90 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 )
Câu 1: Giải phơng trình.
xx
x


1
36
= 3 + 2
2
xx
Câu 2: Cho hệ phơng trình:
x - 3y - 3 = 0
x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. Hãy tìm giá
trị của biểu thức.
M = (x

1
- x
2
)
2
+ (y
1
-y
2
)
2
.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn
(O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt
OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số
EF
PQ
không đổi khi M di chuyển trên
cung nhỏ BC.
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh
liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài: 150 )
Câu 1: Cho biểu thức.
1
(x +
200620062006

22
=+++ )yy()x
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
0
1
22
22

+
+
yx
yyxx
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là
những số chính phơng.
Câu 4: Cho hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai
đờng tròn này nằm trong đờng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tơng ứng tại M và N.
Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
) và (C

2
) cắt (C
3
) tại P. PM cắt đờng tròn (C
1
) tại
diểm thứ hai A và MN cắt (C
1
) tại điểm thứ hai B. PN cắt đờng tròn (C
2
) tại điểm
thứ hai D và MN cắt (C
2
) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phơng trình.
x
2
+ 3x + 1 = (x+3)
1
2
+x
Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thanh hoá Môn: Toán
***** Thời gian: 150 phút
Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?

5 13 5 13 5 y = + + + + +
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:

1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. Chứng minh
rằng :
2
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
Bài 3: Giải hệ phơng trình:

2 2 1 9
1 1
x y
x y
+ =


+ =


Bài 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
( 1) 2 1
2
m x my m

mx y m
+ + =


=

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn
nhất
Bài 5: Tìm m để phơng trình (x
2
-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
,
x
3
, x
4
thoả mãn điều kiện
1 2 3 4
1 1 1 1
1
x x x x
+ + + =
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2

y x=
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
x
3
y
3
2y
2
3y 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy
sao
cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm
giữa O và B. Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA
tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ
tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
à
0
90A
, M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi
O và
E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí
của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.

3
Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bài I (2
đ
)
Rút gọn A
a
a
a
a
211
21
211
21


+
++
+
Với a =
4
3
Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2x
2
+ 4x = 19-3y
2
b) Giải hệ phơng trình
x
3
=7x +3y

y
3
= 7y+3x
Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung
điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao
điểm của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc.
đề thi học sinh giỏi - lớp 9
môn toán -thời gian : 150 phút
ngời ra đề : lê thị hơng lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2

3)6(6


+

+
+
xxxxxxx
xxx
điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình
4
48
2
+x
= 4x - 3 +
35
2
+x
Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x
3
y
3
+ z
3
- 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phơng trình
x

3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức

=
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
)(
2
1
yxyx

x
y
y
x
++++
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng
cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác
thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD
vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là chân
đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao
điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA. chứng minh rằng
đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0).
Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9
Tr ờngTHPT Bỉm Sơn Bảng A
( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát
đề)


Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=
( )
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx

+
+
2
)(
5
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phơng trình: x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
2, Cho 1

a

2 và 1

b

2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
33
2
)(
ba
ba

+
+
Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của
phơng trình bậc hai: (m-2)x
2
-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đờng cao ứng với cạnh huyền
của tam giác là:
5
2

2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đờng thẳng (

) . Đờng tròn (o) tiếp
xúc với đờng thẳng (

) tại A. Hãy dựng đờng tròn (o) tiếp xúc với đờng
tròn (o) và tiếp xúc với đờng thẳng (

) tại B.
Câu 4: (5 điểm)
Cho hai đờng tròn (o
1
) và (o
2
) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung
gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o
1
) và (o

2
) tại C và D. Qua A
kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o
1
) và (o
2
) tại M và N. Các đ-
ờng thẳng BC và BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng
CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
6
Bài 1: Rút gọn A=






+

+


+
+
a
a
a
aa
1
1
1
1
22
1
22
1
2
2
với a > 0 và a 1
Bài 2: Phân tích đa thức B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 thành nhân tử

Bài 3: Tìm m để phơng trình
0
4
15
22
=+ mxx
có hai nghiệm và nghiệm này
bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
( )
( )



=+
+=+
2122
112
mmyx
mymx
Bài 5: Giải phơng trình
55
2
=++ xx
Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d
với Ox, Oy. Xác định m để S

