40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bài I (2
đ
)
Rút gọn A
a
a
a
a
211
21
211
21


+
++
+
Với a
=
4
3

Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2x
2
+ 4x = 19-3y
2
b) Giải hệ phơng trình
x

3
=7x +3y

y
3
= 7y+3x
Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là
trung điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I
là giao điểm của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc.



Hớng dẫn chấm
Bài I (2
đ
)
Thay a =
4

3
vào A ta có:
1
33
32
33
32
132
32
132
32
)13(2
32
)13(2
32
3242
32
3242
32
22
=


+
+
+
=
+

+

++
+
=


+
++
+
=


+
++
+
=A

Bài II (6đ)
a) (3
đ
) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2x
2
+ 4x = 19-3y
2
(1)
<=> 2(x+1)
2
= 3(7 - y
2
) (2)

Do 2(x+1)
2
2 => 3(7 - y
2
) 2 => y lẽ (1
đ
)
Ta lại có 7 - y
2
0 nên y
2
= 1
Khi đó phơng trình (2) có dạng: (0.5
đ
)
2(x+1)
2
<=> x =2 hoặc x = - 4 (1
đ
)
Từ đó ta có các nghiệm (x,y) = (2;1) ,(2;-1), (- 4;1), (- 4;-1) (0.5
đ
)
b) x
3
=7x +3y (1)

y
3

= 7y+3x (2)
Lấy (1) - (2) ta đợc: (x-y)(x
2
+ xy+ y
2
-4) =0 (1
đ
)
* Với x = y kết hợp với phơng trình (1) x
3
=7x +3y

Ta đợc x =y = 0; x =y = 10 ; x =y = - 10
* Với x
2
+ xy+ y
2
- 4 =0 cộng (1) và (2) ta có
x
2
+ xy +y
2
= 4 x+y = S
đặt (S
2
4P)
y
3
+ x
3

= 10(y+x) xy = P


Ta có S
2
- P - 4 = 0 Thế P = S
2
- 4

S
3
-3SP -10S = 0
=> S
3
- 3S(S
2
- 4) -10S = 0 <=> S
1
=0 hoặc S
2
= 1; S
3
=- 1
(0.5
đ
)
* S
1
= 0 => P
1

= - 4 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình
(0.5
đ
)

X
2
- 4 = 0 => x =2 hoặc x = - 2
y = -2 y = 2


* S
2

= 1 => P
2

= -3 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình
(0.5
đ
)

X
2
- X -3 = 0 => x =
2
131 +
hoặc x =
2

131

y =
2
13
1
y =
2
131+

* S
3
= -1 => P
3

= -3 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình
(0.5
đ
)
X
2
+ X -3 = 0 => x =
2
131- +
hoặc x =
2
13-1-

y =
2

131-
y =
2
131- +

Vậy hệ đ cho có 9 nghiệm.

Bài II (3đ)
Ta có (x+y+z)
2
= x
2
+y
2
+z
2
+2(xy+yz+zx) = 1
=> 2M = 1- (x
2
+y
2
+z
2
)
(0.5
đ
)
Mặt khác: x
2
+y

2
+z
2
=
2
x
2
z
2
x
222222
zyy +
+
+
++
+
xy+yz+zx
(1
đ
)

=> 2M 1- (xy+yz+zx) =>3M 1
(0.5
đ
)
=>M 1/3 Vậy GTLN của M = 1/3xảy ra khi và chỉ khi x =y =z = 1/3
(1
đ
)
Bài IV (6

đ
)












Hạ AP BC ; BQ AD Từ giả thiết ta có:
H là trung điểm của DQ; H là trung điểm của CP
(1
đ
)
Ta có tứ giác ABPQ nội tiếp => góc(ABP) + góc (DCB) = 180
o

(1
đ
)
mà góc(ABP) = góc (DCB) (đồng vị) => góc(AQP) + góc (DCB) = 180
o
(1
đ
)

Hay tø gi¸c DCPQ néi tiÕp
(1
®
)
L¹i cã HN, MH’ lµ trung trùc cña DQ,PC
(1
®
)
Suy ra I =HN ⋂ H’M lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c DCPQ
(1
®
)
=> I c¸ch ®Òu D vµ C

