Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức lớp 9

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức
1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của
BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :
Giải:
, bất đẳng thức này đúng do giả thiết
Đẳng thức xảy ra
2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Từ giả thiết . Ta có :
Đặt với ; có
P là hàm nghịch biến trong đoạn
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng
dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù
hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có:
Giải:
bất đẳng thức cần chứng minh đúng với .
Với , đpcm (1)
Ta có :

( đpcm).
Ví dụ 3:
Cho . Chứng minh:
Giải:
Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0
4.Sử dụng tam thức bậc 2:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có:
Giải:
- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.
- Nếu thì với và
đpcm
Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với
nên (1) đúng ( đpcm)
5.Phương pháp quy nạp:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với thì
Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.
Giải:
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:
Với .
Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):
- Với ( do .
- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với .
Do khẳng định đúng với
Vì
Mà vế phải bằng
Vậy khẳng định đúng với
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:07:37 Ng y 09-11-2007à

Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập
về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ
hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP
chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp
nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho .Tìm Min của:
Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1,
mâu thuẫn với đk
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài
toán.Khi a=3 thì và
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có
Khi đó kết hợp với đk ta có
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng
Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có
.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:
P= + + >=
Giải:
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng
.Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng
PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp
đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho
a=1 và b=9 ta được ngay:

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc
biệt của bài toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P= + +
Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ
Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 19:00:41 Ng y 05-03-2008à
Dạng I)Phương trình dạng
Ví dụ 1:Giải phương trình:
Phương trình đã cho tương đương với:
Giải (1):
Giải (2):
Ví dụ 2:Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương tương với:
Giải (1) ta có: x=0.
Giải (2) ta có x=1.
Dạng II)Phương trình dạng
Ví dụ 3:Giải phương trình:
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với :
Giải (1) x=1.
Giải (2) x=0.
Ví dụ 4:Giải phương trình:
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với:
Giải (1) ta có (vô nghiệm)
Giải (2) ta có:x=0.
Dạng III)Phương trình dạng:
Ví dụ 5:Giải phương trình:

Phương trình đã cho tương đương với :
Dạng IV)
Ví dụ 6:Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với:
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
Bài 1)
Bài 2)
Bài 3)
Bài 4)
Bài 5)
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ng y 20-02-2008à
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học
sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-
Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng
các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng
dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN
Tác giả: nhoanh2006d đưa lên lúc: 15:29:02 Ng y 18-02-2008à
Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh
có một kĩ thuật là ta đi chứng minh : .Nếu chứng minh được như
thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1.Cho ,chứng minh :
Giải : Ta có :
mà nên
nên
Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :
Giai: Ta có :
Mà
Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :

Giải: Ta có :
(x,y là các số dương)
tương tự 2 bài trên ta suy ra

Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ

bất đẳng thức tên tuổi
| B i n y à à được '.boy148.' cho '.3.' điểm
1. BĐT Cô-si (AM-GM):
. Dấu bằng xảy ra khi
BĐT suy rộng: Cho là các số hữu tỉ dương mà
Cho dãy số không âm . Khi đó
2. BĐT Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý.
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
3. BĐT Svac-xơ:
Cho và là hai dãy số, trong đó với .
Khi đó
4. BĐT Trêbưsep:
Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm)
Ta có:
Dấu bằng có hoặc
Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp. Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé!
Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.
Khi đó
6. BĐT Nesbit:+3 biến: Cho . Khi đó
+4 biến: . Khi đó
+6 biến: . Khi đó
BĐT Minkowski:
Cho hai dãy số không âm và khi đó:
Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:
ĐỊ NH NGH Ĩ A GTLN,GTNN:
.M được gọi l giá trà ị lớn nhất của A nếu.

