ĐỀ TỰ LUYỆN HSG TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP 2013 LẦN 1

π BoxMath - 2013
DIỄN ĐÀN
BOXMATH.VN
π
ĐỀ SỐ 01
ĐỀ TỰ LUYỆN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình:

x
3
+ 3x
2
y − 24xy
2
− 52y
3
+ 24y
2
+ 3y = 1
x
2
+ 4y
2
− 2xy − 4y = −1
Câu 2. (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng 18 và AB + BD + DC = 12. Tính độ dài
đường chéo AC.
Câu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau
x
3

+ y
3
− 3xy = 3
Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức



u
1
= 1, u
2
= 3
u
n+1
=
u
2
n
− 4
u
n−1
, ∀n ≥ 2
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N
∗
ta luôn có u
n
là số nguyên. Xác định công thức của số hạng tổng
quát u

n
.
Câu 5. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có A(1; 1) và phương
trình BC là x−y +1 = 0. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết R = (
√
3+1)r.
(Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC).
Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số thực a, b, c ∈ [0; 1] . Chứng minh rằng
a
2a + 1
+
b
2b + 1
+
c
2c + 1
≤ 1
Câu 7. (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N
∗
, ta luôn có:
1
(n + 2) C
1
n+1
+
1
(n + 3) C
2
n+2
+ +

1
(2n + 1) C
n
2n
<
1
n (n + 1)
HẾT