Bµi V
Tõ gi¶ thiÕt ta cã 1 = [ a+(b+c)]
2
≥ 4a(b+c) v× (a+b)
2
≥ 4ab
=> b + c ≥ 4a(b+c)
2
(1) do b+c > 0
(1
®
)
L¹i cã (b+c)
2
≥ 4bc (2)

(0.5
®
)
Tõ (1) vµ (2) => b + c ≥ 4a.4bc hay b + c ≥ 16abc (®pcm)
(0.5
®
)
DÊu = x¶y ra <=> a = b+c
b = c
(1
®
)
Mµ a+b+c = 1 => a =1/2 b = c = 1/4















phòng Giáo dục & Đào tạo

Thanh oai
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng II
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toỏn
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề )
Bi 1 ( 5 im )
1. Chng minh rng: Nu n l s nguyờn thỡ n
5
+ 5n
3
6n chia ht cho 30

2. Cho f(x) =
2
3
3
3
1
x
x
x
+

. Hóy tớnh giỏ tr biu thc sau:
A=

+






++






+






2012
2011
2012
2010

2012
2

2012
1
ffff

Bi 2 ( 5 im )
1. Gii h phng trỡnh :





=+
+
=
1
1
3
22
33
yx
yx
yx

2. Gii phng trỡnh nghim nguyờn: 5(x
2
+ xy + y
2
) = 7(x + 2y)

Bi 3 ( 3 im )

Cho ba s thc dng a, b, c tha món iu kin
2014
111
10
111
15
222
+






++=






++
cabcab
cba
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
P =
222222
225
1
225

1
225
1
acaccbcbbaba ++
+
++
+
++

Bi 4 ( 6 im )
Cho hai ng trũn ( O; R) v ( O

; R

) ct nhau ti hai im phõn bit A v B. T
mt im C thay i trờn tia i ca tia AB. V cỏc tip tuyn CD; CE vi ng
trũn tõm O ( D; E l cỏc tip im v E nm trong ng trũn tõm O

). Hai ng
thng AD v AE ct ng trũn tõm O

ln lt ti M v N ( M v N khỏc vi im
A). ng thng DE ct MN ti I. Chng minh rng:
a. MI.BE = BI.AE
b. Khi im C thay i thỡ ng thng DE luụn i qua mt im c nh.
Bi 5 ( 1 im )
Cho x, y l cỏc s nguyờn khỏc 1 tha món
1
1
1

1
22
+

+
+

x
y
y
x
l s nguyờn. Chng
minh rng : x
2
y
22
1 chia ht cho x + 1
__________________________________________________________


Đề chính thức


phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 vßng II
N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi : To¸n

Bài Nội dung Điểm

Bài 1
(5đ)
1, A= n
5
+ 5n
3
– 6n = ( n
5
– n ) + ( 5n
3
– 5n)
= n( n - 1)( n + 1)( n
2
+1) - 5n( n + 1)( n - 1)
Mỗi số hạng của A đều chia hết cho 6 và 5 mà ( 5; 6) = 1
nên A
30M

2, f(x) =
33
3
)1( xx
x
−+
-> f(1- x) =
33
3
)1(
)1(
xx

x
−+
−

-> f(x) + f(1 – x) = 1
-> x + y = 1 -> f(x) + f(y) = 1, f






2
1
=
2
1

A=















+






+














+







2012
2010
2012
2
2012
2011
2012
1
ffff


5,1005
2
1
1005
2012
1006
2012
1007
2012
1005
=+=







+














+






++ fff



1,5đ.


1,0đ.

1,5đ.





1,0đ.

Bài 2
(5đ)
1.





=+
+
=−
1
1
3
22
33

yx
yx
yx
<->



=+
=+−
1
1))(3(
22
33
yx
yxyx

)2(
)1(

Từ (1) và (2) -> (3x
3
– y
3
)(x + y) = (x
2
+ y
2
)
2
…….