.Chú ý: M l GTLN cà ủa A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất l nó là ớn hơn hoặc bằng mọi
phần tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M.
Ví d ụ : (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì;
.với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A.
.với M thì ko có phần tử n o thuà ộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A.
.Vậy A ko có GTLN.
.GTNN định nghĩa tương tự.
CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CH Ứ NG MINH B Đ T :
A.PH ƯƠ NG PHÁP ĐẠ I S Ố : đây l phà ương pháp thường dùng nhất để cm các bđt:
1.S Ử D Ụ NG B Đ T TH Ứ C CAUCHY : bđt thường dung nhất.
*nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những b i toán m cà à ả hai vế có
số “phần tử “ bằng nhau v bà ậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt
Cauchy.
Ví d ụ 1: với mọi a,b,c>0 .CMR:
.dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử v bà ậc bằng 4 ta dung bđt cauchy.
Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có;
. (1)
Tt ta có . (2)
. (3)
.(1)+(2)+(3) suy ra đpcm
.dấu “=” xảy ra khi v chà ỉ khi
Ví d ụ 2:với ba số a,b,c dương.CMR:
.có thể coi hai vế đều có bậc 1,v 3 hà ạng tử ta dùng bđt cau Cauchy :
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số ta có
Suy ra (1)
Suy ra (2)
(1) v (2) suy ra à đpcm
d âu “=’ x ảy ra khi v chà ỉ khi a=b=c.
V í d ụ 3: cho x,y,z d ư ơng CMR:

.ta thấy mỗi vế có 3 hang tử v ta có thà ể coi nó cùng “ bậc -1“ ta dung bđt
Cauchy
“p dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có;



cộng lại ta suy ra dpcm
dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi x=y=z.
Ví d ụ 4 : cho a,b,c dương.CMR:
.ta thấy rằng đây l dà ạng đặc trưng cho pp s i bà đt Cauchy hai lần
“p dụng bđt cauchy cho 3 số ta có:

dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi a=b=c.
Ví d ụ 5: tìm giá trị nhỏ nhất của M=
Ta có M+3=
=
“p dụng bdt Cauchy ta có:

Suy ra M+3
Suy ra M
M và ới a=b=c ta có
vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2.B Ấ T ĐẲ NG TH Ứ C BSC: mình ít s i bà đt n y là ắm lên ko r nhà .
*với 2n số
Ta có
dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi ( chú ý nếu thì
*VT l trà ị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP l tíchà modun.
*khi ta có tổng mà thì ta áp dụng bđt n yà .
Ví d ụ 1: CMR:

“p dung bđt BCS ta có:

3.S Ử D Ụ NG Đ I Ề U KI Ệ N CÓ NGHI Ệ M C Ủ A 1 S Ố PT:
*hiện tại mới nhớ ra điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 v pt là ượng giác bậc
nhất;
Ví d ụ 1: tìm GTLN v GTNN nà ếu có của
DK:x=! 0
Ta có
Suy ra (1)
điều kiện tồn tại x l detalà
tưong đương
vậy y ko có GTLN v GTNN cà ủa y là ( ta có thể thế y =3/4 v o (1) à để tính giá trị
x khi y đạt GTNN.
Ví d ụ 2: tìm GTLN,GTNN nếu có của
Ta có : y(sin x+cos x+2)=sin x- cos x+1
Suy ra (y-1)sin x+(y+1)cos x=1-2y
diều kiện tồn tại x l à
tương đương
tương đương
vậy GTLN của y là
GTNN của y là
.PH ƯƠ NG PH“P GI Ả I T“CH : ( dung đạo h m à )
*vì phổ thong chỉ học đạo h m 1à biến lên ta chỉ áp dụng pp n y khi chà ỉ có 1
biến,hoặc nhiều biến nhưng các biến đều biểu diễn theo 1 biến duy nhất.
Ví d ụ 1: CMR : với mọi x>0
đặt f(x)= với x>0
sra f“(x) với mọi x>0
sra f(x) tăng với x>0
sra f(x)>f(0)=0 với mọi x>0
sra đpcm.

