ĐỀ TỰ LUYỆN HSG TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP 2013 LẦN 2

π BoxMath - 2013
DIỄN ĐÀN
BOXMATH.VN
π
ĐỀ SỐ 02
ĐỀ TỰ LUYỆN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (3,0 điểm) Giải phương trình
(2x
2
+ 3)
√
x
2
+ 1 − x
2
+ 3x − 2 = (4x
2
− 6x + 7)
√
2x
2
− 3x + 3
Câu 2. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, có

BAC = 30
0
,

ABC = 70

0
. Gọi M là điểm phía trong tam giác
ABC sao cho

MAB =

MCA = 20
0
. Tính

MBA
Câu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả bộ số nguyên (x; y; z) thỏa mãn

x
2
+ y
2
− z(2xy + z) + 1 = 0
xy + z −2 = 0
Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi công thức





u
1
=

1
2
u
n+1
=
u
2
n
1 − u
n
+ u
2
n
, ∀n ≥ 1
Tính tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
. Từ đó, tìm lim S
n
Câu 5. (3,0 điểm) Cho (E) :
x
2
16
+
y

2
4
= 1. Gọi M là điểm thay đổi nằm trên elip (E), A
1
, A
2
là các giao
điểm của elip (E) với trục hoành. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MA
1
A
2
khi M thay đổi.
Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số thực thay đổi x, y, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
4
(y −1)
2
+
y
4
(z −1)
2
+
z
4
(x − 1)
2
Câu 7. (2,0 điểm) Cho tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số khác
nhau được thành lập từ tập X sao cho tổng 5 chữ số đầu gấp ba lần tổng 3 chữ số cuối.

HẾT