Đề thi thử Toán và đáp án THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT
MÔN: TOÁN LỚP: 12
Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
( )
3 2
2 1 1( ) ,
m
y x m x m C = + - - +
m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1. m = -
b) Tìm m để đường thẳng 2 1y mx m = - + và
( )
m
C cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1 điểm).
a) Giải phương trình
( )
2
3 2 1 2cos sin cos cos . x x x x + - = +
b) Giải phương trình
( )
3 3
3
2 3 1 2log log log . x x - + + = +
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân

2
0
2 1
1
ln
d .
x
x
e
I x
e
-
=
+
ò
Câu 4 (1 điểm).
a) Khai triển và rút gọn biểu thức
2
1 2 1 1( ) ( )
n
x x n x - + - + + - thu được đa thức
0 1
( )
n
n
P x a a x a x = + + +
. Tìm
8
a
, biết rằng

n
là số nguyên dương thoả mãn
2 3
1 7 1
n n
n C C
+ =
.
b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề
thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án đúng,
làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45
câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của Thọ không dưới
19 điểm.
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp
. S ABC
có đáy là tam giác vuông tại A, 2 , AB a =
. AC a =
Các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2. a Gọi , M H lần lượt là trung điểm của AB và
BC ,
I
là điểm thỏa mãn
1
3
. BI AC =
uuur uuur
Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng MH và . SI
Câu 6 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục , Oxyz cho các điểm
( ) ( )

0 0 1 0 1 0; ; , ; ; . A B
Viết
phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , A B đồng thời cắt trục Oz tại điểm C sao cho tứ diện
OABC có thể tích bằng
1.
Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đường trung tuyến
AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13 6 2 0, x y - - = 2 14 0. x y - - = Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là
( )
6 0; . I -
Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình
14
2 5 11
2
. x x
x
+ > +
-
Câu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
1. a b c + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2
2
2 2
3
45 5
( ) .
( ) ( )
a b

P a b
b c bc c a ca
= + - +
+ + + +
HẾT
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
T R Ư Ờ N G T H P T CHUYÊN
HÙNGV Ư Ơ N G
H Ư Ớ N G DẪNCHẤM MÔN T O Á N
ĐỀ T H I KHẢOSÁT LỚP 12
Câu Nội dung Điểm
1
a) Khi
1m = -
h à m số t r ở thành
3 2
3 2. y x x = - +
1)Tậpxác định:. R
0 , 2 5
2)Sự biếnthiên:
* Giớih ạ n tại v ô cực:Tacó
lim
x
y
®-¥
= -¥
v à
lim .
x

y
®+¥
= +¥
* Chiềubiếnthiên:Tacó
2
3' 6 ; y x x = -
0
' 0
2
.
x
y
x
=
é
= Û
ê
=
ë
Suy ra:
hàms ố đồngbiếntrênmỗikhoảng
( ) ( )
0 2; , ; ; -¥ + ¥ n g h ị c h b i ế n trên khoảng
( )
0 2; .
* Cực trị:
H à m số đạtc ự c đạitại 0 2, ,
C
x y = =
Đ

h à m số đạtcực tiểu tại 2 2, .
CT
x y = = -
0 , 2 5
* Bảng biếnthiên:
0 , 2 5
3)Đ ồ thị:
0 , 2 5
b)X é t phươngtrìnhhoành độg i a o điểm
( )
3 2
2 1 1 2 1( ) * x m x m mx m + - - + = - +
3 2
2 1 2 0( ) x m x mx Û + - - =
0 , 2 5
0 1; x x Û = =
h o ặ c 2x m = - .
0 , 2 5
x
O
2
y
2 -
2
x
'y
y
0
¥ - ¥ +2
2

¥ -
¥ +
2 -
+
–
0
0
+
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Yờu cu bi toỏn tng ng vi phng trỡnh
( )
* cú ba nghim phõn bit
0,25
Do ú
0m ạ
v
1
2
m ạ -
tha món bi toỏn.
0,25
2
a) Phng trỡnh ó cho tng ng vi
s
2 2
2 3 2 1 2in cos sin .cos cos sin x x x x x x + + - = +
0,25
2 3 2 2s in cos sin x x x - =
1 3

2 2
2 2
sin cos sin x x x - =
0,25
2 2
3
2
3
2 2
3
sin sin
x x k
x x
x x k

p
p
p
p
p p

ộ
- = +
ờ
ổ ử
- =
ờ
ỗ ữ
ố ứ
ờ

- = - +
ờ
ở
0,25
2
3
4 2
9 3
.
x k
k
x

p
p
p p

ộ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở
0,25
b) iu kin:
2. x >
Phng trỡnh ó cho tng ng vi

