Đề thi và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 tham khảo (1)

Đề thi học sinh giỏi huyện

Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.1
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm):
a. (0,75đ) Tính tổng B = 1+5+52+53+ +52008+52009


1
1   1
1

+ + 1 :  −
− 1
25 
 625 5   25

b. (0,75®) Thùc hiƯn phÐp tÝnh
Câu 2 (2điểm):

2x + 1 3 y 2 2x + 3y − 1
=
=
5
7
6x
x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
+
+

=
+
b. (1đ) Tìm x biết
10
11
12
13
14

a. (1đ) Tìm x, y biết :

Câu 3 (1,5điểm):
2
3

Vẽ đồ thị hàm số: y = - x
Câu 4 (3điểm):
a. (1,5đ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em
sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu
tuổi?
b. (1,5đ) Cho ABC (góc A=900). Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có
PE = PH. Kẻ HQ AC và kéo dài ®Ó cã QF = QH.
a./ Chøng minh ∆ APE = ∆ APH vµ ∆ AQH = ∆ AQF
b./ Chøng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán)
a. (1,5đ) TÝnh tæng
S = 1 + 2 + 5 + 14 + …+

3n−1 + 1

(víi n ∈ Z+)
2

b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nào là nghiệm của đa thức f(x)
Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)
a. (1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên
A=

5x 2
x2

b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55

1


Đề thi học sinh giỏi huyện
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.2
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm)
a. (1đ) Tính tổng: M = -

4
4
4
4

1.5 5.9 9.13
( n + 4) n

b. (0,5đ) Tìm x biết: -4x(x 5) 2x(8 2x) = -3
Câu 2 (1,5điểm)
a. (1đ) Tìm x, y, z biết:
x3 y 3
z3
và x2 + y2 + z2 = 14
=
=
8 64 216

b. (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = 0
vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = 1
tÝnh x50
Câu 3 (2điểm)
a. (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2). HÃy giải thích vì sao gốc toạ
độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng?
x2 1 3 1 1 4
2
b. (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x  − x + x  −  − x + x
2 2

2 2

a./ Tìm bậc của đa thøc Q(x)
 1
 2

b./ TÝnh Q  − 
c./ Chøng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Câu 4 (3điểm)
a.
(1đ) Ba tổ công nhân A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh nhau. Thời gian 3
tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tỉ A nhiều hơn tổ C là 10
ngời. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân là nh nhau)
b.
(2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng th¼ng AD vÏ
tia AM (M ∈ CD) sao cho gãc MAD = 20 0. Cũng trên nửa mặt phẳng này vÏ tia AN (N ∈ BC)
sao cho gãc NAD = 650. Tõ B kỴ BH ⊥ AN (H ∈ AN) và trên tia đối của tia HB lấy điểm P
sao cho HB = HP chøng minh:
a./ Ba ®iĨm N, P, M thẳng hàng
b./ Tính các góc của AMN
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A. (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13
b. (1đ) Tìm số d của phép chia 109345 cho 7
Câu 5 B. (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) Tìm số nguyên dơng n biết
45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65
= 2n
⋅
35 + 35 + 35
25 + 25

b. (1đ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n th×:
3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho 6
§Ị thi häc sinh giái hun

2


Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.3
A/ Phần đề chung
Câu 1 (2,5điểm):
a. (1,75đ) Tính tổng: M = 3

1
1
1
761
4
5
ì

ì4

+
417 762 139 762 417.762 139

b. (0,75đ) Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100
Câu 2 (1điểm):

3x y 3
x
= tính giá trị của
x+ y 4
y
a c
2a + 3b 2c + 3d
=
b. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc = chøng minh r»ng
b d
2a − 3b 2c 3d

a. (0,5đ) Cho tỉ lệ thức

Câu 3 (2,5điểm):

1
3

a. (1,5đ) Cho hàm số y = - x và hàm số y = x -4
1
3

* Vẽ đồ thị hàm số y = - x
* Chøng tá M(3;-1) lµ giao cđa hai đồ thị hàm số trên
* Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ)
b. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A B, vận tốc ôtô con là
40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đà đến B trớc 45
phút. Tính độ dài quÃng đờng AB.