ABO
bằng 4.
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đờng tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đờng
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm
và 20 cm.
Bài 9: Cho đờng tròn tâm O, tiếp tuyến đờng tròn tại B, C cắt nhau ở A,

BAC
= 60
0
, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E.
Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lợt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác
IOCE nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7 : Bất đẳng thức Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
7
Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
thanh hoá Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là

nghiệm dơng của phơng trình : 4x
2
+
2

x-
2
= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phơng trình : x
2
+ax+b = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
và phơng
trình :x
2
+cx +d = 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
.Chứng minh rằng :
2(x
1
+x
3
) (x
1
+x
4
) (x
2
+x
3

) (x
2
+x
4
) = 2(b-d)
2
- (a
2
-c
2
)(b-d)+(a+c)
2
(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phơng trình :
ax
4
+bx
3
+cx
2
-2bx+4a=0 (a

0)
có hai nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
x

2
=1 thì 5a
2
=2b
2
+ac

Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA,BB,CC lần lợt là các
đờng cao. H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác đợc tạo bởi hai trong
các đờng thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phơng trình :
x
2
+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn



Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Trờng THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)

8
24
1
1
aaa
a
++
+
6
'''
++
HC
CH
HB
BH
HA
AH
m
HA
AH
=
'
Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:
A=
322
1
322
1

+
++
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y=
4
1
x
2
a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có
hoành độ lần lợt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích
lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R). Trên cung
AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao
cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1
điểm thứ ba cố định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ
dài ấy theo R.
Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều. Điểm A cách
đều các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đờng cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ trùng với
tam của đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCCB của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phơng trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0

9
b.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
2x
2
+7xy + 6y
2
= 60

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
Trờng thpt trần phú Môn : Toán
Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian
giao

Bài 1: (6 điểm)
1- Giải phơng trình : x
2
+ y
2
= 5
x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= 13
2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phơng trình : x
2
2 .(m - 1) x + m 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d R.
Hãy chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đờng tròn nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
10
2x- 1
x
2
+ 2
Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC,
SB SC.

Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất
Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trờng thpt hậu lộc 3
o0o
đề xuất ngân hàng đề
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Môn Toán
o0o
Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:
( )
( )
2
x x
2
x x
1
1 2 2 1
4
A
1
1 2 2 1
4


+
=
+ +
, với x < 0.
Câu 2: (2 điểm) Giải phơng trình sau biết phơng trình có 2 nghiệm đối nhau:

x
4
4x
3
+ 3x
2
+ 8x 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
,
biết rằng: x
2
+ y
2
xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 7x
2
+ 13y
2
= 1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đờng tròn (O; R) có AB = AC = R
2
.
a) Tính BC theo R?
b) Cho M là điểm di động trên cung
ằ
AC

nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM
và BC. Chứng minh rằng AM.AD là hằng số.
c) Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đ-
ờng cố định khi M di động trên cung
ằ
AC
nhỏ.
Hết
Sở gd và ĐT thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9
11
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
( )
a
a
aaaa
A
a

+
++
=
2
:
1
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức















=
22
1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phơng trình
2
1
)1(
4
2

= xm
x
(m là tham số )
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m

R

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
21
, xx
thoả mãn biểu thức
2
212
2
1
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng
9,10 điểm; tổng số điểm đạt đợc là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã
bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phơng trình
5168143 =++++ xxxx
Bài 6 : Cho parabol(P) : y=
2
4
1
x
và đờng thẳng (d) : y= mx 2m 1

a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
1820137
22
=+ yx
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của tam
giác
Chứng minh rằng
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 =
12
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt nằm
trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đờng tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đờng tròn, vẽ cát tuyến
PBC bất kì . tìm quỹ tích các điểm O
1
đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC
quay quanh P
Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

Thanh hoá
Đề chính thức
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài I ( 1,0 điểm )
Cho hai phơng trình: x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + 17 = 0. Biết rằng hai ph-
ơng trình có nghiệm chung và
.nhấtnhỏba +
Tìm a và b.
Bài II ( 2 điểm )
Giải phơng trình:
2055
2
=+++ xxxxx
.
Bài III (2,5 điểm )
1/ Giải hệ phơng trình:



+=+
=+
4477
33
1
yxyx

yx
2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
+ y
3
+ 6xy = 21.
Bài IV ( 2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O. M là điểm chính
giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M

là điểm đối xứng với M qua O.
Các đờng phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờng
thẳng AM

lần lợt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn.
2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài V (2 điểm )
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện:
11830 b;a

và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz .
13
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc
với mặt phẳng (P).