<-> ( x – y)(x + 2y)(2x
2
+ xy + y
2
) = 0
<->





=++
=+
=−
02
02
0
22
yxyx
yx
yx

* Nếu x – y = 0 -> x = y thay vào (2) -> x = y =
2
2

hoặc x = y =
2
2
−

* Nếu x + 2y = 0 thay vào (2) -> x =
5
52−
, y =
5
5

hoặc x =
5
52
, y =
5
5
−









1,5đ.

* Nếu 2x
2
+ xy + y
2
= 0 -> x = y = 0 loại
Vậy (x; y) =








−









−








−−








5
5
;
5
52
;
5
5
;

5
52
;
2
2
;
2
2
;
2
2
;
2
2

2. 5(x
2
+ xy + y
2
) = 7(x + 2y) (1)
-> 7(x + 2y)
M
5 -> x + 2y
M
5 , Đặt x + 2y = 5t (t
∈
z ) (2)
(1) <-> x
2
+ xy + y

2
= 7t (3)
Từ (2) -> x = 5t – 2y thay vào (3) có:
3y
2
-15ty + 25t
2
– 7t = 0 (*)
∆ = 84t – 75t
2
Để (*) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 <-> 84t – 75t
2
≥ 0
<-> 0 ≤ t ≤
25
28
t
∈
z -> t = 0 hoặc 1
Nếu t = 0 từ (*) -> x
1
= 0, y
1
= 0
Nếu t = 1 từ (*) -> x
2
= -1, y
2
= 3
hoặc x

3
= 1, y
3
= 2



1,0đ.





1,5đ.








1,0đ.


Bài 3
(3đ)
Đặt
a
x

1
=
,
b
y
1
=
,
c
z
1
=

Từ gt có 15(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 5( 2xy+2yz+2xz) + 2014
≤ 10(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 2014
-> 5(x
2
+ y

2
+ z
2
) ≤ 2014
Do ( x+y+z)
2
≤ 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≤ 3.
5
2014

Có 5a
2
+ 2ab + 2b
2
= 4a
2
+ 2ab + b
2
+ (a
2
+b
2
)
≥ 4a

2
+ 2ab + b
2
+ 2ab = ( 2a+ b)
2
->
( )
yx
baba
baba
+=






+≤
+
≤
++
2
9
112
.
9
1
2
1
225

1
22


Tương tự có :
( )
zy
cbcb
+≤
++
2
9
1
225
1
22


( )
xz
acac
+≤
++
2
9
1
225
1
22

-> P
( )
3
222
9
1 zyx
xzzyyx
+
+
=+++++≤


15
2014
5
2014
.3
3
1
=≤

-> Max P =
15
2014
<-> a = b = c =
2014
15

1,0đ.





1,0đ.














1,0đ.


Bài 4
(6đ)

a, BDE = BAE, BAE = BMN -> BDE = BMN

-> BDI = BMI -> BDMI là tứ giác nội tiếp

-> MDI = MBI = ABE

BMI = BAE -> ∆MBI  ∆ABE ( g.g).
-> đpcm.
b, Q là giao điểm của CO và DE, K là giao điểm của OO’ và DE,
H là giao điểm của AB và OO’
∆v OCD có OQ.OC = OD
2
= R
2
∆vKQO  ∆ CHO (g.g) -> OC.OQ = KO.OH
-> KO. OH = R
2
-> OK =
OH
R
2

Vì OH cố định, R không đổi -> OK không đổi -> K cố định.

1,5đ.




1,5đ.




1,5đ.





1,5đ.


Bài 5

(1đ)
Đặt
b
a
y
x
=
+
−
1
1
2
,
d
c
x
y
=
+
−
1
1
2

)0,,1);(;1);(;;;;(
>
=
=
∈
dbdcbaZdcba

K
bd
bcad
d
c
b
a
x
y
y
x
=
+
=+=
+
−
+
+
−
1
1
1
1
22

)( ZK
∈

-> ad + bc = bdk -> ad + bc
M
b, ad
M
b -> d
M
b ( vì (a; b) = 1)
Tương tự b
M
d -> b = d

Zmyx
x
y
y
x
d
c
b
a
∈=−−=
+
−
+
−
= )1)(1(
1
1
.
1

1
.
22
( Vì x,y
∈
Z)
-> ac = mbd -> ac
M
b -> c
M
b ( vì ( a; b) = 1)
-> c
M
d ( vì b = d) và (c; d) = 1 -> d = 1 -> ( y
2
– 1)
M
( x + 1)
x
2
y
22
– 1= x
2
(y
22
– 1) + x
2
- 1 Do y
22

– 1
M
y
2
– 1
-> y
22
– 1
M
x + 1 -> x
2
(y
22
– 1)
M
x + 1 mà x
2
– 1
M
x + 1
-> x
2
y
22
– 1
M
x + 1

0,5đ.