( ) ( )
3 3 3
2 3 6log log log x x - + + =
0,25
( )( )
( )( )
3 3
2 3 6
2 3 6
log log x x
x x
- + =
- + =
0,25
2
12 0 3x x x + - = =
hoc
4x = -
.
0,25
So sỏnh vi iu kin, thu c nghim:
3. x = 0,25
3
t
d d .
x x
e t e x t = ị =
i cn:
0 1 2 2, ln . x t x t = ị = = ị =
0,25

Suy ra
( )
( )
2 2
1 1
2 1
3 1
1 1
dt
d
t
I t
t t t t
-
ổ ử
= = -
ỗ ữ
+ +
ố ứ
ũ ũ
0,25
( )
( )
2
1
3 1ln ln
|
t t = + -
0,25
=

3 3 4 2ln ln . - 0,25
4
a) Ta cú
2 3
3
1 7 1
2 7 3 1
1 1 2
. !
( ) ( )( )
n n
n
n C C
n n n n n n

ỡ
ù
+ =
ớ
+ =
ù
- - -
ợ
2
3
9
5 36 0
.
n
n

n n

ỡ
=
ớ
- - =
ợ
Suy ra
8
a
l h s ca
8
x
trong khai trin biu thc
8 9
8 1 9 1( ) ( ) . x x - + -
0,25
H s ca
8
x
trong khai trin biu thc
8
8 1( ) x -
l
8
8
8 , C
h s ca
8
x

trong khai
trin biu thc
9
9 1( ) x - l
8
9
9 . C Suy ra
8 8
8 8 9
8 9 89. . . a C C = + =
0,25
b) Bn Th c khụng di 19 im khi v ch khi trong 10 cõu tr li ngu
nhiờn c hai mụn Lớ v Húa bn Th tr li ỳng ớt nht 5 cõu.
Xỏc sut tr li ỳng 1 cõu hi l
1
4
, tr li sai l
3
4
. Ta cú:
0,25
Xỏc sut Th tr li ỳng 5 trờn 10 cõu l
5 5
5
10
1 3
4 4
. ; C
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ
Xỏc sut Th tr li ỳng 6 trờn 10 cõu l
6 4
6
10
1 3
4 4
. ; C
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Tham gia ngay! Group ễn Thi H TON - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
Xác suất Thọ trả lời đúng 7 trên 10 câu là
7 3
7
10
1 3
4 4
. ; C
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xác suất Thọ trả lời đúng 8 trên 10 câu là
8 2
8
10
1 3
4 4
. ; C

æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xác suất Thọ trả lời đúng 9 trên 10 câu là
9
9
10
1 3
4 4
. ; C
æ ö
ç ÷
è ø
Xác suất Thọ trả lời cả 10 câu là
10
10
10
1
C
4
.
æ ö
ç ÷
è ø
Cộng các xác suất trên ta suy ra xác suất Thọ được không dưới 19 điểm là 0,0781.
0,25
5
Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này

chính là trung điểm H của BC.
Do đó
( )
. SH ABC ^
0,25
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC ta có
2 2
4 5. BC a a a = + =
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHB ta có
2
2
5 3
2
4 2
.
a a
SH a = - =
Từ đó suy ra
3
1 1 3 1 3
2
3 3 2 2 6
. . . . .
SABC ABC
a a
V SH S a a
æ ö
= = =
ç ÷
è ø

(đvtt).
0,25
Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó
( ) ( )
( )
( )
( )
, , , . d MH SI d MH SBI d H SBI = =
Kẻ HO vuông góc với BI tại O thì O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của
AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K.
Khi đó
( )
. HK SBI ^
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7 21
73 3
.
a
HK
HK HS HO a a a
= + = + = Þ =
Vậy
( )
21
7
, .
a
d MH SI HK = =

0,25
A
B
S
H
M
K
I
O
E
C
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
6
Gi s
( )
0 0; ; C c suy ra mt phng cn tỡm cú phng trỡnh
1
1 1
.
x y z
c
+ + =
0,25
Ta cú
1 1. . . .| || |
OABC
V OA OB OC c c = = =

.
0,25
Theo gi thit, ta cú 1 1| | . c c = =
0,25
Vy cú 2 mt phng tha món bi toỏn l
1 0x y z + + - =
hoc
1 0x y z + - - =
.
0,25
7
Ta im A l nghim ca h phng trỡnh
( )
2 14 0 4
4 9
13 6 2 0 9
; .
x y x
A
x y y
- - = = -
ỡ ỡ
ị - -
ớ ớ
- - = = -
ợ ợ
0,25
Gi A' l im i xng vi A qua I. Khi ú im
( )
8 9' ; A - nm trờn ng trũn

ngoi tip tam giỏc ABC.
Gi K l trc tõm ca tam giỏc ABC. Khi ú t giỏc BKCCA' cú hai cp cnh i din
song song nờn l hỡnh bỡnh hnh. Khi ú KA' v BC ct nhau ti trung im ca mi
ng (l M).
Vỡ K v M ln lt nm trờn AH v AM nờn gi s
( )
2 14; , K k k +
13 2
6
; .
m
M m
-
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
Vỡ M l trung im ca KA' nờn
( )
( )
2 14 8 2
12 1
1
13 2
2
9 2
2 4
6
.
;
.

