Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

112
1

BNGLNGGICHểAIS
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tg
2
t
1+tg
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos

2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2
-
ttg1
tgt2
2
- ttg1
tgt2
2
-
= tg2t
2
x1
x2
+
ttg1
tgt2
2
+ ttg1
tgt2
2
+
= sin2t
xy1
yx
-
+

b a -
b + a
tgtg1
tgtg
b a -
b + a
tgtg1
tgtg
= tg(a+b)
x
2
- 1
1
cos
1
2
-
a
1
cos
1
2
-
a
= tg
2
a

một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số

I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2
a
+ cos
2
a
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt
ợ
ớ
ỡ
a =
a =
cosy
sinx
với a ẻ [0, 2p]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0) thì đặt
ợ
ớ

ỡ
a =
a =
cosay
sinax
với a ẻ [0, 2p]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng: Ê - 2 S = a(c+d) + b(c-d) Ê 2
Giải:
Đặt
ợ
ớ
ỡ
=
=
ucosb
usina
và
ợ
ớ
ỡ

=
=
vcosd
vsinc
ị S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
ị S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
212
2

2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S Ê - + + = Ê - ị - ẻ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
p
- + =
(đpcm)
VD2: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1

b
a
1
a
2
2
2
2
2
2

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
Giải:
Đặt a = cosa và b = sina với 0 Ê a Ê 2p. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1
b
a
1
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+ a +
ữ

ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+ a =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
= cos
4
a + sin
4
a + 4
sin.cos
sincos
sincos4
sin

1
cos
1
44
44
44
44
+
a a
a + a
+ a + a = +
a
+
a
=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a a

+ a + a
=
( )
[ ]
4
sin.cos
1
1sincos2sincos
44
2222
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a a
+ a a - a + a
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin

16
12sin
2
1
1
4
2
= + = + +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a - (đpcm)

Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1
VD3: Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
Ê - + - + + - + -
Giải:
Biến đổi điều kiện: a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)
2
+ (b-2)
2
= 1
Đặt a a + a - a = ị
ợ
ớ
ỡ
a + =
a + =

ị
ợ
ớ
ỡ
a = -
a = -
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a
22
A 2)
6
2sin(22cos
2
1
2sin
2
3
22cos2sin3 Ê
p
- a = a - a = a - a = (đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn : 712b5a + + = 13
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải:

Biến đổi bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
ợ
ớ
ỡ
a = +
a = -
cosR1b
sinR1a
với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
= + + -
ợ
ớ
ỡ
- a =
+ a =
312
3

Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 = + - a + + a = + +

R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5
R113cosR12sinR5 Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ a = a + a = = a + a
Từ đó ị (a-1)
2
+ (b+1)
2
= R
2
1 a
2
+ b
2
+ 2(b - a) - 1 (đpcm)

II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|1|sin| Ê a Ê a
1. Phơng pháp:
a) Nếu thấy |x| Ê 1 thì đặt
[ ]
sin
2 2
cos 0
x khi
x khi

p p
a a
a a p

ộ
ộ ự
= ẻ -
ờ
ờ ỳ
ở ỷ
ờ
ờ
= ẻ
ở
b) Nếu thấy |x| Ê m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin
2 2

cos 0
x m khi
x m khi

p p
a a
a a p

ộ
ộ ự
= ẻ -
ờ
ờ ỳ
ở ỷ
ờ
ờ
= ẻ
ở
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p
+ (1-x)
p
Ê 2
p
" |x| Ê 1 ; " P 1.
Giải:
Đặt x = cosa với a ẻ [0, p], khi đó (1 + x)
p
+ (1 - x)

p
= (1+cosa)
p
+ (1-cosa)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

a
+
a
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
(đpcm)

VD2: Chứng minh rằng: 23123223
22
+ Ê - + = Ê - a a a A
Giải:
Từ đk 1 - a
2
0 |a| Ê 1 nên
Đặt a = cosa với 0 Ê a Ê p ị
2
a1- = sina. Khi đó ta có:
A=
a + a + = a a + a = - + 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32
222
= 3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2 +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
+ a = +

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
a + a 2323 + Ê Ê - ị A (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng:
[ ]
) ( a ) a ( ) a ( a 122221111
233 2
- + Ê - - + - +
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên
412
4
Đặt a=cosa với aẻ[0,p] ị
a = -
a
= +
a
= - sina1
2
cos2a1
2
sin2a1
2
(1)
2
cos

2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
a a
+ Ê
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
a
-
a a a
+

2
cos
2
sin1
2
sin

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
a a
+ Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
a a
+
a
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
a
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22

Ê a =
a
-
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
a
đúng ị (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S =
(
)
(
)
21314