0,5đ.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011


Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1: ( 3,0 điểm)
Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có phương trình:

1
d
: y = x + 2
2
d
: y = ax + b
a. Xác định a, b để đường thẳng

2
d
đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12).
Vẽ
1
d
và
2
d
trên cùng một hệ trục toạ độ.
b. Hãy tính diện tích tứ giác giới hạn bởi hai hệ trục toạ độ và đồ thị của hai đường thẳng
đã cho.
Câu 2: ( 4,0 điểm )
1. Chứng minh rằng:
3 3
1 1
2 2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+ −
+ =
+ + − −

2. Cho
4 4
91 16 5
x x
+ − + =

. Hãy tính
x
.

Câu 3: ( 5,0 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 3
A
x
=
− −

b. Tìm các số tự nhiên
m
sao cho:
3
3
m
+
chia hết cho
3
m
+


Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm
P

ở trong đường tròn kẻ hai dây
&
AB CD
vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
a.
2 2
. .
PA PB PC PD R PO
= = −

b.
2 2 2 2
PA PB PC PD
+ + +
không phụ thuộc vào vị trí điểm
P
.

Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho các số thực
,
x y
thoả mãn:
2 2
( 1 )( 1 ) 1
x x y y
+ + + + =

Tính giá trị biểu thức:
2011 2011

2011
A x y= + +


_________________________Hết______________________________


Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề chính thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011


Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1: ( 3,5 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2
2
2

( 3) 12
( 2) 8
x x
y x x
x
− +
= + + −

a. Rút gọn biểu thức y.
b. Tìm các giá trị nguyên của
x
để
y
là số nguyên.

Câu 2: (3,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
1
x y m
mx y
+ =


+ =

(
m
là tham số )
1. Giải hệ phương trình khi
m

= 2 .
2. Tìm
m
để hai đường thẳng
x y m
+ =
và
1
mx y
+ =
cắt nhau tại duy nhất một điểm
nằm trên Parabol:
2
2
y x
= − .

Câu 3: (5,0 điểm)
Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Khi m
≠
2, m
≠
1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển đường
thẳng (d) là lớn nhất.

Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB
tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E.

Chứng minh rằng:
1. AB.AD = AE.AC
2. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
3. Diện tích tứ giác DEKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

Câu 5: ( 2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

3 6
y x x
= − + +


__________________________Hết_______________________________


Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề số 02
Sở gd và ĐT thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức

(

)
a
a
aaaa
A
a

+
++
=
2
:
1

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=
22
1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phơng trình
2
1
)1(
4
2
= xm
x
(m là tham số )
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
với
m

R


b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
21

, xx
thoả mn biểu thức

2
212
2
1
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đ bắn hơn 11 viên và đều trúng vào
vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt đợc là 109 điểm. Hỏi vận động
vieen đó đ bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?

Bài 5 : Giải phơng trình

5168143 =++++ xxxx

Bài 6 : Cho parabol(P) : y=
2
4
1
x
và đờng thẳng (d) : y= mx 2m 1
a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA


Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình

1820137
22
=+ yx

Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của
tam giác
Chứng minh rằng

CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 =

Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt
nằm trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ
nhất
Bài 10 :
Cho đờng tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đờng tròn, vẽ cát
tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích các điểm O
1
đối xứng với O qua BC khi cát
tuyến PBC quay quanh P

Sở gd và ĐT thanh hoá
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
(2 đ)
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
Biểu thức A có nghĩa khi





>

1
0
1;0
0
0
0
2
a
a
aa
a
aa
a


Vậy A có nghĩa khi và chỉ khi a>0 và a
1



b) Rút gọn A(1,5 điểm)
1
1
1
1
.