;
k m
K
k
m
m
k
M
+ - =
ỡ
ỡ
-
= -
ỡ
ù ù
ị ị
ớ ớ ớ
-
=
+ =
ợ
ù
ù
ợ
ợ
0,25
ng thng BC i qua M v nhn AK
uuuur
lm VTPT nờn
2 8 0: . BC x y + - =

Gi s
( )
8; 2 . B b b -
Vỡ I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC nờn
( ) ( )
2 2
2
3
4 81 6 2 8 5 20 15 0
1
b
IA IB b b b b
b
=
ộ
= + = + + - - + =
ờ
=
ở
.
0,25
Vi 3b = ta cú
( )
3 2; . B Vỡ C i xng vi B qua M nờn
( )
1 6; . C
Vi 1b = ta cú
( )
1 6; . B
Vỡ C i xng vi B qua M nờn

( )
3 2; . C
0,25
8
iu kin:
0 2x Ê ạ
.
Bt phng trỡnh ó cho tr thnh
14
2 2 5 7
2
( ) x x
x
- + > +
-
7
2 2 5
2
( ) .
x
x x
x
- + >
-
(1)
0,25
Rừ rng 0x = khụng tha món bt phng trỡnh (1).
Vi
0 2x < ạ
bt phng trỡnh (1) tng ng vi

2 2 7
5
2
( )
.
x x
x
x
-
+ >
-
t
2x
t
x
-
=
. Khi ú bt phng trỡnh tr thnh
7
2 5t
t
+ >
2
2 5 7
0
t t
t
+ -
>
2 7 1 0( )( ) t t t + - >

1
7
0
2
.
t
t
>
ộ
ờ

ờ
- < <
ở
0,25
* Vi
1t >
ta cú
2
1
x
x
-
> , hay
1 2
0
( )( ) x x
x
+ -
>

4x >
.
0,25
Tham gia ngay! Group ễn Thi H TON - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht hng ngy!
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
* Với
7
0
2
t - < < ta có
7 2
0
2
x
x
-
- < < , hay
0 2
1
2
4
4 2 1 0
.
( )( )
x
x
x x
< <

ì
ï
Û < <
í
+ - >
ï
î
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là
1
4 2
4
, . x x > < <
0,25
9
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2 2 2
2 2
2 2
4
5
5 9
4
.
( ) ( )
( ) ( )
a a a
b c bc b c
b c b c
³ =
+ + +

+ + +
Tương tự, ta có
2 2
2 2
4
5 9
.
( ) ( )
b b
c a ca c a
³
+ + +
Suy ra
2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2
9 95 5( ) ( ) ( ) ( )
a b a b a b
b c c a b c bc c a ca b c c a
æ ö
æ ö
+ ³ + ³ +
ç ÷
ç ÷
+ + + + + + + +
è ø
è ø
0,25
2

2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
9 9
4
2 2 4
9 4 4
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
.
( ) ( )
a b
c a b
a b c a b
ab c a b c a b
c a b c
a b c a b
a b c a b c
æ ö

+
+ +
ç ÷
æ ö
+ + +
= ³
ç ÷
ç ÷
+ + + +
ççç ÷÷÷
è ø
+ + +
è ø
æ ö
+ + +
=
ç ÷
+ + + +
è ø
0,25
Vì
1 1a b c a b c + + = Û + = -
nên
2
2
2
2 2
2 2
2 2 1 4 1 3 8 2 3
1 1 1

9 4 9 1 41 4 1 4
( ) ( )
( ) ( ) .
( ) ( )
c c c
P c c
c c c c c
æ ö
- + -
æ ö
³ - - = - - -
ç ÷
ç ÷
+ - + - +
è ø
è ø
(1)
0,25
Xét hàm số
2
2
8 2 3
1 1
9 1 4
( ) ( ) f c c
c
æ ö
= - - -
ç ÷
+

è ø
với
0 1( ; ). c Î
Ta có
2
16 2 2 3
1 1
9 1 21
'( ) . ( );
( )
f c c
c c
æ ö
= - - -
ç ÷
+ +
è ø
( )
3
1
0 1 64 3 3 0
3
'( ) ( ) ( ) . f c c c c = Û - - + = Û =
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có
1
9
( ) f c ³ - với mọi
0 1( ; ). c Î
(2)

Từ (1) và (2) suy ra
1
9
, P ³ - dấu đẳng thức xảy ra khi
1
3
. a b c = = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
1
9
. -
0,25
( )f c
'( )f c
c
1
3
0
+–
0
1
1
9
-
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net