Câu 4 (2®iĨm): Cho ∆ ABC cã gãc A = 900, vẽ phân giác BD và CE (D AC ; E AB)
chúng cắt nhau tại O.
a. (0,5đ) Tính số đo góc BOC
b. (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM
c. (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh AIM cân.
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:
P(x) = 2x2 + 2x +

5
4

b. (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263
Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2 + 10x
b. (1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = 1

Đề thi học sinh giỏi huyÖn

3


Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.4

A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm):
a. (0,75đ) Tính tæng M = 5

4
3
3
4
⋅ 27
+ 4 ⋅ ( −5 )
23
47
47
23

b. (0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1
Biết rằng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0. Hái n cã thể bằng 2002 đợc hay không?
Câu 2 (2 điểm)
a. (1đ) Tìm x biết

1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
18
24
6x

b. (1đ) Tìm x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z và x y + z = 32
Câu 3 (1,5điểm)
Cho hình vẽ, đờng thẳng OA là đồ thị hàm số
y = f(x) = ax (a ≠ 0)
a. TÝnh tØ sè

yo − 2
xo − 4

y
B

y0

b. Gi¶ sư x0 = 5 tÝnh diện tích OBC

2
1

o

A
1 2

C
3

4 5

X0

x

Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A B, vận tốc ôtô con là
40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đà đến B trớc 45

phút. Tính độ dài quÃng ®êng AB.
b. (2®) Cho ∆ ABC, gäi M vµ N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối
của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy ®iĨm E sao
cho NE = NC. Chøng minh r»ng:
• Ba điểm E, A, D thẳng hàng
ã A là trung điểm của ED
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) So sánh 8 và 5 + 1
b. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) So sánh 2300 và 3200
b. (1®) TÝnh tỉng A = 1 + 2 + 22 + … + 22010
§Ị thi häc sinh giái hun

4


Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.5
A/ Phần đề chung
1 1 1
3
3
3

0,6

25 125 625
Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A = 9 7 11 +
4 4 4
4
4
4
− −
− 0,16 −
−
9 7 11
5
125 625
a. (0,5đ) Tìm các số a1, a2, a3, a9 biÕt
a −9
a1 − 1 a2 − 2 a3 − 3
=
=
= ... = 9
vµ a1 + a2 + a3 + + a9 = 90
9
8
7
1
Câu 2 (2 điểm)
1 + 3y 1 + 5y 1 + 7 y
=
=
a. (1đ) Tìm x, y biết
12

5x
4x
2
2
b. (1đ) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mÃn x + 2 x + y − 9 = 0
C©u 3 (1,5điểm)
a. (1đ)
Cho hàm số y = f(x) = x + 1 víi x ≥ -1
-x – 1 víi x < -1
* Viết biểu thức xác định f
* Tìm x khi f(x) = 2
2
b. (0,5đ) Cho hàm số y = x
5
* Vẽ đồ thị hàm số
* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán).
Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi
đợc 1/2 quÃng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quÃng đờng còn lại. Do đó ôtô đến
B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quÃng đờng AB.
b. (2đ) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK
vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE). Chứng minh rằng:
* BH = AK
* ∆ MBH = ∆ MAK
* ∆ MHK lµ tam giác vuông cân
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) Tìm các số x, y, z thoả mÃn đẳng thức
( x 2 ) 2 + ( y + 2) 2 + x + y + z = 0
b. (1đ) Tìm x, y, z biết:

x + y = x : y = 3(x – y)
C©u 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
1

b. (1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hỵp lÝ: A =

1
1
1
+
−
49 49 (7 7) 2
2

64 4  2
4
+
2
7 7 343

đáp án 1.1
5


I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Nhân 2 vÕ tỉng B víi 5
- LÊy 5B - B rót gọn và tính đợc B =
b. (0,75đ)

5 2010 1
4

- Khai căn rồi quy động 2 ngoặc
- Thực hiện phép chia đợc kết quả bằng -1

2
29

Câu 2 (2đ)
a. (1đ) - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) và (2) đợc tỉ số (4)
- Từ tỉ số (3) vµ tØ sè (4) ta cã 6x + 12 ⇒ x = 2 tù đó tính đợc y = 3
b. (1đ) - Chuyển các số hạng ở vế phải sang vế trái
- Đặt thừa số chung đa về 1 tích bằng 0
- Tính đợc x = -1
Câu 3 (1,5đ) (Mỗi ®å thÞ cho 0,75®)
2
3

