Đề thi thử đại học môn toán lần 3 tổ toán tin trường THPT Trần Phú năm học 2012,2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.02 KB, 6 trang )
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN - Khối: A, A
1
, B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
4 6
y x x mx
(1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m
.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
2 4 5 0
x y
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2sin 3 1 8sin 2 . os 2
4
x x c x
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
1
4 3
1 1 9 2
1
4 2
2
x
x y
x y x y x y
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
5
2
5
1
1
1
x
dx
x x
Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc
0
60
BAC
, nội tiếp đường tròn đường kính AI. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC. Gọi M và N lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường
thẳng SI và tính góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC).
Câu 6 (1,0 điểm). Chứng minh rằng
4
, , , 0
x y z
y z x y
z x
x y z
x y z
y z z x x y
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng
d:
2 2 0
x y
. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 2AC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2 3
x y z
và mặt phẳng
(P):
6 0
x y z
. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt
phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới
bằng
2 2
.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức:
4 3 2
6 9 100 0
x x x
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:……………………………………
BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A
1
, B – NĂM 2013
Câu Nội dung Điểm
1
(2.0
điểm)
a. (1.0 đi
ểm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
* m = 0 thì
3 2
4 6
y x x
* TXĐ:
D R
.
* lim , lim
x x
y y
0.25
*
2
0
' 12 12 , ' 0
1
x
y x x y
x
0.25
* Bảng biến thiên…
Hàm số đồng biến trên
;0 ; 1;
. Hàm số nghịch biến trên
0;1
Hàm số đạt cực đại tại
0, 0
x y
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 2
x y
0.25
Điểm uốn:
1
'' 24 12, '' 0 , 1
2
y x y x y
Giao Ox:
3
0 0
2
y x v x
. Giao Oy:
0 0
x y
.
0.25
b. (1.0 đi
ể
m)
Tìm m để đồ thị có …
2
' ' 12 12
y f x x x m
. Hàm số có hai cực trị
' 36 12 0 3
m m
Gọi hai điểm cực trị của đths là
1 1 2 2
, ; ,
A x y B x y
(
1 2
,
x x
là hai nghiệm của pt
' 0
y
)
0.25
Có:
1 1 2
' 2
3 6 3 6
m m
y f x f x x x
Do
1 2
' ' 0
f x f x
nên
1 1
2
2
3 6
m m
y x
và
2 2
2
2
3 6
m m
y x
Vậy pt đt AB là
2
2
3 6
m m
y x
0.25
A, B đối xứng nhau qua d: 2x – 4y – 5 = 0
1
2
AB d
I d
(I là trung điểm AB)
2 1
1 2 . 1 0
3 2
m
m
(thoả mãn m < 3)
0.25
I có toạ độ:
1 2
1
2 2
2
2 1
3 6
I
I I
x x
x
m m
y x
.
1
2 2. 4. 1 5 0
2
(đúng)
Vậy A, B đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi m = 0
0.25
2.
(1.0
điểm)
Giải phương trình lượng giác…
Pt
2 2
sin 3 0 1
4
4sin 3 1 8sin 2 . os 2 2
4
x
x x c x
0.25
2 2 1 os 6 1 4sin 2 .(1 os4 )
2
c x x c x
2 2sin 6 1 4sin 2 2sin 6 2sin 2
x x x x
0.25
1
12
sin 2
5
2
12
x k
x
x k
.
0.25
- Với
12
x k
:
1 sin 3 0 2 2
2 12
k k n x n
- Với
5
12
x k
:
3 17
1 sin 3 0 2 1 2
2 12
k k n x n
,
n Z
0.25
3.
(1.0
điểm)
Giải hệ phương trình…
2
1
4 3
1 1 9 2 1
1
4 2 2
2
x
x y
x y x y x y
2 2
3 1
1 2 1 9 1 9 1
2 1
x y
x y x y x y x y
x y x y
1
3 1 . 3 1 0
2 1
x y x y
x y x y
1
3
x y
0.5
Khi đó:
1
1 3 1
1
2 4 2 2 1 0 , 2 0
2
x
x x
t t t
1
1 5
2
t
t
0.25
Với t = 1
1
4
3
x
y
, Với t =
2
2
log 5 1 2
1 5
7
2
log 5 1
3
x
y
0.25
4.
(1.0
điểm)
Tính tích phân…
2 2 2 2
5 5 5 4
1 2
2 2 2
5
5 5 5
1 1 1 1
1 1 2 1 2
1
1 1 1
x x x x
dx dx dx dx I I
x x
x x x x x
0.25
1
x
t
1
2
1 2
1 1
4
2
5 5
1
5 5
1 1
1
2 2
5
1
1
1 1 1 1
1 ln 1 6ln2 ln 33
1 1
1 5 1 5 5
1
t
t
I dt dt d t t
t t
t t
0.25
2
1
2
5
2
2
5
5
1
2 1 2 1 31
1 .