Ví d ụ 2:cho x,y v x+y=2 .Tìm GTLN cà ủa M=xy
Ta có y=2-x, v à
Sra M=x(2-x)=-x^2+2x,
M“=-2x+2
M“=0 tương đương x=1
BBT x | 0 1 2
M“| | + 0 - |
M | |0 >.1 >0|
vậy M đạt GTNL khi x=y=1 khi đó GTNL l 1.à
PH ƯƠ NG PH“P HÌNH H Ọ C :
*chú ý bđt về tam giác,quan hệ giữa cạnh huyền v cà ạnh góc vuông ,giữa đường
chéo và đường xiên,giữa cạnh v góc à đối diện.
*nhiều b i toán có dà ạng
Hay
Ta có thể l m bà ằng cách đặt toạ độ cho
Sao cho
rồi áp dụng bđt
ví d ụ 1: cho a+b=3 .CMR
đặt

Suy ra
“p dụng bđt
Suy ra
Suy ra ( vì a+b=3)
Ví d ụ 2: cho a,b,c dương v ab + bc+ca=abc .C MR:à

từ đk ta sra
bđt tương đương
đặt

Sra (vì )
Suy ra đpcm


B i 1: Cho x,y,z,t>0 .CMR:à
1.
2. ( với xy+yz+zx=1)
3.
4.
5. (*)
6.
7. (*)
B i 2:Cho x,y,z,t>0.CMR:à
1.
2. ( với x+y=z=1)
3.
4.
5.
6.
7. (**)
B i 3:CMR:à
1. với mọi x>0
2. ,với mọi x>0
3.voi moi n ,với moị x>0
4. ,với mọi x>0
5. ,với mọi x>0
B i 4:à
1.cho a.b,c dương ,a+b+c =1 .CMR:
dấu “=“ xảy ra khi n o ?à

2.cho a,b>0.CMR:
3.CMR;
4.cho a,b >0,a+b=2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M=
B i 5: à
1.cho x,y>0 .CMR:
2.cho x,y,z,t >CMR:
3cho x,y,z .CMR
4.cho x,y,z,t trong đó tồng hai số lớn hơn 1 số .CMR:
5.cho x,y,y CMR:
B i 6 :tìm GTNN v GTLN nà à ếu có của
1.y=3sin x-4cos x+5
2.
3.m=x+y ( với
4. tìm GTNN n= ( với x+y = 2)
5.y= với -2<x<1
6.y= với
B i 7:cho à .CMR:
B i 8:cho n>1.CMR:à
B i 9;Cho x,y,u,v thoà ả .CMR:
(*)
B i 10:cho a,b,c,d nguyên dà ương v a<b<c,a<dà
(**)
B i 11: cho a,b,c l các sà à ố hũư tỉ dương v à đôi 1 lớn hơn số thứ 3.CMR
(**)
B i 12: so sánh 2 bià ểu thức sau:
v à (**)
với m>p>0
b i 13: cho a+bà .CMR ;
bai 14; cho p,q ko âm v p+q=1.CMR:à

với mọi n,m nguyên dương (*)
Bai 15: tìm giá trị nhỏ nhất ;
1.
2.
3.
B i 16;tìm giá trà ị lớn nhất của
M=

với (*)
b i 17; cho x,y,z thoà ả
CMR:
Tuyển tập các b i toán Bà ĐT có thể ra đại học :D
1. Cho 3 số thực dương sao cho: . Tìm GT lớn nhất của:
.
2. . CMR
Giải theo nhiều cách nha các bạn.
3. Cho 3 số thực dương sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


4. Cho hai số thực thỏa mãn: .
Tìm MIN VÀ MAX của

5. Tìm Min Max của

6. Cho hai số thực thỏa mãn:
Tính tổng .

7. Cho hai số thực thỏa mãn đẳng thức
Tìm giá trị bé nhất của:

8. Cho 4 số thực: thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của:

9. Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm Min của:

10. Cho 2 số thực không âm . Tìm Max v Min cà ủa biểu thức:
.

11.Cho 3 số thực dương thỏa mãn =1.
CMR:


12. Cho 3 số thực dương . CMR:

A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG:
ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số:
Bài làm
.a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9}
.b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9}\{a}
.c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9}|{a,b}
d=!a,b,c. suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{\{a,b,c}
Áp dụng qui tắc nhân ta có :9.9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2:Cho các số {0,1,2,3,4,5,6}
a.Hỏi có bao nhiêu số tư nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số kia.
b.tính tổng các số ở câu a
Bài làm
a*Chọn 4 trong số 7 số tự nhiên trên {0,1,2 6} sau đó hoán vị chúng,ta có số tự
nhiên có 4 chữ số và đôi một khác nhau( trong này có cả những số mà a=0)
*Chọn a=0,sau đó chọn 3 trong số 6 số {1,2,3,4,5,6} ta có số tự nhiên có