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
Chữ ký của hai ngời coi thi: Số 1: Số 2:

Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Hoằng Hoá 2
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
P =
20052001
1

139
1
95
1
51
1
+
++
+
+
+
+
+
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dơng x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
S =
2

22
2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
z
yx
z
y
xz
y
x
zy
x
+
++
+
+
++
+
+
++
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải phơng trình :

6
23
13
253
2
22
=
++
+
+ xx
x
xx
x
Bài 4 (2 điểm)
Giải hệ phơng trình :



=+
=
1
)(3
33
yx
yxyx
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
14
4524428183
22

+++ xxxx
= x
2
+ 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y =
2
4
1
x
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có
hoành độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng có hoành
độ x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho
1
2
2
4
+
+
yx
x
là số nguyên dơng.
15
Bài 8 (2 điểm):
Cho 2 đờng tròn (0
1
, R
1

) và (0
2
, R
2
) có R
1
> R
2
tiếp xúc ngoài với nhau
tại A. Đờng thẳng d đi qua A cắt đờng tròn (0
1
, R
1
) tại M và đờng tròn (0
2
, R
2
) tại N ( các điểm M, N khác A). Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn
thẳng MN khi đờng thẳng d quay quanh điểm A.
Bài 9 (2 điểm):
Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trớc 33 điểm, trong
đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính đều
bằng
2
, có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các
điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các
tâm cũng chính là 3 điểm.
Bài 10 (2 điểm):
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng
(BCD) dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm của PR; QR;

QP.
Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
225353
42410175175
++
++
=A
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phơng trình:
x
2
- 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
myx
yx
=+
=+
2
32
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
16
132
1

=+
=+
myx
ymx
có nghiệm (x;y) thoả x
2
+ y
2
= 1
Bài 6(2 điểm): Cho đờng (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d
2
) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả
32
5112
23

++
=
x
xxx
y
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đờng a và b thoả a b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đờng tròn
b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định

điểm E trên FD sao cho AE FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên
AB thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lợt tại A
1
D
1
CM cắt DN, BP lần lợt tại B
1
C
1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
có diện tích đạt
giá trị lớn nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m
3
.
2 đáy là 2 đờng tròn (O) và (O'), AB là 1 đờng kính của đờng tròn tâm (O), C di
động trên đờng tròn (O). S thuộc đờng tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích ABC là lớn nhất
b) Khi ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC.
Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trờng THPT bc lê viết tạo
****************************
Bài 1:
a) Chứng minh rằng:
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12 +=
b) Tính giá trị biểu thức
132
235
++= xxxxE
với
21=x
17
Bài 2: Cho
ba
,
ca
,
cb
chứng minh rằng
ba

ba
ac
ac
cb
cb
bcac
ba
abcb
ac
caba
cb
+

+
+

+
+

=
++

+
++

+
++

))(())(())((
222222

Bài 3: Cho phơng trình:
0122
2
=+ mmxx
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phơng
nghiệm kia.
Bài 4: Giải phơng trình:
558 =++ xx
Bài 5: Chứng minh nếu
2>a
thì hệ sau vô nghiệm:





=+
=
1
2
22
5
yx
ayx
Bài 6: Cho Parabol (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d):

2
2
1
+= xy
. Gọi A và B là
giao điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích

MAB
lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
4444
248 tzyx =++
Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung
tuyến AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh:
2
2
AC
AB
NC
NB
=
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị
bé nhất là bao nhiêu.
Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0)
tại A cắt BM và BN tại M
1
, N
1
. Gọi P là trung điểm của AM
1

, Q là trung điểm
của AN
1
. Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam
giác BPQ khi đờng kính MN thay đổi.
Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
18






+


+

+

=
6xx
x9
x3
2x
x2
3x
:
9x
x3x
1P
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4);
C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau
a)
01x4x
5x4x
5
2
2

=+
+
b)



=+
=++
7yx
4y1x
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn
tâm O đờng kính AH. Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng
hàng
b. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng
tại M và N. Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1
x1
1
22
+

+
+
+

với x 1, y 1
Ngời ra đề
Nguyễn Thị Tuyết
Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
19
Trờng THPT Quảng Xơng 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
1> cho









