Đề thi thử môn TOÁN THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 năm 2015 và đáp án

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 20142015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phú t, không kể thời gian phát đề.
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
= - +
3 2
3 2 y x x
có đồ thị
( )
C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
( )
C
b) Tìm các giá trị của m để phương trình - = +
3 2
1 3 1
2 2 2
x x m có ba nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho tan 2
a
= - và
2

p
a p
< < . Tính
2sin 3cos
5cos 7sin

a a
a a

+
-
:
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện :
( ) ( )
2 5 3 1z i z i z + - = + +
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình :
( ) ( )
2
3 3
2log 1 5log 1 2 0x x - - - + =
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
( )
3
2
0
2cos .I x x x dx

p

= +
ò
.
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình :
20 5 4 96
4 13 13 10

x y xy
x y
ì
+ - =
ï
í
+ + + =
ï
î
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
( )
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
- + +
= =
-
và mặt phẳng
( ) : 2 0P x y z + + + =
. Hãy viết phương trình đường thẳng
( )
D
đi qua
( )
3; 0; 3M -
,cắt
đường thẳng
( )

d và mặt phẳng
( )
P lần lượt tại
A
và
B
sao cho
M
là trung điểm .AB
Câu 7 (1,0 điểm).
Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
¢ ¢ ¢
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại A và
, 2AB a BC a = =
. Biết hình
chiếu của B
¢
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
và góc
giữa đường thẳng
CC
¢
và mặt phẳng

( )
A B C
¢ ¢ ¢
là
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa đường
thẳng HB
¢
và mặt phẳng
( )
ABB
¢
theo a .
Câu 8 (1,0 điểm ). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc
( )
Oxy , cho tam giác ABC. Đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là
3 5 8 0, 4 0x y x y + - = - - =
.
Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
điểm
( )
4; 2D -
. Lập phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không
lớn hơn 3.
Câu 9 (0,5 điểm). Cho một đa giác đều 8 cạnh . Chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác. Tìm
xác suất để chọn được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất ?
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 3a b c + + = .
Chứng minh rằng :

2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
+ + ³ + +
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:………………
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t m󰗘i ngày!
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
TRƯỜNG THPTCHUYÊN VĨNH PHÚC
H Ư Ớ N G DẪN CHẤM ĐỀTHI T H P T Q U Ố C GIA
NĂM HỌC20142015
Môn:T O Á N (Gồm6 trang)
C â u Đáp á n Điểm
a) 1 , 0
Tậpx á c định:D = ¡ . V ớ i m=1ta c ó
= - +
3 2
3 2 y x x
Tac ó
2
3 6y'x x. = - ;
0
0
2

x
y'
x
=
é
= Û
ê
=
ë
0 , 2 5
H à m số đồngbiếntrên các k h o ả n g ( ;0) -¥ v à (2;) + ¥ ;nghịchbiếntrên khoảng
(0;2).
Cực trị:H à m số đạtc ự c đạitạix = 0,y
CĐ
= 2;đạtc ự c tiểu tạix = 2,y
CT
=2.
Giớih ạ n : lim , l i m
x x
y y
®+¥ ®-¥
= +¥ = -¥
0 , 2 5
B ả n g biếnthiên:
x - ¥ 0 2 + ¥
y' + 0  0 +
y 2
+¥
-¥ 2
0 , 2 5

1 .(2,0đ)
Đồ thị:
f(x)=(x^3)3*(x)^2+2
 8  6  4  2 2 4 6 8
 5
5
x
y
0 , 2 5
b)
1 , 0
Phươngtrình
( )
- = + Û - + = +
3 2 3 2
1 3 1
3 2 2 3 *
2 2 2
x x m x x m
0 , 2 5
Phương trình
( )
* chính là phươngtrình h o à n h độgiaođiểmc h u n g g i ữ a h a i đường
( )
( ) ( )
( )
3 2
3 2,
2 3 ,
y x x C

y m d d Ox
ì
= - +
ï
í
= +
ï
î
số g i a o điểmg i ữ a
( )
d v à
( )
C chínhl à số n g h i ệ m pt
( )
*
0 , 2 5
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t m󰗘i ngày!
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Nhỡn vo th ta thy phng trỡnh
( )
*
cú ba nghim phõn bit
5 1
2 2 3 2
2 2
m m - < + < - < < -
0,25
Vy phng trỡnh - = +
3 2
1 3 1