2
3
2
x víi x < 0
3

y = - x = - x với x 0

Câu 4 (3đ)
a. (1,5đ)

- Gọi tuổi anh hiện nay là x (x > 0), ti em hiƯn nay lµ y (y>0)
→ ti anh cách đây 5 năm là x 5
Tuổi của em sau 8 năm nữa là y + 8
Theo bài có TLT:

x 5 y +8
=
và x - y = 8
3
4

Từ đó tính đợc:
x = 20; y = 12
- Vậy tuổi anh hiện nay là 20 tuổi em là 12
b. (1,5đ)
- APE = APH (CH - CG ⊥ )
- AQH = AQF (CH - CG ⊥ )
- gãc EAF = 1800 ⇒ E, A, F thẳng hàng
II. Phần đề riêng
Câu 5A (2đ)
a. (1,5®)

- BiÕn ®ỉi S =

1
30 3 3 2
3n−1
⋅ n + ( + + + ... +
)
2

2 2 2
2

- §a vỊ dạng 3S S = 2S
- Biến đổi ta đợc S =

2n + 3 n − 1
(n ∈ Z + )
4

b. (0,5đ)
- Nghiệm lại các giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức
- Giá trị nào làm cho đa thức bằng 0 thì giá trị đó là nghiệm
Câu 5 B (2®)
6


a. (1,5đ)

A=5+

8
x2

A nguyên
Lập bảng
x -2
x

8

nguyên x 2 ∈ (8)
x−2

-8
-6

-4
-2

-2
0

-1
1

1
3

2
4

4
6

8
10

V× x ∈ Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A ∈ Z
b. (0,5®)

76 + 75 – 74

= 74 (72 + 7 – 1)
= 74 . 55 55
đáp án 1.2

I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (1đ)- Đa dấu ra ngoài dấu ngoặc
- Tách một phân số thành hiệu 2 phân số rồi rút gọn đợc A =
b. (0,5đ)

Biến đổi rồi rút gọn ta đợc x = -

1
1
n

3
4

Câu 2 (1,5đ)
a. (1đ)- Biến đổi các mẫu dới dạng lập phơng đa về dạng

a c e
= =
b d f

- áp dụng tính chất dÃy TSBN rồi tìm x, y, z
b. (0,5đ)

Kết quả x50 = 26
Câu 3 (2đ)
a. (1đ)
Gọi đờng thẳng (d) đi qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a 0) từ đó
tính a để xác định hàm số OM là đồ thị hàm số.
- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không?
kết luận: O, M, N thẳng hàng
b. (1đ)

x3 x 2
⇒ bËc Q(x) lµ 3
2
−1 1
1
1
1
−
(− ) 3 − (− ) 2
- Q(- ) = 2
2 = 8 4 = −3
2
2
2
16
2
x ( x − 1)
- Q(x) =
lµ mét sè chẵn Q(x) Z
2

- Thu gọn Q(x) =

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,5đ)

Câu 4(3đ)
a. (1®) Gäi sè ngêi tỉ A, tỉ B, tỉ C lần lợt là x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21
⇒ x, y, z TLT víi

1 1 1
; ;
Tõ ®ã tÝnh ®ỵc x = 30; y = 28; z = 20
14 15 21

7


b. (2®)
*
-

BNA =

PNA (c.c.c)

⇒ gãc NPA = 900 (1)
- ∆ DAM = ∆ PAM (c.g.c)
⇒ gãc APM = 900 (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt luËn

* Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; góc AMN = 700
II. phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1®)
222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222
= 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111)
V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110)
= 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) 13 ⇒ KL
b. (1®)
Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. v× 109345 – 4345 7
4345 – 1 7 ⇒ 109345 chia hÕt cho 7 d 1
Câu 5 B (2đ) Đáp án 2
a. (1đ)
VT: - Đa tổng các luỹ thừa bằng nhau dới dạng tích
và biến ®ỉi ®ỵc 212 ⇒ n = 12
b. (1®)
- Nhãm sè hạng thứ nhất với số hạng thứ 3 rồi đặt TSC. Số hạng thứ 2 với số hàng
thứ 4 rồi đặt TSC
- Đa về một tổng có các số hạng cho 2 vµ 3 mµ UCLN(2;3) = 1
⇒ tỉng 6