1
1
)1)(1(
1
.
1
1
)1(
1
.
1
)1(
3

=
+
=
=
+++
++
=

+
++
=
a
aa
aaaa
aa
aa

a
aaa
A


Vậy A=
1
1

a



0,25đ


0,25đ


0,5đ



0,5đ


0,25đ

0,25đ

Bài 2
(2đ)
Ta có :

2222
22
)1)(1)(1)(1()1)(1(
yx
yyxx
yx
yx
P
++
=

=

Thay x+y = 1 theo giả thiết, ta đợc

0,25 đ




0,25 đ

=
=
xy
yx
1
1


xyxy
xyyx
xy
yx
P
2
1
1)1)(1(
+=
+
+
+
=
+
+
=


P nhỏ nhất khi
xy
2
nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất

Vì x+ y=1
xy

=

1

xy=x(1-x)=-x
2
+x = -(x-
4
1
4
1
)
2
1
2
+

xy lớn nhất bằng
4
1
khi và chỉ khi x=y=
2
1

Vậy P
9

2
1
.
2
1
2
1
min
=+=
khi x=y=
2
1




0,5 đ


0,25 đ




0,25 đ



0,25 đ

0,25 đ

Bài 3
(2đ)
a) Ta có
2
1
)1(
4
2
= xm
x


x
0244
2
=+ mmx


01)12(
2,
>++= m với
Rm

Do đó phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m

(đpcm)

b) theo định lý Viet



=
=+
24.
4
21
21
mxx
mxx

11)14(
816)24(4
)(
2
2
2121
2
212
2
1
+=
+=+=

+=+
m
mmmm
xxxxxxxx


Vậy Min (
2
212
2
1
xxxx +
)=-1
Khi 4m+1=0
4
1
= m




0,25 đ



0,5 đ


0,25 đ

0,25 đ


0,25 đ






0,5 đ
Bài 4

(2đ)
Gọi x, y lần lợt là số lần bắn trúng vào các vòng 9, 10
điểm (x; y
N

)Vì vận động viên đ bắn hơn 11 viên nên
ta có

0,5 đ

Bµi 5
(2®)
x+y >11 (1)

V× vËn ®éng viªn ®¹t ®−îc tæng ®iÓm lµ 109 nªn :
9x+10y = 109 (2)

yyx
yyx
−=+⇔
−
=
+
⇒
109)(9

10999


9
109
)(109)(9 <+⇔<+⇔ yxyx

(3)

Tõ (1) vÇ (3) ta cã 11<x+y<
9
109

mµ x,y
12
=
+
⇒
∈
yxN

(4)

KÕt hîp (2) vµ (4)




=
=

⇔



=+
=+
1
11
12
109109
y
x
yx
yx


VËy vËn ®éng viªn ® b¾n 12 viªn vµ kÕt qu¶ lµ 11 viªn
vµo vßng 9 vµ 1 viªn vµo vßng 10

5168143 =−+++−−+ xxxx
(®iÒu kiÖn x
1
≥
)



0,25 ®

0,25 ®




0,25 ®




0,5 ®



0,25 ®




(*)
-tr−êng hîp
521021 ≥⇔≥−⇔≥−− xxx


th×

521
2121(*)

=⇔=−⇔
=−+−−⇔
xx
xx

tho¶ mn ®iÒu kiÖn x
1
≥


- tr−êng hîp
5121021 <≤⇔<−⇔<−− xxx


(*)
2112 =−+−−⇔ xx

0,25 ®



0,25 ®


0,25 ®



0,25 ®

0,25 ®


0,25 ®

2121
53121
5)31()21(
22
=−+−−⇔
=+−+−−⇔
=+−+−−⇔
xx
xx
xx

phơng trình nghiệm đúng với mọi x
[
)
5;1

kết hợp cả 2 trờng hợp ta có tập nghiệm của phơng
trình là x
[
]
5;1

0,25 đ


0,25 đ

Bài 6
(2đ)
a) phơng trình hoành độ giao điểm của (p) và (d) là :
22'
2
2
)1(4484
0484
12
4
1
+=++=
=+
=
mmm
mmxx
mmxx