2 2 2
x x m cú ba nghim phõn bit
5 1
2 2
m - < < -
0,25
a)
0,5
sin
2 3
2sin 3cos 2tan 3
cos
sin
5cos 7sin 7 tan 5
5 7
cos
A A

a
a a a
a
a
a a a
a

ì +
+ +
= = =
- - +
- ì

0,25
2.(1,0)
Thay tan 2a = -
( )
( )
2. 2 3
1
7. 2 5 19
A
- +
ị = = -
- - +
0,25
b)
0,5
t
( )
2
, , , 1z x yi x y i z x yi = + ẻ = - ị = - Ă
. Thay vo ng thc ta c
( ) ( )( ) ( )
3 4 1 3 4 1 1 3 4 4 3z i z x yi i x yi x yi x y x y i = + + - = + + + - - = - + +
0,25
1
1 3 4
1 1 1
6
2
4 3 1 6 6 6
6

x
x x y
z i z
y x y
y
ỡ
= -
- = -
ỡ
ùùù
ị = - + ị =
ớ ớ
- = +
ợ
ù
=
ù
ợ
0,25
0,5
3 .(0,5 )
.iu kin :
1 0 1x x - > >
t
( )
3
log 1t x = -
. Pt ó cho tr thnh :
2
1

2 5 2 0 2
2
t t t t - + = ị = =
0,25
ã
( )
3
2 log 1 2 1 9 10t x x x = ị - = - = =
ã
( )
1
2
3
1 1
log 1 1 3 1 3
2 2
t x x x = ị - = - = = +
Pt cú hai nghim
10 , 1 3x x = = +
0,25
1,0
( )
( )
3 3 3
2 2
1 2
0 0 0
2cos 1 cos 2I x x xd x x dx x xdx I I

p p p

= + = + + = +
ũ ũ ũ
0,25
4 .(1,0 )
33
3
2 3
1
0
0
1
3 81
I x dx x

p
p
p

= = =
ũ
0,25
( )
3
2
0
1 cos 2I x xdx

p

= +
ũ
. t
( )
1
1 cos 2
sin 2
2
du dx
u x
dv x dx
v x x
=
ỡ
=
ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
= +
= +
ù
ợ
ù
ợ
2 2
3
3
3
2

0
0
0
1 1 3 1
sin 2 sin 2 cos 2
2 2 9 12 2 4
x
I x x x x x dx x

p
p
p
p p

ổ
ử
ổ ử ổ ử
= + - + = + - - =
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ
ũ
2
3 1
18 12 8

p p

+ -

0,25
Vy:
3 2
3 1
81 18 12 8
I
p p p

= + + -
0,25
DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy!
Tham gia ngay! Group FB: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
1,0
Gii h phng trỡnh :
( )
( )
20 5 4 96 1
4 13 13 10 2
x y xy
x y
ỡ
+ - =
ù
ớ
+ + + =
ù
ợ
iu kin

4 13 0
13 0
0 4 . 0(*)
x
y
xy x y
+
ỡ
ù
+
ớ
ù
ị
ợ
Khi h cú nghim
( )
x y t
( ) ( ) ( )
( )
*
4 0
1 5 4 2 4 . 96 0
0
x
x y x y
y