2332
Ê - - + - - a a a ) a (
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên:
Đặt a = cosa với a ẻ [0, p] ị
2
a1- = sina. Khi đó biến đổi S ta có:
S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
a - a + a - a = a - a + a - a
= 2
4
3sin23cos3sin Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
+ a = a + a ị (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng A =
(
)
211311
2222
Ê - - - + - + - ) b )( a ( ab a b b a
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a
2

0 ; 1 - b
2
0 |a| Ê 1 ; |b| Ê 1 nên.
Đặt a = sina, b = sin b với a, b ẻ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
p p
-
2

2
Khi đó A =
)cos(3sincoscossin b + a - b a + b a
=
= 2
3
)(sin2)cos(
2
3
)sin(
2
1
2)cos(3)sin( Ê
ỳ
ỷ
ự

ờ
ở
ộ
p
- b + a = b + a - b + a = b + a - b + a
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26| Ê 1 "a ẻ [1; 3]
Giải:
Do a ẻ [1, 3] nên |a-2| Ê 1 nên ta đặt a - 2 = cosa a = 2 + cosa. Ta có:
A =
13342624522424
323
Ê a = a - a = - a + + a + - a + cos cos cos ) cos ( ) cos ( ) cos (
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A =
2
2 3 3 2 [0,2]a a a a - - + Ê " ẻ
512
5
Giải:
Do a ẻ [0, 2] nên |a-1| Ê 1 nên ta đặt a - 1 = cosa với a ẻ [0, p]. Ta có:
A =
a - a - = + a + - a - - a + cos cos ) cos ( ) cos ( ) cos ( 31313112
22
= 2
3

sin2cos
2
3
sin
2
1
2cos3sin Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
+ a =
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
a - a = a - a (đpcm)
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg
2

a
= 1
cos

1
tg
cos
1
2
2
2
-
a
= a
a
) k ( p +
p
ạ a
2
1) Phơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2
-
thì đặt x =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ

p
p ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,
2
0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx -
thì đặt x =
acos
m
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ

ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,
2
0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
- +
Ê "
Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử

ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,
2
0 ị a = a = - tgtg1a
22
. Khi đó:
A =
2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a
2
Ê
ữ
ứ
ử

ỗ
ố
ổ
p
+ a = a + a = a + a =
+ -
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 Ê A =
2
2
a
1a125 - -
Ê 9 1a "
Giải:
Do |a| 1 nên:
Đặt a =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ
ứ
ử

ờ
ở
ộ
p
2
3
,
2
0
ị
a = a = - tgtg1a
22
. Khi đó:
612
6
A =
2
2
a
1a125 - -
= (5-12tga)cos
2
a = 5cos
2
a-12sinacosa= a -
a +
2sin6
2
)2co s1(5
=

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ a + =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a - a +
13
5
arcco s2cos
2
13
2
5
2sin
13
12
2cos
13
5
2
13
2

5
ị - 4 = 91.
2
13
2
5
13
5
arcco s2co s
2
13
2
5
A)1(
2
13
2
5
= + Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ a + = Ê - + (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1b1a
22

- + -
Ê 1
1a b "
Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên .
Đặt a =
acos
1
; b =
bcos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,

2
0 . Khi đó ta có:
A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( Ê b + a = a b + b a = b a b + a (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 22
1a
a
2

-
1a " >
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
acos
1
với aẻ
a
=
a
a
=
-
ị
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p

sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
0
22
. Khi đó:
a+
22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2

a
=
a a

a
+
a
=
-
(đpcm)
VD5: Chứng minh rằng
26x y31y41xy
22
Ê + - + -
1x y "
Giải:
Bất đẳng thức ) (
y y
y
x x
x
126
3
14
1
1
2
2
Ê

ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
-
Do |x|; |y| 1 nên Đặt x =
acos
1
; y=
bcos
1
với a, bẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 .
Khi đó: (1) S = sina + cosa(4sinb + 3cosb) Ê 26
Ta có: S Ê sina + cosa

a + a = b + b + cos5sin)cos)(sin34(
2222
Ê
2 2 2 2
(1 5 )(sin cos ) 26
a a
+ + = ị (đpcm)
712
7
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg
2
a
=
a
2
cos
1
1. Phơng pháp:
a) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tga với a ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p p
-
2

,
2
b) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtga với a ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p p
-
2
,
2
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S =
1
1
4
1
3
32
3
2
Ê
+

-
+ ) x (
x
x
x
Giải:
Đặt x = tga với a ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p p
-
2
,
2
ị
a
= +
cos
x
1
1
2
, khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tga.cosa - 4tg
3
a.cos

