Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (2)

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng Kỳ thi giải Nguyễn Khuyến – Lần thứ XII
Trường THCS Nguyễn Khuyến Năm học 2011 - 2012

Bộ môn: Toán- Lớp 7
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức
Bài 1 (1 điểm):
Không sử dụng máy tính hãy so sánh:
A = 2.1+2.3+2.5+….+2.99 và B = 2.2+2.4+2.6+…+2.98+100.
Bài 2 (2,5 điểm):
a) Tìm x biết x
2
- 2(x+3) = x - 6 b) Tìm x biết
2
15
x3
2
39
2
=−
Bài 3 (2 điểm):
Cho 4 số a, b, c, d Biết a = 3b = 4c = 5d và ab – c
2
– d
2
= 831. Tính b- c.
Bài 4 (1,5 điểm):
Tìm số tự nhiên n. Biết rằng nếu gạch bỏ đi một chữ số của n thì được số mới nhỏ hơn số
n là 2012 đơn vị
Bài 5 (3 điểm): Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Ot. Trên tia Oy lấy điểm A. Đường trung
trực của OA cắt tia Ox tại F. Trên tia Ay lấy điểm B sao cho AB = AF. BF cắt Ot tại E.

a) Chứng minh E thuộc đường trung trực của FA.
b) So sánh EF và EB
**************************************

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng Kỳ thi giải Nguyễn Khuyến – Lần thứ XII
Trường THCS Nguyễn Khuyến Năm học 2011 – 2012
Hướng dẫn chấm
Bộ môn: Toán- Lớp 7
Bài 1 (1 điểm): B = 2.2+2.4+2.6+…+2.98+100
-
A = 2.1+2.3+2.5+….+2.99
B – A = 2 + 2 + 2 +… + 2 +2(50-99) = 2.49+ 2(-49) =0
Vậy A = B (1 đ)
Bài 2 (2,5 điểm):
a) Giải: x
2
- 2(x+3) = x - 6
⇔
x
2
– 3x = 0
⇔
x(x+3) = 0
⇔
x = 0 hoặc x= 3 (0,5 đ)
b) Giải:
2x12
2
15
2

39
x3
2
15
x3
2
39
22
±=⇔=−=⇔=−
(1 đ)

3x27
2
15
2
39
x3
2
15
x3
2
39
22
±=⇔=+=⇔−=−
(1 đ)
Bài 3 (2 điểm): Giải: a = 3b = 4c = 5d
⇒


1442251200

dcab
144
d
225
c
1200
ab
12
d
15
c
20
b
60
a
2222
−−
−−
===⇔===
(1 đ)
⇔
5cb15c;20b12d
831
831
144
d
2
=−⇒==⇒=⇔=
(0,5 đ)

5cb15c;20b12d −=−⇒−=−=⇒−=
(0,5 đ)
Bài 4 (2 điểm):
Giải: Gọi chữ số bị gạch đi là x, và số mới là m. Nếu x không phải là chữ số tận cùng của n
thì số m và số n có cùng chữ số tận cùng. Do đó n- m tận cùng là 0
⇒
n- m chia hết cho 10
mà 2012 không chia hết cho 10. Vậy x là chữ số tận cùng của n. (0,5 đ)
Ta có: n =
2012A91020122012xA92012AAxAx ≤<−⇒=+⇔=−⇒

Mà A là số tự nhiên nên A = 223
⇒
x =5. Vậy n = 2235 (1 đ)
Bài 5 (3 điểm): Hình vẽ 0,5 đ
Giải:a)F thuộc đường trung trực của FA
⇒
FO=FA
⇒
∆
OFA cân tại F
⇒
∠
FOA =
∠
FAO = 2
∠
EOB = 2
∠
FOE

AF = AB
⇒
∆
FAB cân tại A
⇒
∠
AFB =
∠
ABF
⇒

∠
FAO = 2
∠
FBA
Vậy:
∠
EOB =
∠
EBO
⇒
OE = EB (0,5 đ)

∆
OFE =
∆
BAE(OF = AB ; OE = EB,
∠
FOE =
∠

EBO)
⇒
EF= EA
⇒
E thuộc đường trung trực của FA (1 đ)
b)
∠
FOA
≤
90
0

⇒
∠
FOE< 45
0

∆
OFE có
∠
OFE = 180
0
- 3
∠
FOE
=3(60
0
-
∠
FOE) > 3(60

0
-45
0
)= 45
0
>
∠
FOE
∆
OFE có
∠
OFE >
∠
FOE
⇒
OE = EB > FE (1 đ)
Cách khác:
∠
EAB >
∠
EOA (góc ngoài của
∆
EAB)
Mà
∠
EOA =
∠
EBA
⇒

∠
EAB >
∠
EBA
⇒
EB > EA mà EA =FE
⇒
EB > FE
A
O
B
F
E
t
y
x