I. Phần đề chung
Câu 1 (2,5đ)

đáp án 1.3

1
1
1

;b=
;c=
762
139
417
3
- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M =
762

a. (2đ)

- Biến đổi M dới dạng một tổng rồi đặt a =

b. (0,5đ)

(-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = 1 + 1 +1 + … + 1 = 50

Câu 2 (1đ)
a. (0,5đ) áp dụng tính chÊt cđa tØ lƯ thøc
x 7
a c
= ⇒ ad = bc ⇒ =
y 9
b d
a c
a b
2a 3b 2a + 3b 2a − 3b
2a + 3b 2c + 3d
=
⇒

=
b. (0,5®) Tõ = ⇒ = ⇒ = =
b d
c d
2c 3d 2c + 3d 2c − 3d
2a − 3b 2c − 3d

Câu 3 (2,5đ)
a. (1,5đ)
8


1
3

* Vẽ đồ thị hàm số y = - x
1
3

* Từ 2 hàm số trên ta đợc phơng trình hoành ®é - x = x -4
1
3

- Thay ®iÓm M(3; -1) vào phơng trình hoành độ ta đợc - . 3 = 3 – 4 = -1
⇒ M(3; -1) lµ giao của 2 đồ thị hàm số trên.

* Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy
OMP vuông tại P
OM 2 = OP 2 + PM 2 = 12 + 32
⇒ OM = 1 + 9 = 10 (đvđd)

b. (1đ)
- Đổi 45 phút =

45
3
h= h
60
4

- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tơng ứng với thêi gian lµ t1 vµ
t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2
v1 t 2
3
- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN v = t ; t2 – t1 =
4
2
1
3
. 4 = 3 (h)
4
3
9
T1 = ⋅ 3 = ( h )
4
4

- Tính đợc t2 =

S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km

C©u 4 (2®)
a. (0,5®)
Cã gãc B + gãc C = 900
0
⇒ gãc OBC + gãc BCO = 90 = 45 0 (BD, CE là phân giác)
2
góc BOC = 1800 450 = 1350

b. (1®)
∆ ABD = ∆ MBD (c.g.c)
⇒ gãc A = gãc M = 900 ⇒ DM ⊥ BC (1)
∆ ECN = ∆ ECA (c.g.c)
⇒ gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN ⊥ BC (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM

B

N
I

E

A

M
O

D

C

c. (0,5®)
∆ IBA = ∆ IBM (c.g.c)
⇒ IA = IM thay IAM cân tại I

II. Phần ®Ị riªng
9


Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)

P(x) = (x+1)2 + x2 +

1 1
với x
4 4

vậy P(x) không có nghiệm
b. (1đ)

2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126
7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126
Tõ ®ã suy ra 2454 . 5424 . 210 7263

Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)

Cho 5x2 + 10x = 0

5 x = 0
x = 0
⇒ 5x(x + 10) = 0 ⇔ 
⇔
 x + 10 = 0
 x = −10

NghiÖm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10
b. (1®)

x − 2 = 0

x = 2

⇒
5(x-2)(x+3) = 1 = 50 ⇒ (x-2)(x+3) = 0 ⇔ 
 x + 3 = 0  x = −3

VËy x = 2 hoặc x = -3
đáp án đề 1.4
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng một tổng
- Đặt
b. (0,75đ)

1
=a ;
23

1
=b
47

- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào đợc A = 119
Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, ana1

số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng

vì 2002 2 n = 2002
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) Tìm x biết

n
2

1 + 2 y (1) 1 + 4 y ( 2 ) 1 + 6 y (3)
=
=
18
24
6x

- ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) và (3) đợc tỉ số (4)
- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)
6x = 2 . 24 = 48 x = 8
b. (1đ)

- Đa vỊ d¹ng

a c e
= =
b d f

10


- ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN ⇒ tÝnh x, y, z
Câu 3 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
y0
=a
x0
1 y
⇒ a= = 0
2 x0
y 0 2 y0 − 2
= =
x0 4 x 0 − 4

y0 = ax0

Mà A(2;1)

b. (0,75đ)



- OBC vuông tại C

1
1
OC.BC = OC. y 0
2
2
1
5
Víi x0 = 5 ⇒ S ∆OBC = ⋅ 5 ⋅ = 6,25 (®vdt)
2
2
⇒ S ∆OBC =

Câu 4 (3đ)
a. (1đ)