ỡ
ị + = + > ắắđ
ớ

ợ
0,25
5 .(1,0 )
T phng trỡnh
( )
1
theo bt ng thc AMGM ta cú
( ) ( )
5 4 2 4 . 96 4 96 4 24 (3)x y x y x y x y + = + Ê + + ị + Ê
0,25
T phng trỡnh
( )
2 theo bt ng thc Cauchy Schwarz ta cú
( ) ( )
10 4 13 13 2 4 26 4 24 4x y x y x y = + + + Ê + + +
0,25
( ) ( )
4 3
3 & 4 4 24
4 24 12
x y x
x y
x y y
= =
ỡ ỡ
ị + =
ớ ớ
+ = =
ợ ợ

Th li nghim ta tm h p trỡnh. Vy hpt cú mt nghim duy nht
( ) ( )
312x y =
0,25
1,0
Gi im
(
) ( )
3 2 2 1A t t t d + - + - - ẻ
v im B i xng vi A qua
( )
3 0 3M -
( )
3 2 2 5B t t t ị - - - +
0,25
6 .(1,0 )
Do
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 5 2 0 1B P t t t t ẻ ị - + - + - + + = ị =
0,25
( )
5 1 2A ị - -
v
( )
11 4B -
( )
( )
( )
( )
3 2

30 3
: :
1
2 11
3
2
x t
qua M
y t
vtcp u BA
z t
= +
ỡ
-
ỡ
ù ù
ị D ị D = -
ớ ớ
= = -
ù ù
= - +
ợ
ợ
uuur
r
0,25
Vy pt ng thng
( )
3 2
:

3
x t
y t
z t
= +
ỡ
ù
D = -
ớ
ù
= - +
ợ
0,25
1,0
Gi H l trung im ca
( ) ( )
,BC B H ABC gt
Â
ị ^
( )
( )
( )
( )
ã
0
60 , ,CC A B C BB ABC B BH
     Â
= = =
0,25
7 .(1,0 )

0
tan 60 3B H BH a
Â
= = v
2 2
3AC BC AB a = - = ị
2
1 3
.
2 2
ABC
a
S AB AC = =
Suy ra
2
3
.
3 3
. 3
2 2
ABC A B C ABC
a
V BH S a a
  Â
= = ì = ì (vtt)
0,25
Gi M l trung im
( ) ( ) ( )
AB AB B HM ABB B HM
  Â

ị ^ ị ^
.
Do ú
( )
( )
( )
ã
, ,B H ABB B H B M MB H
    Â
= =
0,25
Ta cú
ã ã
1 1
tan tan
2 2
MH
MB H MB H arc
B H
 Â
= = ị =
Â
. Vy
( )
( )
1
, arctan
2
B H
Â

ABB
Â
=
0,25
1,0
DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy!
Tham gia ngay! Group FB: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
MK
H
D
C
B
A
Gi M l trung im ca BC, H l trc tõm tam giỏc ABC, K l giao im ca BC v
AD. Ta kớ hiu ,
d d
n u
uur uur
ln lt l vtpt, vtcp ca ng thng d. Do M l giao im
ca AM v BC nờn ta ca M l nghim ca h phng trỡnh:
7
4 0
7 1
2

3 5 8 0 1 2 2
2
x
x y

M
x y
y
ỡ
=
ùùù
- - =
ỡ
ổ ử
ị -
ớ ớ
ỗ ữ
+ - =
ố ứ
ợ
ù
= -
ù
ợ
AD vuụng gúc vi BC nờn
( )
11
AD BC
n u = =
uuur uuur
, kt hp AD i qua im D suy ra
phng trỡnh ca
( ) ( )
:1 4 1 2 0 2 0AD x y x y - + + = + - = . Ta im K l
nghim ca h phng trỡnh:

( )
4 0 3
3 1
2 0 1
x y x
K
x y y
- - = =
ỡ ỡ
ị -
ớ ớ
+ - = = -
ợ ợ
0,25
8 .(1,0 )
Ta chng minh c K l trung im ca HD nờn
( )
24H .
0,25
Do A l giao im ca AD v AM nờn ta ụ im A l nghim ca h phng trỡnh
( )
3 5 8 0 1
11
2 0 1
x y x
A
x y y
+ - = =
ỡ ỡ
ị