+
+








+

=
x
x
xx
x
x
xx
P
1
1
1
1
a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của
P
1
2>> Tìm trên đờng thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y
2
- 3y
x
+ 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2

+ mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn
hệ



=
=
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
2> Giải phơng trình:
4
)11(
2
2
=
++
x
x
x
Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đờng tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp
điểm của AB và CD với đờng tròn (O).
a> CMR:

CF
DF
AE
BE
=
20
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại
A. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác
BCHK nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
1> Tìm
Ra
để phơng trình ẩn x sau:
074)
2
11
4(2
22
=+++
axax

có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
3
)(
4
2
2
2

2
222
22
++
+ x
y
y
x
yx
yx
với x, y khác 0
Hết

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II

Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn
P=
2
3
11
2
3
1
2
3

11
2
3
1


+
++
+
b. Giải phơng trình:
333
511 xxx =++
Bài2 (5điểm)
a. Giải hệ phơng trình
21







=+
=+
=+
14
14
14
yzx
xzy

zyx
b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
cba
c
bca
b
acb
a
+
+
+
+
+
1694
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phơng trình:
x
2
+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đờng cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao
cho tia CB

AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I.
Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O.
a. Chứng minh

ABH đồng dạng với

MKO
b. Chứng minh
3
333
333
IBIHIA
IMIKIO
++
++
=
4
2
Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trờng THPT Quảng Xơng III
Bài 1:
1) (2đ) Rút gọn biểu thức:
3
243
3
243
3
1
627
3
1
3
1

627
3
1
++++++++= aaaaaaaaA
.
2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
33
42231
1
+
=A
.
Bài 2:
1) (2đ) Giải phơng trình:
xxxyzxyxzyx =++++
2222
2116495
.
22
2) (2đ) Giải hệ phơng trình sau:





=+
=+
12
10
22

x
yx
22
yyx

.
Bài 3:
1) (2đ) Giải phơng trình:
0121122
224
=+ xxx
2) (2đ) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của
hàm số
xxxxy +=
22
(C).
Bài 4:
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của
cba
T
111
++=
với a, b, c N và T < 1.
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đờng cao BM. Chứng minh
rằng
12
2

=
BC
AB
MC
AM
.
Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm
trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện
tích các tam giác AEB và CED trong các trờng hợp:
1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
Hết.
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20
Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =
322
32
322
32


+
++
+

2. (4đ) Tính giá trị của tổng
23
B =
222222
100
1
99
1
1
3
1
2
1
1.
2
1
1
1
1 +++++++++
Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dơng đôi một khác nhau thoả mãn:
3
x
+ 3
y
+ 3
z
= 6831
Bài 3: (4đ).
1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:
y =

xx ++ 63
2. (2đ) Cho các số dơng a, b, c biết
1
111

+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
Chứng minh rằng: abc
8
1

Bài 4: (2đ) Giải phơng trình:
x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5: (6 đ).
Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đờng
tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC)
của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc
sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi
lớp 9

truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
thời gian: 150 phút


24
Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
249225 ++=A
1
22
5
56
+
+
=
a
aaa
B
;
1

a
.
2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
zxyx
a
+
=
+
5

và
( )
( )( )
zyxyz
zx
++
=
+
2
1625
2
Câu2:(4đ)
Giải các phơng trình sau:
1.
29612
22
=+++ xxxx
2.
( )( )
256
27
21
3
= xx
với
21 x
Câu3: (4đ)
Cho họ đờng thẳng (D
m
) có phơng trình :

11
1
2
2
2
++
+
++
+
=
mm
m
x
mm
m
y
1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (D
m
).
2.Tìm m để đờng thẳng của họ (D
m
) cắt Parabol (P) : y = x
2
tại hai điểm có
hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đ-
ờng tròn đó . Gọi A
/
,B

/
,C
/
lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC ,
CA , AB .
1.Chứng minh các tứ giác BC
/
A
/
M và CA
/
MB
/
nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A
/
, B
/
, C
/

thẳng hàng.
3.Trên đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
M. Gọi A
1
, B
1
, C
1

lần lợt là
hình chiếu của M
1
lên các đờng thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm
M
1
trên đờng tròn tâm O để đờng thẳng A
1
B
1
C
1
vuông góc với đờng thẳng
A
/
B
/
C
/
.
Câu5: (4đ)
Chứng minh rằng:
1.
01
258
++ xxxx
với mọi số thực x.
25