HNG DN CHM VÀ CHO IM
Môn: Toán (Thi Th H ln 1 - Nm hc 2013 - 2014)
Câu N
i dung c bn
im
Câu 1
2
Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
có th (C
m
).
a) Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s khi m = 0.
b) Tìm m
hàm s ng bin trên khong
( )
+∞;2
a
(1)
V
i m = 0 ta có: y = 2x
3
– 3x
2
+ 1
*TX: R
* Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
*S
bin thiên:
Ta có y’ = 6x
2
– 6x =6x(x-1) = 0 <=> x = 0; x= 1
x -
∞
0 1 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
1 +
∞
-
∞
0
0.5
* kt lun ng bin, nghch bin và cc tr.
* Ch
! ra to im un U(1/2;1/2), Hs có th b qua bc này
0.25
* V th:
O
1
1
0,25
b
(1 )
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
)1(6)12(66'
2
+++−= mmxmxy
y’ có
01)(4)12(
22
>=+−+=∆ mmm
0.5
+=
=
⇔=
1
0'
mx
mx
y
0.25
www.VNMATH.com
Hàm s ng bin trên
( )
+∞;2
⇔
0'>y
2>∀x ⇔ 21 ≤+m ⇔ 1≤m
1≤m
0.25
Câu 2
1
Gii phng trình sau:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
+ −
− =
K cosx
$
0, pt
c
a v
2 2 2
cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0x x x x x x− = + − + ⇔ − =
0.5
Gi
i ti
p
c cosx = 1 và cosx = 0,5 r
i
i chi
u
k
a ra
S:
2 2
2 , 2 ; hay
3 3
x k x k x k
π π
π π
= = ± + =
.
0.5
Câu 3
1
Gii phng trình sau:
2 2
7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R)∈
2
2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x
− − ≥
⇔
− + + = − −
0.25
2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x
− − ≥
⇔
+ = − +
0.25
3 1
0
2
5 2.
x
x
x
x
x
− ≤ ≤
⇔ ≠
+
+ = −
( )
( )
2
2 0
1 16 0
x
x x
− ≤ <
⇔
+ − =
0.25
1x⇔ = −
Vy phng trình ã cho có m t nghim x = - 1.
0.25
Câu 4
1
Tìm m h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit:
2
3( 1) ,(1)
1 ,(2)
x y m
xy x
+ + =
= −
(2) <=>
2
1 0
(1 )
x
xy x
− ≥
= −
<=>
1
1
2
x
y x
x
≤
= − +
( do x = 0 không là nghim)
0,25
Th vào (1) ta có:
2
1
3( 1) 2x x m
x
+ + − + =
, (3)
Xét hàm s
f(x) =
2
1
3( 1) 2x x
x
+ + − +
trên
(
]
;1−∞
, lp bng bin thiên.
Lp lun c m%i giá tr x trên
(
]
;1−∞
thì có duy nht 1 giá tr y, nên (3) có 3
nghim phân bit
0,5
KL:
20
12
3
15
4
4
m
m
< ≤
−
< < −
0,25
www.VNMATH.com
Câu 5
1
Cho hình chóp S.ABCD có
áy là hình vuông cnh bng a. mt bên SAB là
tam giác vuông cân
nh S và nm trong mt phng vuông góc vi mt
phng áy. Tính theo a th tích khi chóp S.ABCD và tính khong cách
gia hai ng thng AB và SD.
+ Trong mp(SAC) k& AG ct SC ti M, trong mp(SBD) k& BG ct SD ti
N.
+ Vì G là trng tâm tam giác
ABC nên d
' có
2
3
SG
SO
=
suy ra G c(ng là trng
tâm tam giác SBD.
T
) ó suy ra M, N l"n lt là
trung im ca
SC, SD.
+ D
' có:
. . .
1 1
2 2
S ABD S BCD S ABCD
V V V V= = =
.
Theo công thc t* s th tích ta có:
.
.
.
1 1 1
. . 1.1.
2 2 4
S ABN
S ABN
S ABD
V
SA SB SN
V V
V SA SB SD
= = =
=
.
.
.
1 1 1 1
. . 1. .
2 2 4 8
S BMN
S BMN
S BCD
V
SB SM SN
V V
V SB SC SD
= = =
=
T
) ó suy ra:
. . .
3
.
8
S ABMN S ABN S BMN
V V V V= + =
+ Ta có:
1
. ( )
3
V SA dt ABCD
= ; mà theo gi thit
( )
SA ABCD
⊥
nên góc hp
b
i AN vi mp(ABCD) chính là góc
NAD
, li có N là trung im ca SC
nên tam giác NAD cân t
i N, suy ra
0
30 .
NAD NDA
= =
Suy ra:
0
3
tan30
SA
AD a= =
.
Suy ra:
3
1 1 3
. ( ) . . 3
3 3 3
V SAdt ABCD a a a a
= = = .
Suy ra: th tích c"n tìm là:
3
. .
3 5
8 8
5 3
.