5 5 1 165
1
I d x
x
x
0.25
1 31
6ln 2 ln 33
5 165
I
0.25
5.
(1.0
điểm)
Tính thể tích và khoảng cách
N
C
A
B
I
S
M
IB
AB (do AI là đường kính đtròn (ABC)), IB
SA
(do SA
(ABC)) nên IB
(SAB)
IB
AM mà
AM
SB nên AM
(SBI)
AM
SI
Chứng minh tt: AN
SI. Vậy SI
(AMN)
0.5
Có SA
(ABC); SI
(AMN)
, ,
ABC AMN SA SI
SAI có:
tan AS
AI
I
SA
(1)
0.25
AI là đường kính của đtròn (ABC) nên:
2
2 .
3
sin
ABC
BC
R AI AI BC
BAC
(2)
Từ (1),(2)
0
2 2
. .
1
3 3
tan AS , 30
2
3
BC BC
I ABC AMN
SA BC
0.25
6.
(1.0
Chứng minh bất đẳng thức …
Bđt
0.25
điểm)
2 2 2
4
z x x y x y y z y z z x
P y z z x x y x y z
x y z
Có:
2
2
2
2 2 2
2
( )
z x x y
x x yz yz x yz
x x y z yz
x x x x
2
1 2
z x x y
yz yz
yz
y z y z y z y z y z
x x x x
(1)
0.25
Chứng minh tt có:
2
2
2 2
2 3
x y y z
zx
z x z x
y y
y z z x
xy
x y x y
z z
Từ (1), (2), (3) có:
2 2
yz zx xy
P x y z
x y z
(4)
0.25
Áp dụng bđt:
2 2 2
a b c ab bc ca
, có:
. . .
yz zx xy yz zx zx xy xy yz
x y z
x y z x y y z z x
(5)
Từ (4), (5)
4
P x y z
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
0.25
7.
(1.0
điểm)
Tìm hai điểm B,C…
Gọi H là hình chiếu của A lên d ta có AH = d(A, d) =
2
0 2.2 2
2
5
1 2
Tam giác ABC vuông tại A nên
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
1 2
4 4
AC AB
AB AC AH AC AC
0.25
Khi đó C thuộc đường tròn (A,1):
2
2
2 1
x y
Toạ độ C là nghiệm hệ
2
2
2 1
2 2 0
x y
x y
1, 0
7 4
,
5 5
y x
y x
0.25
+ Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt
(0; 1)
AC
có pt:
2 0
y
Toạ độ B là nghiệm hệ
2 2 0 2
(2;2)
2 0 2
x y x
B
y y
0.5
+ Với C(
4 7
;
5 5
): đt AB qua A(0;2) có vtpt
4 3
( ; )
5 5
AC
có pt:
4 3 6 0
x y
Toạ độ B là nghiệm hệ
6
2 2 0
6 2
5
( ; )
4 3 6 0 2
5 5
5
x
x y
B
x y
y
8.
(1.0
điểm)
Viết phương trình đường thẳng …
Toạ độ M là nghiệm hệ
1;2;3
1 2 3
6 0
x y z
M
x y z
Gọi d’ là hình chiếu của d lên mp(P)
' ( ) ( )
d P Q
, với (Q) là mp chứa d và vuông góc
(P). Mp(Q) qua M và có vtpt
,
Q d P
n u n
= (-1; 2; -1)
(Q) có pt:
2 0
x y z
d’ có pt:
6 0
2 0
x y z
x y z
2
4
x t
y
z t
0.5
Vì
nằm trong (P),
d nên
d’
Gọi H(t; 2; 4 – t) là giao điểm của
và d’ ta có M
d’ nên MH
2 2 2
( , ) 2 2 1 2 2 4 3 8
MH d M t t
2
3
1 4
1
t
t
t
0.25
+ Với t = 3 thì H(3; 2; 1):
qua H, có vtcp
Q
u n
nên
có pt:
3 2 1
1 2 1
x y z
+ Với t =-1 thì H(-1; 2; 5):
qua H, có vtcp
Q
u n
nên
có pt:
1 2 5
1 2 1
x y z
0.25
9.
(1,0
điểm)
Giải phương trình…
Pt
2
2
2 2
6 9 100 3 10
x x x x x i
0,25
2
2
3 10 0 (1)
3 10 0 (2)
x x i
x x i
0,25
(1) có
=
9 40
i
có một căn bậc hai là
5 4
i
(1)
có nghiệm
1 2
4 2
x i
x i
0,25
(2) có
=
9 40
i
có một căn bậc hai là
5 4
i
(2)
có nghiệm
1 2
4 2
x i
x i
0,25
