
( 1)( 2 ) 0
5
x x y

x y

+ − =

+ =

0,5
2 2
2 0 (1)
5 (2)
x y
x y
− =


+ =

0,5
Thay x = 2y vào (2) được y
2
= 1 0,5
Nghiệm (2;1 ) và (-2;-1) 0,5
Bài 5
3 điểm
6 6
0 0
1
cos
I dx dx
x

π π
= +
∫ ∫
0,5
Tính
6
1
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
−
∫
.Đặt t = sinx ta có
1
2
1
2
0
1
dt
I
t
=
−

∫
0,5
1
2
1
0
(1 )(1 )
dt
I
t t
=
− +
∫
=
1
2
0
1 1 1
2 1 1
dt
t t
 
+
 ÷
− +
 
∫
0,5
( )
1

1
1
ln 1 ln 1
2
2
0
I t t= − − + +
0,5
1
1
ln3
2
I =
0,5
Tính
6
2
0
6
I dx
π
π
= =
∫
. Suy ra
1
ln3
6 2
I
π

= +
0,5
3
Bài 6
(3 điểm)
Hình vẽ
I
M
C'
B'
A'
C
B
A
6.1
2 điểm
3
tan
2
a
MC
α
=
0,5
2 3
.
1 3 3
. . tan tan
3 4 2 8
M ABC

a a a
V
α α
= =
0,5
3
3
4
ltru
a
V =
0,5
( )
3
' '
2 3 tan
8
ABB A CM
a
V
α
= −
0,5
6.2
1 điểm
' ' '
.
2 3 tan
5 5
tan

ABB A C M
M ABC
V
V
α
α
−
= ⇔ =
0,5
0
3
tan 30
3
α α
= ⇔ =
0,5
Bài 7
(2 điểm)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5
10
C

B
A'
A
Nhận xét hai điểm A,B nằm cùng phía đối với
∆
0,25
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
∆
, I là giao điểm của AA’ với
∆
thì C là giao điểm
của
∆
và A’B
0,25
Thật vậy , với mọi C’
∈∆
thì AC’+C’B=A’C’+C’B
'A C CB AC CB≥ + = +
0,25
AA’ : x + y – 1 = 0 0,25
I(1 ; 0) 0,25
A’(3;-2) 0,25
A’B : x – 3 = 0 0,25
C(3;2) 0,25
………….HẾT…………
4