ớ ớ
+ - = =
ợ ợ
Do B thuc BC
( )
4B t t ị - , kt hp vi M l trung im BC suy ra
( )
7 3C t t - - .
Do H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
. 0 2 6 8 2 0 2 14 2 0
7
t
BH BC t t t t t t
t
=
ộ
= - - + - - = - - =
ờ
=
ở
uuur uuur
0,25
Do
( ) ( )
3 2 2 2 , 51t t B C Ê ị = ị -
. Ta cú
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 , 4 0 31 , 01

AB AC
AB AC n n = - = ị = =
uuur uuur uuur uuur
Do ú
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 , 40 31 , 01
AB AC
AB AC n n = - = ị = =
uuur uuur uuur uuur
. Do ú
:3 4 0 : 1 0.AB x y AC y + - = - =
0,25
0,5
9 .(0,5 )
S cỏch chn 2 nh trong 8 nh ca a giỏc l
2
8
C ị s ng chộo ca a giỏc l
2
C
8
8 20- = 20 ị W =
0,25
Gi A l bin c chn c mt ng chộo cú di nh nht.
Ta thy s cỏc ng chộo ca a giỏc u 8 nh cú di nh nht l s cỏc cnh
ca hỡnh vuụng cú 4 nh l cỏc nh ca a giỏc ang xột, cú hai hỡnh vuụng nh
vy
8A ị =
. .Vy xỏc xut c mt ng chộo cú di nh nht l
0,25

DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht mi ngy!
www.DeThiThu.Net
( )
8 2
0,4
20 5
A
P A = = = =
W
1,0
đpcmÛ
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 9 2 9 *ab bc ca ab bc ca
a b c ab bc ca
+ + + + + ³ Û + + + + + ³ .
( Do
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ca
+ + ³ + +
dấu bằng khi
a b c = =
)
0,25
10.(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta được
( )
( ) ( ) ( )

*
1 1 1 3
2VT ab bc ca ab bc ca ab bc ca
ab bc ca abc
= + + + + + = + + + + + +
0,25
( )
2
3
3
3 ab bc ca
abc
³ + + ×
( )
( )
*
3
3
3
3 3 3 3.3.3 9abc a b c VP
abc
³ + + × = = =
.
Dấu bằng xẩy ra khi
1a b c = = =
0,25
Vậy với các số dương , ,a b c thỏa mãn
3a b c + + =
.
Thì

2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
+ + ³ + +
dấu đẳng thức
1a b c Û = = =
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
 Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Kh i chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
 Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
 Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sa i đó không
được điểm.
 Học sinh đư ợc sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
 Trong lời giải câu 7 nếu học sin h không vẽ hình thì không cho điểm.
 Điểm toàn bài tính đến 0,2 5 và không làm tròn.
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t m󰗘i ngày!
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Truy c󰖮p m󰗘i ngày đ󰗄 t󰖤i các đ󰗂 thi th󰗮 THPT Qu󰗒c Gia ( Đ󰖢i H󰗎c ) các môn
TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH m󰗜i nh󰖦t,nhanh nh󰖦t t󰗬 các trư󰗞ng THPT và trung
tâm luy󰗈n thi đ󰖢i h󰗎c trong nư󰗜c.Chúng tôi luôn c󰖮p nh󰖮t đ󰗂 thi th󰗮 m󰗘i ngày v󰖮y nên các b󰖢n
yên,luôn có các đ󰗂 thi th󰗮 m󰗜i nh󰖦t đ󰗄 các b󰖢n tham kh󰖤o.
Ngoài ra còn đăng t󰖤i các tài li󰗈u ph󰗦c v󰗦 sĩ t󰗮 Ôn thi đ󰖢i h󰗎c v󰗜i các chuyên
đ󰗂 trong tâm.
www.DeThiThu.Net