Để (d)tiếp xúc với (p) thì
10
'
== m

b) (d) : y=mx-2m-1
01)2(
=




yxm

Nếu x=2 thì y=-1 với Rm




Vậy (d) luôn qua điểm cố định A(2;-1)

A
)(P

Vì toạ độ của A nghiệm đúng của phơng trình (P)
(đpcm)



0,25 đ


0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ


0,25 đ

0,25 đ

Bài 7
(2đ)
Vì 1820
13M
và 13y
13713
22
MM x
mà (7,13)=1
13
2
Mx


13 là số nguyên tố
13Mx

đặt x=13m (m
)Z

.

tơng tự ,1820
7M
và 7x 7137
22
MM y mà (7,13)=1
7
2
My 7My

đặt y=7n(n
)Z

.

thay x=13m; y=7n (n
)Z

.vào phuơng trình ta đợc :
7(13m)
1820)7(13
22
=+ n

20713
22
=+ nm

(*)

suy ra :
13
20
2
m
vì (m
)Z

.

0,25 đ


0,25 đ



0,25 đ

0,25 đ



0,25 đ

0,25 đ



(
)





==
==

7
20
0
/11
22
22
nm
MTnm
( loại vì (n

Z)
Với
1
2

=m
và
1
2
=n
phơng trình (*) có các nghiệm :



=
=



=
=



=
=



=
=
1
1
;
1

1
;
1
1
;
1
1
n
m
n
m
n
m
n
m


Suy ra phơng trình đ cho các nghiệm



=
=



=
=

=
=



=
=
7
13
;
7
13
;
7
13
;
7
13
y
x
y
x
y
x
y
x


0,25 đ

0,25 đ





Bài 8
(2đ)

Lu ý học sinh
không vẽ hình không
chấm điểm







Ta có :
ABC
CIH
ABC
BHK
ABC

AKI
ABC
HIK
CIHBHKAKIABCHIK
S
S
S
S
S
S
S
S
SSSSS
=



=
1




Hai tam giác AKI và ABC có chng góc A nên ta có :
AB
AI
AC
AK
ABAC
AIAK

S
S
ABC
AKI
.
.
.
==


trong tam giác vuông AKC và AIB ta có :
A
AB
AI
A
AC
AK
cos;cos ==


do đó
A
S
S
ABC
AKI
2
cos=

0,25 đ



0,25 đ





0,5 đ



0,25 đ



0,25 đ

B

H

K


A I
C




tơng tự :
C
CA
CH
CB
CI
S
S
B
BC
BK
AB
BH
S

S
ABC
CIH
ABC
BHK
2
2
cos.
cos.
==
==

vậy CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 = (đpcm)



0,25 đ





0,25 đ

Bài 9
(2đ)

Gọi I, J, K lần lợt là
Trung điểm của QM, QN D P
C
PN
Ta có : K
2
;
2
2
;
2
PN
KC
PQ
JK
MN
IJ
QM
AI
==
==
Q J
N
I

A

M
B

Chu vi của hình tứ giác MNPQ là :
QM+MN+NP+PQ=2(AI+IJ+JK+KC)
AC2



Nên chu vi của tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC.

Khi đó A, I, J, K, C thẳng hàng hay M, N, P, Q là các
đỉnh của các hình chữ nhật có các cạnh song song với các
đờng chéo của hình vuông , cụ thể nh hình vẽ


D P
C




Q
N





0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ


0,75 đ

A M
B









BàI 10 :

O
2


T



P O
B C
T
1
O
1

O
3

Phần thuận : vì O
1
đối xứng với O qua BC nên PO
1
= PO là không đổi

O
1
thuộc đờng tròn (P; PO)
(0,5đ)
* Giới hạn :
Có 2 vị trí giới hạn của cát tuyến PBC đó là PT và PT
1
là 2 tiếp
tuyến của (O;R) kẻ từ P. Gọi O
2
là điểm đối xứng của O qua PT;
O
3
là điểm đối xứng của O qua PT
1
thì O
1
chỉ di động trên cung O
2
O