3
a| = |3sina - 4sin
3
a| = |sin3a| Ê 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
22
42
)a21(
a12a83
+
+ +
Giải:
Đặt a
2
= tga với a
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
p p
- ẻ
22
, thì ta có: A =
22
42
)tg1(
tg3tg43
a +

a + a +
= a a - a + a =
a + a
a + a a + a
22222
222
4224
cossin2)cos(sin3
)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 - 3
2
0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2
5
2
2sin
22
= - Ê
a
- = Ê - = ị
a
Với a = 0 ị a = 0 thì MaxA = 3 ; Với a =

4
p
ị a =
2
1
thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22
Ê
+ +
- +
" a, b ẻ R
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb. Khi đó
) tg )( tg (
) tg tg )( tg tg (
) b )( a (
) ab )( b a (
b + a +
b a - b + a
=
+ +
- +
22 22

11
1
11
1
=
b a
b a - b a
b a
b + a
b a
cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22
812
8
=
[ ]
2
1
2
2
1
Ê b + a = b + a b + a ) ( sin ) cos( ) sin(
(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: c,b,a
)a1)(c1(

|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
"
+ +
-

+ +
-
+
+ +
-
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb, c = tgg. Khi đó bất đẳng thức

)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
a + g +
a - g

g + b +
g - b

+
b + a +
b - a

a g
a - g
a g
g b
g - b
g b +
b a
b - a
b a
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
|sin(a-b)|+|sin(b-g)| |sin(g-a)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(g-a)|= |sin[(a-b)+(b-g)]| = |sin(a-b)cos(b-g)+sin(b-g)cos(a-b)| Ê
|sin(a-b)cos(b-g)|+|sin(b-g)cos(a-b)|=|sin(a-b)||cos(b-g)|+|sin(b-g)||cos(a-b)|
Ê |sin(a-b)|.1 + |sin(b-g)|.1 = |sin(a-b)| + |sin(b-g)| ị (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab > " + + Ê +
Giải:
(1)

1
d
b
1
a
c
1
ab
cd
d
b
1
a
c
1
1
1
)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ

ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
Ê
+ +
+
+ +
Đặt tg
2
a=
a
c

, tg
2
b=
b
d
với a,b ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 ị Biến đổi bất đẳng thức
1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
Ê b a + b a =
b + a +
b a
+
b + a +
cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) Ê 1 đúng ị (đpcm)

Dấu bằng xảy ra cos(a-b) = 1 a=b
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
- +
Giải:
912
9
Đặt a = tg
2
a
. Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
.4
2
tg1
2

tg2
.3
1
2
tg
|1
2
tg
|4
2
tg6
2
2
22
2
+
a
-
a
+
a
+
a
=
+
a
-
a
+
a

A = 3sin a + 4 |cosa| 3 sina + 4.0 = 3sina 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A
2
= (3sina + 4 |cosa|)
2
Ê (3
2
+ 4
2
)(sin
2
a + cos
2
a) = 25 ị A Ê 5
Với sina = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
|cos|
3
sin a
=
a
thì MaxA = 5
V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Phơng pháp:
a) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + + +

>
12
0
222
xyz z y x
z ; y ; x
thì
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p
ẻ
D $
CcoszBcosyAcosx
)
2
0(CBA
:ABC
b) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
xyz z y x
z ; y ; x 0
thì

ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p
ẻ
D $
tgCztgBytgAx
)
2
0(CBA
:ABC
c) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
1zxyzxy
0z,yx
thì
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ

ở
ộ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p ẻ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p
ẻ
D $
2
C
tgz
2
B
tgy
2
A
tgx
)0(CBA
gCcotzgBcotygAcotx
)

2
0(CBA
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
+ + - + +
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
a
; y = tg
2
b
; z = tg
2
g
với a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố

ổ
p
2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1
1012
10
tg
2
a
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg
b
tg
2
g

2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1

2
tg
2
tg
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b

a
=
g b
-
g
+
b
p = g + b + a
p
=
g + b + a

a
-

p
=
g
+
b

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
p
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
2222222222
tg tg
S =
)zyx(3
z

1
y
1
x
1
+ + - + +
= cotg
2
a
+ cotg
2
b
+ cotg
2
g
-3
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
+
a
2
tg
2

tg
2
tg
S =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
+
a
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
-
g
+
ữ
ứ
ử
ỗ