- Đổi 45 phút =

45
3
h= h
60
4

- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tơng ứng với thời gian là t1 và
t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
v1 t 2
3
- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN ⇒ v = t ; t2 – t1 =
4
2

1

- TÝnh ®ỵc t2 =

3
. 4 = 3 (h)
4

⇒ S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km

t1 =

3
9
⋅ 3 = ( h)
4
4

b. (2®)
- ∆ MAD = ∆ MCB (c.g.c)
⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1)
- ∆ NAE = ∆ NBC (c.g.c)
⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh trên A là trung điểm của
ED

E

A

D

N
M

B

C

II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)
So sánh 8 và 5 + 1
ta có 2 < 5 ⇒ 2 + 6 < 5 + 6 = 5 + 5 + 1
⇒ 8 < ( 5 + 1) 2 ⇒ 8 < 5 + 1
b. (1®)
- Thay giá trị của x vào 2 đa thức
- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính đợc m = -

1
4

11


Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)
Ta có 2 300 = (23 )100
3 200 = (32 )100

3200 > 2300
b. (1đ)

- Nhân hai vÕ cđa tỉng víi A víi 2
- LÊy 2A A rút gọn đợc A =

2 2010 1
2

Đáp án 1.5
I. phần đề chung
Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ)
a. A = 1
b. áp dụng tính chất của dÃy TSBN ta tính đợc
a1 = a2 = = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)
a.
- áp dụng tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) đợc tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ sè (2)  12 + 4x = 2.5x  x = 2
1
15
2
2
- Vì x + 2 x 0 và y − 9 ≥ 0
⇒ x2 + 2x = 0 và y2 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)

- Từ đó tính đợc y = b.

Câu 3 (1,5đ)
a. (1đ)

- Biểu thức xác định f(x) = x + 1
- Khi f(x) = 2 ⇒ x + 1 = 2 từ đó tìm x
b. (0,5đ)

- Vẽ đồ thị hàm sè y =
x
y

0
0

2
x
5

5
2

O (0;0)
A (5;2)

2
- BiĨu diƠn O(0;0); A(5;2) trªn mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = x
5

- M đồ thị y =

2
2
x -2 = x x = -5

5
5

Câu 4 (3điểm)
a. (1®)

18 phót =

18 3
= ( h)
60 10

- Gäi vËn tèc và thời gian dự định đi nửa quÃng đờng trớc là v1; t1, vận tốc và thời
gian đà đi nửa quÃng đờng sau là v2; t2.
- Cùng một quÃng đờng vận tốc và thời gian là 2 đại lợng TLN do ®ã:
12


v

v −v

v

100

2
1
2
1

V1t1 = v2t2 ⇔ t = t = t − t = 3
1
2
1
2

⇒ t1 =

B

3
(giê) ⇒ thêi gian dù định đi
2

cả quÃng đờng AB là 3 giờ
- QuÃng đờng AB dài 40 . 3 = 120 (km)
b. (2đ)
- HAB = KCA (CH – GN)
⇒ BH = AK
- ∆ MHB = MKA (c.g.c)
MHK cân vì MH = MK (1)
Cã ∆ MHA = ∆ MKC (c.c.c)
⇒ gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã
⇒ gãc HMK = 900 (2)
Tõ (1) và (2) MHK vuông cân tại M
II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ) Vì (x − 2) 2 ≥ 0 víi ∀ x

M

K
E

H
A

C

( y + 2) 2 ≥ 0 víi ∀ y
x+ y+z

≥ 0 víi ∀ x, y, z

 ( x − 2) 2 = 0


Đẳng thức xảy ra ( y + 2) 2 = 0

x+ y+x =0


x = 2


⇔ y = − 2
z = 0



b. (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y
⇒ 2y(2y – x) = 0 mµ y ≠ 0 nªn 2y – x = 0 ⇒ x = 2y
4
2
Từ đó x = ; y =
3

3

Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn
- Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x
b. (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn đợc A =

1
4

THI THễNG TIN PHT HIN HỌC SINH GIỎI
13


BẬC THCS CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2008 -2009

Mơn: Tốn 7
Bài 1: (3 điểm): Tính
1
2
2 3
 1
 


÷
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  : 19 − 2 3 .4 4 



Bài 2: (4 điểm): Cho
a)

a2 + c2 a
=
b2 + c 2 b

a c
= chứng minh rằng:
c b
b2 − a 2 b − a
b) 2 2 =
a +c
a

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:
1
5

a) x + − 4 = −2

b) −

15

3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vng. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với
vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên
bốn cạnh là 59 giây
µ
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm
trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009)2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI
Bài 1: 3 điểm
1
2
2 3
 1
 