24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a
V V V V V V
0,5
0,5
Câu 6
1
Cho x,y,z tho
mãn là các s thc:
2 2
x - xy + y = 1
.Tìm giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca biu thc:
4 4
2 2
x + y + 1
P =
x + y + 1
0,25
M
N
O
C
A
D
B
S
G
www.VNMATH.com
1
1
I
H
C
xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22
−≥−+=
=−≥+−=
1
3
1
≤≤− xy
xyyxyxyx
+=+⇔=+−
11
2222
12
2244
++−=+
xyyxyx
!"#$%#$$&
1
3
1
;
2
22
)(
2
≤≤−
+
++−
==
t
t
tt
tfP
0,25
'
−−=
−=
⇔=
+
+−⇔=
)(26
26
0
)2(
6
10)('
2
lt
t
t
tf
0,25
( ")*+
[ ]
1;
3
1
− ,&
)
3
1
(
−
f
%
)26( −f
%
)1(f
-
626)26( −=−= fMaxP
%
15
11
)
3
1
(min =−= fP
0,25
Câu
7a
(1
)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi
AB = 5
, C(-1;-1), ng
thng AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thuc
ng thng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to nh A và B.
* Gi s+ A(3-2a ; a); B(3 - 2b; b)
* Tính trng tâm tam giác G. Vì G thu c d nên ta có:
* Mt khác
AB = 5
.
* T) ó gii h ta c:
3 1
6; ; 4;
2 2
A B
− −
hoc
3 1
6; ; 4;
2 2
B A
− −
0,25
0,25
0,5
Câu
8a
(1
)
Trong m
t phng vi h to Oxy, cho ng tròn (C):
2 2
x + y - 4x - 4y + 4=0
và ng thng d có phng trình:
x + y - 2=0
. Chng
minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân bit A và B. Tìm to im M
trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht.
* Ch! ra (C) có tâm I(2;2), R = 2.
* Ta giao im d và (C) là nghim h:
2 2
4 4 4 0
2 0
x y x y
x y
+ − − + =
+ − =
Gi
i h tìm c A(0;2); B(2;0)
0,25
Hay d luôn ct (C) ti hai im phân bit A và B
0,25
www.VNMATH.com
B
C
H
A
D
* Ta có
1
.
2
ABC
S AB CH
∆
=
( H là hình chiu C trên AB),
ax max
ABC
S m CH
∆
<=>
D' thy
( )
2
c
C C
x
= ∆ ∩
>
(
∆
) có pt: y =x
Gi
i h tìm c
( )
2 2;2 2C + +
0,25
0,25
Câu
9a
(1)
Cho khai trin:
( )
12
2 2 24
0 1 2 24
1 + x + x = a + a x + a x + +a x
. Tính
4
a
.
* Xét s hng t,ng quát ca khai trin:
2
12
( )
n n
C x x+
.
* khai trin
( )
2
n
x x+
có s hng t,ng quát:
2
.
k n k k
n
C x x
−
=> s
hng t,ng quát ca khai trin ã cho có dng:
12
n
C
.
2
.
k n k k
n
C x x
−
(0 12)k n≤ ≤ ≤
.
* S hng cha x
4
khi n + k = 4, vi k trên ta tìm c
}
{
( , ) (0;4);(1;3);(2;2)k n ∈
.
Thay vào ta
c: a
4
= 1221
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
7b
(1)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân
giác trong qua
nh A và C ln lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và
x + 2y – 5 = 0. Vit phng trình các cnh ca tam giác ABC.
* Phng trình cnh BC: 4x+3y-5=0
* Ta C là nghim h:
4 3 5 0
2 5 0
x y
x y
+ − =
+ − =
=>C(-1;3)
* Gi B' là im i xng ca B qua CD => B'
AC∈
* Tìm c B' => phng trình AC: y = 3.
* Tìm
c A(-5;3)
* Vit c pt AB: 4x+7y-1=0.
KL:
0,5
0,25
0,25
Câu
8b
(1
)
Trong m
t phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng
tâm sai ca (E) bng
5
3
và hình ch nht c s có din tích bng 24
Gi s+ ptct (E):
2 2
2 2
1,( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
T) gi thit ta có
2 2
5
3
c a b
e
a a
−
= = =
<=>2a=3b, (1)
0,5
Mt khác hình ch nht c s có chiu dài bng 2a, chiu r ng 2b nên ta có:
2a.2b= 24 <=> a.b = 6, (2)
0,25
Gii h (1) và (2) tìm c a = 3, b= 2.
KL:
2 2
1
9 4
x y
+ =
0,25
Câu
9b
(1
)
M
t hp ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly
ng u nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi hp). Tính xác xut trong 3
viên bi l
y ra có ít nht 1 viên bi .
www.VNMATH.com
* S
ph"n t+ không gian m#u:
( )
3
15
455n CΩ = =
* Xét A là bin c "c 3 viên c chn màu xanh": => n(A) =
3
7
C
=35
0,25
* Xác su
t ca bin c A:
35 1
( )
455 13
P A = =
0,25
* Xét B là bin c "có ít nht 1 bi c chn"
P(B) = 1- P(A) =
12
13
KL:
0,5
Chú ý:
- Trên ây ch là áp án vn tt và hng d n cho im. Hc sinh phi lp lun cht ch
mi cho im ti a.
- Hc sinh gii cách khác úng v n cho im ti a theo thang im.
www.VNMATH.com