3

của đờng tròn (P;PO) .
(0,5đ)
* Phần đảo : lấy một điểm O
1
bất kì thuộc cung O
2
O
3
, OO
1
là một dây
cung trong (P;PO), từ P kẻ đờng thẳng PBC cắt (O;R) tại B, C và vuông
góc với OO
1
thì theo tính chất đờng kính vuông góc với dây cung ta suy
ra O vµ O
1
®èi xøng nhau qua BC
(0,5®)
* KÕt luËn :
quü tÝch ®iÓm O
1
lµ cung O
2
O
3
cña ®−êng trßn (P;PO)
(0,5®)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 1999-2000
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1:
Cho phương trình
2
0
x x a
− − =
( a là tham số)
a, Gọi
1 2
;
x x
là các nghiệm thực dương của phương trình. Tìm GTLN
của biểu thức
( ) ( )
1 1
2 2
1 1
1 1 1 1P x x
x x
   
= + + + + +
   

   
   

b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có
nghiệm hữu tỉ.
c, Tìm tất cả các giá trị a nguyên để phương trình có hai nghiệm
1 2
;
x x

thỏa mãn
(
)
(
)
3 2 3 2
1 2 2 1
1 4 1 4 4
x x x x
+ + + +
chia hết cho 6.

Bài 2:
a, Tìm tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn
5 5 3 3
x y x y x y
− = − = −

b, Giải phương trình
(

)
(
)
(
)
2 2 2
1 3 27 72
x y z xyz
+ + + =


Bài 3:
Cho tam giác ABC, các đường tròn (O), (I), (J) đôi một tiếp xúc với
nhau, (O) đi qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B. Biết rằng tam giác có
các đỉnh là ABC đồng dạng với tam giác có các đỉnh là OIJ. Tính số đo các
góc của tam giác ABC.

Bài 4:
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC=b, BC=a không đổi. Trên
cạnh AB về phía ngoài tam giác dựng hình vuông ABDE. Gọi O là tâm hình
vuông; M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tìm GTLN của tổng
OM+ON khi góc ACB thay đổi.





………………………… Hết …………………………

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2000-2001
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1:
Cho hệ phương trình
2
1
ax y z
x ay z a
x y az a

+ + =

+ + =


+ + =


a, Giải hệ phương trình với a=2
b, Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên
c, Tìm số thực
1
a
≥
sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tổng
A x y z
= + +

đạt GTNN.

Câu 2:
Chứng minh rằng nếu phương trình
4 2 2 2
2 0
x ax b c
− + + =
chỉ có đúng hai
nghiệm phân biệt thì a>0 và
(
)
8 8 8
8
a c b
≤ +

Câu 3: Hai số nguyên dương a,b thỏa mãn điều kiện
1 1
a b
b a
+ +
+
là một số
nguyên. Gọi d là UCLN(a,b). Chứng minh rằng
d a b
≤ +


Câu 4:

Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn
đường kính CD tại điểm M khác với giao điểm của hai đường chéo của tứ
giác. Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm CD. Đường tròn tâm O
1
đi
qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại điểm thứ hai K; đường tròn tâm O
2
đi qua 3
điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L. CMR
a, Bốn điểm O
1
,P,Q,O
2
thuộc đường tròn.
b,
MK ML AB CD
− = −

Câu 5:
Điểm P thay đổi trên các cạnh của tam giác ABC vuông tại A. Tìm vị trí
của P sao cho tổng PA+PB+PC có GTNN.





………………………………. Hết……………………………

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2001-2002
MÔN TOÁN

( Thời gian làm bài 150 phút)

Câu 1:
a, Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 24
x x x x
− − − − =

b, Tìm tất cả các số tự nhiên n để
4 3
6 11 6
n n n n
+ + +


Câu 2:
a, Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có
2
2
1 1
3
3 1

x x
x x
+ +
≤ ≤
− +

b, Tìm tất cả các số nguyên x,y để giá trị của phân thức
2
2
1
1
x x
x x
+ +
− +
là một số
nguyên.

Câu 3: Giải hệ phương trình
3
3
3
3 4
2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
z x z

+ = +


+ = +


+ = +



Câu 4:

a, Cho tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam
giác ABC. D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Chứng minh rằng
bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn.

b, Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Tìm GTNN của
biểu thức
(
)
(
)
(
)
a b b c c a
P
abc
+ + +
=

…………………… Hết ………………………