÷
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  : 19 − 2 3 .4 4  =



6 15 17 38  
8 19 
109
=  − ( : + . )  : 19 − . ÷ 0.5đ
100 2 5 100  
3 4
 6
109  3 2 17 19   
38 
=  −  . + . ÷ : 19 − ÷
1đ
3 
 6  50 15 5 50   
109

323  19



+
=  −
÷ :
 6  250 250   3
2

 109 13  3
− ÷. =
 6 10  19

=

0.5
0.5đ
14


=

506 3 253
. =
30 19 95

0.5đ

Bài 2:
a) Từ

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b
a 2 + c 2 a 2 + a.b
khi đó 2 2 = 2
b +c
b + a.b
a ( a + b) a
= b( a + b ) = b

0.5đ
0.5đ

0.5đ

a2 + c2 a
b2 + c2 b
= ⇒ 2 2 =
b2 + c 2 b
a +c
a
2
2
2
2
b +c
b
b +c
b
từ 2 2 = ⇒ 2 2 − 1 = − 1
a +c
a
a +c
a
2
2
2
2
b +c −a −c
b−a
=
hay
2

2
a +c
a
2
2
b −a
b−a
vậy 2 2 =
a +c
a

b) Theo câu a) ta có:

0.5đ
1đ
0.5đ
0.5đ

Bài 3:
a)

x+

1
− 4 = −2
5

1
= −2 + 4
0.5đ

5
1
1
1
x + = 2 ⇒ x + = 2 hoặc x + = −2
5
5
5
1
1
9
Với x + = 2 ⇒ x = 2 − hay x =
5
5
5
1
1
11
Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = −
5
5
5
x+

1đ
0.25đ
0.25đ

b)
15

3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2
6
5
3 1
x+ x = +
5
4
7 2
6 5
13
( + )x =
5 4
14
49
13
x=
20
14
130
x=
343
−

0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ
15


Bài 4:
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
0.5đ
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
5.x = 4. y = 3.z và x + x + y + z = 59
Ta có:
1đ
x y z x + x + y + z 59
= = =
=
= 60
hay: 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 59
5 4 3 5 5 4 3 60

0.5đ

Do đó:
1
x = 60. = 12 ;
5

1
x = 60. = 15 ;
4

1
x = 60. = 20
3

0.5đ

Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m)
Bài 5:
-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
0.5đ
a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
1đ
·
·
suy ra DAB = DAC
·
Do đó DAB = 200 : 2 = 100
µ = 200 (gt)
b) ∆ ABC cân tại A, mà
A

0.5đ
A

200

nên

D

·
ABC = (180 − 20 ) : 2 = 80
·
∆ ABC đều nên DBC = 600
0

0

0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
ABD = 800 − 600 = 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD
nên ·
ABM = 100

M

C

B

Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
ABD = 200 ; ·
ABM = DAB = 100
AB cạnh chung ; BAM = ·
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 6:

25 − y 2 = 8(x − 2009) 2

Ta có

8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)

Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤

0.5đ

25
, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1
8

0.5đ

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ¥ )
Từ đó tìm được

(x=2009; y=5)

0.5đ

0.5đ

16

đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
96.101

Bài 1.

Tính

Bài 2.

Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:

1 1 1
+ =
x y 5
Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20,

Bài 3.
140 và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mÃn: x − 1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3

Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 0 ; gãc BAC = 700 . Phân giác trong góc
ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0. Chứng minh: BN =
MC.

đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. x −

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b. ( x − 7 )

x +1

− ( x − 7)

x +11

=0

Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của
5 4 6

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
a c
a2 + c2 a
= . Chứng minh rằng: 2 2 =
b) Cho
c b
b +c
b

17


Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
·
·
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE = 50o ; MEB =25o .
·
·
Tính HEM và BME
Bài 5: (4 điểm)
µ

Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
c) Tia AD là phân giác của góc BAC
d) AM = BC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 7
Bài 1:(4 điểm):
Thang
điểm

Đáp án
a) (2 điểm)

212.35 − 46.92

510.73 − 255.49 2

10

212.35 − 212.34 510.7 3 − 5 .7 4
A=
−
=
−
6
3
2
4 5
( 125.7 ) + 59.143 212.36 + 212.35 59.73 + 59.23.73
( 2 .3) + 8 .3

0,5 điểm

212.34. ( 3 − 1) 510.73. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )

0,5 điểm

10 3
212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 −
2 .3 .4
59.73.9
1 −10 7
= −
=
6
3
2

b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có:
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n = 3n + 2 + 3n − 2n + 2 − 2n
= 3n (32 + 1) − 2n (2 2 + 1)
= 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 ×
10
10
10

n
n
= 10( 3 -2 )
n+2
n+ 2
n
n
Vậy 3 − 2 + 3 − 2  10 với mọi n là số nguyên dương.

0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm
1 điểm
0,5 điểm

Bài 2:(4 điểm)
Đáp án

Thang
điểm

a) (2 điểm)
18


x−

1 4
2

1 4 −16 2
+ = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+
3 5
5
3 5
5
5

⇔ x−

1 4 14
+ =
3 5 5

0,5 điểm
0,5 điểm

 x −1 =2
1
3
⇔ x− = 2⇔  1
 x− =−2
3
 3


0,5 điểm

 x=2+ 1 = 7

3 3
⇔
 x=−2+1 = −5
3 3



0,5 điểm

b) (2 điểm)

( x − 7)

x +1

⇔ ( x − 7)

− ( x − 7)

x +11

=0

1 − ( x − 7 ) 10  = 0


10
( x +1)
1 − ( x − 7 )  = 0
⇔ ( x − 7)



x +1

  x −7  x +1=0

÷

⇔ 
1−( x −7)10 =0



0,5 điểm

0,5 điểm


⇔  x −7=0⇒ x =7
10
 ( x −7) =1⇒ x=8

0,5 điểm

Bài 3: (4 điểm)
Đáp án
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =

0,5 điểm

2 3 1
: : (1)
5 4 6

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
a b c
2
3
k
= =
Từ (1) ⇒ 2 3 1 = k ⇒ a = k ; b = k ; c =
5
4
6
5 4 6
4 9 1
Do đó (2) ⇔ k 2 ( + + ) = 24309
25 16 36
⇒ k = 180 và k = −180

Thang điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
19

Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30
Khi đó ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 .
b) (1,5 điểm)
Từ

0,5 điểm
0,5 điểm

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b

khi đó

0,5 điểm

a 2 + c 2 a 2 + a.b
=
b 2 + c 2 b 2 + a.b

0,5 điểm
0,5 điểm

a ( a + b) a
= b( a + b ) = b

Bài 4: (4 điểm)

Thang
điểm
0,5 điểm

Đáp án
Vẽ hình
A

I
M

B

C
H

K

E

a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆EMB có :
AM = EM
(gt )
·
·
AMC = EMB (đối đỉnh )
BM = MC
(gt )
∆AMC = ∆EMB (c.g.c )
Nên :

0,5 điểm
⇒ AC = EB
·
·
Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét ∆AMI và ∆EMK có :
AM = EM (gt )
·
·
MAI = MEK ( vì ∆AMC = ∆EMB )
AI = EK (gt )
20


Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )
·
·
AMI = EMK
o
·
Mà ·
AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù )
·
·
⇒ EMK + IME = 180o
⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )
µ
·
Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
o
o
o
o
·
·
⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40
điểm
o
o
o
·
·
·
⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15
điểm
·
BME là góc ngồi tại đỉnh M của ∆HEM
·
·
·
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngồi của tam giác )

0,5 điểm Suy ra

0,5 điểm
0,5
0,5

0,5 điểm

Bài 5: (4 điểm)
A

20 0

M

D

B

C

-Vẽ hình
a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
·
·
suy ra DAB = DAC
·
Do đó DAB = 200 : 2 = 100
b) ∆ ABC cân tại A, mà µ = 200 (gt) nên ·
ABC = (1800 − 200 ) : 2 = 800
A
·

∆ ABC đều nên DBC = 600
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD = 800 − 600 = 200 .
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên ·
ABM = 100

1điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm

Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
AB cạnh chung ; BAM = ·
ABD = 200 ; ·
ABM = DAB = 100
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

21


22