ĐỀ DỰ BỊ HSG TOÁN THPT ĐỒNG THÁP 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
_______________________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013
_____________________________________________


Tham khảo

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Ngày thi: / /
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm có: 1 trang)
Câu 1:
(5 điểm)
a) Chứng minh rằng phương trình
32
2533xxx 0

 không có nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức sao cho tích
()Qx
32
(2 5 3 3) ( )
x
xxQx là một đa
thức với các hệ số đều dương.

Câu 2:
(5 điểm) Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn điều kiện

2012.xyz
Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
.
M
xy yz zx

Câu 3:
(5 điểm) Tương truyền, ngày xưa ở vùng Đồng Tháp Mười có một ngôi tháp mười
tầng với mặt cắt (không kể chóp của tháp) theo cột trụ thẳng đứng của tháp là một hình thang
không cân ABCD với hai đáy
18AB

m, 30CD

m. Chiều cao của tháp đúng bằng 2 lần độ
dài thanh dầm nằm ngang đi qua giao điểm của hai đường chéo hình thang là đoạn thẳng
EF
(
E
AD
,
F
BC ).

a) Em hãy cho biết chiều cao của tháp là bao nhiêu.

b) Tìm quỹ tích các điểm

M
thuộc mặt phẳng chứa ABCD sao cho diện tích của các tam
giác AMD và AMC luôn bằng nhau.


Câu 4: (5 điểm) Cho và dãy số {0a  }
n
x
xác định như sau
01
221
2212221
2, ,
2
,,1,2,
2
nn
nnnn
a
xax
xx
xxxx n

 












a) Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn ứng với mọi a cho trước
b) Tính giới hạn của dãy theo a.

HẾT
Họ và tên thí sinh: ______________________ Số báo danh: ___________________________
Chữ ký GT1:___________________________ Chữ ký GT2:____________________________