4 chữ số mà a=0
*vậy ta có 840-120=720 số thỏa yêu cầu đề bài.
b*Trong số 840 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ( tính cả a=0)
ta có 420 cặp số mà tổng bằng 6666 ( ví dụ 0123+6543=6666,4261+2405=6666)
suy ra tổng là 420.6666=2799720
*Trong số 120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau mà a=0
ta có 60 cặp số mà tổng bằng 777 ( ví dụ 136+641=777,235+542=777 )
suy ra tổng là 60.777=46620
vậy kết quả câu b là 279920-46620=2753100
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9
Bài làm
a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là
*Số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là
Các số tự nhiên chia hết cho 9 là CSC vời công ứoc d=9
theo công thức cấp số cộng:
suy ra 9999=1008+(n-1)9
suy ra (n-1)=999 suy ra n=1000
Vậy có 1000 số thỏa yêu cầu đề bài
b.theo cong thức CSC ta có tổng các số này là:
S=
Ví dụ 4:
a.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số và chia hết cho 3
b.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số hàng chục chia hết cho 3.
Bài làm
gọi số có 5 chữ số là abcde
a.
a=! 0 suy ra có 9 cách chọn{1,2,3 9}
b có 10 cách chọn
c có 10 cách chọn
d có 4 cách chọn {0,3,6,9]

e có 5 cách chọn {0,2,4,8}
Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9.10.10.4.5=18000 số thỏa yêu cầu đề bài
b.
a=!0
TH1: Chọn a là 1 trong các số {1,2,4,5,7,8} suy ra a có 6 cách chọn
d chia hết cho 3 có 4 cách chọn{0,3,6,9}
b =!a,d có 8 cách chọn
c=!a,b,d có 7 cách chọn
e=!a,b,c,d có 6 cách chọn
suy ra Th1 có 6.4.8.7.6=8064 số
Th2:
Chọn a trong các số {3,6,9} suy ra có 3 cách chọn a
d có 3 cách chọn {0,3,6,9}\{a}
b=!a,d có 8 cách chọn
c=!a,b,d có 7 cách chọn
d=!a,b,c có 6 cách chọn
vậy Th 2 có 3.3.8.7.6=3024
Áp dung qui tắc cộng ; ta có 8064+3024=11088 số thỏa yêu cầu đề bài.
BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC:
Cho giác giác n cạnh ,trong đó ko có 3 đỉnh nào thẳng hàng;
a.hỏi có bao nhiê tam giác tạo thành từ các đỉnh của da giác
b,Đa giác này có bao nhiê đừong chéo
c.Biết ko có 2 đừong chéo nào đồng qui tại 1 điểm.Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các
đừong chéo.
Bài làm
a.lấy 3 trong n đỉnh cua da giác n đỉnh ( n cânh thì có n đỉnh) ta đựoc 1 tam giác suy ra có
tam giác là tam giác
b.lấy 2 điểm bất kí ta đựoc 1 đừong chéo hoặc cạnh
vậy tổng số cạnh và đừong chéo là
suy ra số đừong chéo là đừong chéo

c.Cứ chọn 4 điểm trong n đỉnh của đa giác ta có 1 giao điểm của hai đường chéo
Vẩy số giao điểm của 2 đường chéo là
C.BÀI TOÁN VỀ LÀ THỨ
Cho n lá thư bỏ ngẩu nhiên vào n phong bì
a.tính xác xuất đề có đúng 1 lá thư đúng địa chỉ
b.Xác suất để đúng 2 lá thư gửi đúng địa chỉ
c.xác suất để ko lá thư nào đúng địa chỉ
Bài làm
Gọi là xác suất để các là thư thứ 1,2,3 n đúng địa chỉ
ta có

a.xác suất để đúng 1 lá thư đúng địa chỉ là
P=
=
=
b.xác suấ để có dúng 2 lá thư đúng dịa chỉ
Có n lá thư trong đó có đúng 2 lá thư đúng địa chỉ.vậy ta có cách chọn thứ tự cho các lá
thư đúng địa chỉ