ố
ổ
b
-
b
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
222
2
222222
tg tg tg tg g cot tg g cot tg g cot
S = 2(cotga+cotgb+cotgg) -
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
+

a
222
2 tg tg tg
S = (cotga+cotgb-2tg
2
g
) + (cotgb+cotgg-2tg
2
a
) +(cotga+cotgb-2tg
2
b
)
Để ý rằng: cotga + cotgb =
) cos( ) cos(
sin
sin . sin
sin
sin . sin
) sin(
b + a - b - a
g
=
b a
g
=
b a
b + a 2
2
2

0
2
tg2gcotgcot
2
tg2
2
cos2
2
cos
2
sin4
cos1
sin2
)cos(1
sin2
2

g
- b + a ị
g
=
g
g g
=
g +
g
=
b + a -
g
T đó suy ra S 0. Với x = y = z =

3
1
thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
)z1)(y1()x1(
xyz4
z1
z
y1
y
x1
x
222222
- - -
=
-
+
-
+
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
+ z
2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
a

; y = tg
2
b
; z = tg
2
g
với a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0
Khi đó tga =
2
x1
x2
-
; tgb =
2
y1
y2
-
; tgg =
2
z1
z2

-
và đẳng thức ở giả thiết

2
x1
x2
-
+
2
y1
y2
-
+
2
z1
z2
-
=
)z1)(y1()x1 (
xyz8
222
- - -
tga+tgb+tgg = tga.tgb.tgg
1112
11
tga + tgb = - tgg(1-tga.tgb)
b a -
b + a
tg.tg1
tgtg

= - tgg tg(a+b) = tg(-g)
Do a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 nên a + b = p - g a + b + g = p. Khi đó ta có:
tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1 xy + yz + zx = 1. Mặt khác:

(x
2
+ y
2
+ z
2
) - (xy + yz + zx) =
2
1
[
]
0)xz()zy()yx(
222
- + - + -
ị S = x
2
+ y
2
+ z
2
xy + yz + zx = 1. Với x = y = z =
3
1
thì MinS = 1
VD3: Cho
ợ
ớ
ỡ
= + +
>

1zyx
0z,y,x
. Chứng minh rằng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x
Ê
+
+
+
+
+
Giải:
Đặt
2
tg
x
yz a
= ;
2
tg
y
xz b
= ;
2

tg
z
xy g
= với a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0
Do
x
yz
.
z
xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz

+ + = x + y + z = 1
nên tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1
tg
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b

22
= cotg
2
a
tg
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
22
= tg
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
p
22

2
b
+

2
g
=
2
p
-
2
a
p = g + b + a
p
=
g + b + a
22
S =
2
3
1
xyz
z2
1
zxy
y2
1
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy

y
yzx
x
+
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
+
+
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-

+
+
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
+
=
+
+
+
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1

y
zx
1
x
yz
1
x
yz
1
2
1
2
3
xyz
xyz
zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ

ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
+
-
+
+
-
= +
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
+
-
+
-
-
=

2
1
(cos + cosb + cosg) +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+ b + a - b a - b + a ) sin sin cos (cos . cos cos
1212
12
Ê
( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2
1
)1cos(cos

2
1
2
1
22
2
= + = +
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
b a - b + a + + b + a
(đpcm)
3. BiT pNgh
Bài 1:Cho a
2
+ b
2
= 1. CMR: | 20a
3
- 15a + 36b - 48b
3
| Ê 13.
Bài 2:Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
= 5. CMR: 2a + b Ê 10.

Bài 3:Cho
ợ
ớ
ỡ
= +

2ba
0ba
CMR: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Bài 4:Cho a; b ; c 1 CMR:
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
c

1
c
b
1
b
a
1
a
a
1
c
c
1
b
b
1
a
Bài 5:Cho
ợ
ớ
ỡ
= + + +
>
1xyz2zyx
0zyx
222
CMR:
a) xyz Ê
8
1

b) xy + yz + zx Ê
4
3
c) x
2
+ y
2
+ z
2

4
3
d) xy + yz + zx Ê 2xyz +
2
1
e) 3
z1
z1
y1
y1
x1
x1

+
-
+
+
-
+
+

-
Bài 6:CMR:
ab1
2
b1
1
a1
1
22
+
Ê
+
+
+
" a, b ẻ (0, 1]
Bài 7:CMR: (a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2) 9 (ab + bc + ca) " a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2
33
z1
z
y1
y
x1

x
:C MR
1zxyzxy
0z,y,x
222

-
+
-
+
-
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
Bài 9:Cho
2
3
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
xyzzyx
0z,y,x
222
Ê

+
+
+
+
+ ợ
ớ
ỡ
= + +
>
Bài 10: Cho
222222
z1
z2
y1
y2
x1
x2
z1
1
y1
1
x1
1
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
+
+
+
+

+

+
+
+
+
+ ợ
ớ
ỡ
= + +
>