Đề thi học kỳ I lớp 10 THPT chuyên Thái Nguyên năm 2012 - 2013 môn Toán (Có đáp án)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 10 - Chương trình Cơ bản
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2 điểm):
a. Tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng, hướng bề lõm, lập bảng biến thiên và
vẽ đồ thị (P): y = x
2
+ 4x + 3.
b. Với giá trị nào của m thì đồ thị (P) cắt đường thẳng (d) : y = m tại hai điểm phân
biệt có hoành độ âm.
Câu 2 (1 điểm):
Xác định hàm số bậc hai y =

x
2
+ bx + c, biết rằng đồ thị của nó có trục đối xứng là
đường thẳng x = - 3 và cắt trục tung tại điểm A(0; 9)
Câu 3 (2 điểm):
Giải các phương trình sau:
a. b.
Câu 4 (1 điểm):
Giải và biện luận phương trình: mx - 3 = (2 - m)x + 2m
Câu 5 (2 điểm):
Cho ba điểm A, B, C với A(-5; 6); B(-4;-1); C(4; 3).
a) Chứng minh A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm điểm D trên trục hoành sao cho ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD.
Câu 6 (2 điểm):
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 1), C(4; 0).
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị:
= − 2x x
− = +5 1x x
ĐÁP ÁN TOÁN 10 – CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
C©u §¸p ¸n §iÓm
1
a) - Đỉnh I(– 2, –1)
- Trôc ®èi xøng x = - 2
- Parabol cã bÒ lâm híng lªn trªn (do hÖ sè a = 1 > 0)
- Bảng biến thiên :
x -2
y = x
2
+ 4x + 3
-1
- Đồ thị :

b) Nhìn vào đồ thị có thể thấy (P) cắt đường thẳng y = m (song song
với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có toạ độ (0; m)) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ âm khi -1 < m < 3.
Chú ý: HS có thể giải bằng cách sử dụng định lí vi-ét.
1
1

2
Ta có = -3 ⇔ b = 6a = 6
9 = 0 + b.0 + c ⇔ c = 9.
Hàm số cần tìm là y =

x
2
+ 6x + 9
1
3
a)
Vậy phương
trình có 1
nghiệm x =
4.
b)
1
−∞
+∞
+∞+∞
f(x)=x^2+4x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
( )
− ≥


≥


⇔
 
− + =
= −



≥


⇔ ⇔ =
=




=


= − ⇔
2
2
2 0
2
5 4 0
2
2

4
1
4
2
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x
( ) ( )
− = + ⇒ − = +
⇔ − + + − − − =
⇔ − = ⇔ =
2 2
5 1 5 1
(5 1)(5 1) 0
6(4 2 ) 0 2
x x x x
x x x x
x x
Vy phng trỡnh cú 1 nghim x = 2.
1
4

mx - 3 = (2 - m)x + 2m (1) 2(1 - m)x + 2m + 3 = 0 (2)
Vi m = 1 phng trỡnh (2) tr thnh 5 = 0 (2) vụ nghim (1)

vụ nghim,
Vi m 1 phng trỡnh (2) cú 1 nghim x =
Kt lun: m = 1: pt vụ nghim
m 1: pt cú 1 nghim x = .
1
5
a) = (1; - 7)
= (9; - 3)
Ta có suy ra , không cùng phơng hay 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng.
Vậy 3 điểm A, B, C lập thành một tam giác.
b) D nằm trên trục hoành nên tọa độ D có dạng (x; 0)
ABCD là hình thang nên và cùng phơng.
= (x - 4; - 3)
Ta có và cùng phơng = x =
Vậy D(; 0).
0.25
0.5
0.25
1
6
a) Ta cú: (1; 3), (3; -1)
. = 1.3 + 3.(-1) = 0 hay tam giỏc ABC vuụng ti B
Mt khỏc BA = BC =
Vy tam giỏc ABC vuụng cõn ti B ()
b)
Chu vi tam giỏc ABC l: AC + BA + BC = + + =
= (2 + )
1
2 2

(4 2) (0 4) 20AC = + =

1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 -
2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (3 điểm). Tìm hàm số
thỏa mãn:
.
Câu 2 (2 điểm). Cho ba số
dương a, b, c thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Câu 3
(1 điểm). Cho tam giác ABC với , , và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng .
Câu 4 (3 điểm). Trên mặt
phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với , và .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính độ dài phân giác trong của góc A.
c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Học sinh chỉ được làm một trong hai câu sau:
Câu 5a (1 điểm). Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu một trận
với các đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu
số trận như nhau.
Câu 5b (1 điểm). Giả sử rằng n là một số lẻ. Đầu tiên ta viết các số từ 1
tới 2n trên một bảng đen. Sau đó ta chọn ra hai số a, b bất kì xoá chúng và
thay thế chúng bởi . Ta cứ làm liên tục như thế đến khi trên bảng còn lại một
số. Chứng minh rằng số còn lại cuối cùng là một số lẻ.

Hết
:f →¡ ¡
( ) ( ) ( )
1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡
1a b c+ + =
1 1 1
a b c
T
a b c
= + +
− − −
AB c=
BC a=
CA b=
0aIA bIB cIC+ + =
uur uur uur r
( )
2;4A
( )
2;1B
( )
6;1C
a b−
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012
- 2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1. Đặt , ta được: . Ta có hệ:
.
Thử lại hàm số cần tìm là: .

Câu 2. = .
Ta có ; .
⇒ .
Dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi .
Vậy .
Câu 3. Sử dụng tính chất đường phân giác
trong tam giác.
Câu 4. a) Tam giác vuông tại B.
b) Phân giác .
c) .
Câu 5a. Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có
1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10
đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2
đội có số trận đấu như nhau.
Câu 5b. Gọi S là tổng của tất cả các số trên
bảng. Lúc đầu ta có S=1+2+3+…
+2n=n(2n+1) là một số lẻ vì n là một số lẻ. Ta cần tìm đại lượng bất biến. Nhận thấy rằng sau mỗi
lần thực hiện thuật toán như trong đầu bài đã nói thì S sẽ bị mất đi một đại lượng có giá trị bằng .
Vì thế tính chẵn lẻ của S được giữ nguyên sau mỗi lần thực hiện thuật toán. Trong trường hợp của
chúng ta thì S luôn là một số lẻ và vì thế khi trên bảng còn lại một số thì số đó là số lẻ.
t x= −
( ) ( )
1f t tf t t t− − = − + ∀ ∈¡
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1

f x xf x x
f x
xf x f x x
+ − = +
⇒ =

− + − = − +

( )
1f x =
1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )
1 1 1
a b c
T
a b c
− − − − − −
= + +
− − −
( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
 
+ + − − + − + −
 ÷
− − −
 
1 1 1 9

1 1 1 1 1 1a b c a b c
+ + ≥
− − − − + − + −
0 1 1 1 6a b c< − + − + − ≤
9 6
6
2
6
T ≥ − =
1
3
a b c= = =
6
min
2
T =
3 5
2
AD =
( )
3;2I
2min{ , }a b
Tr ờng thpt chuyên tn kỳ thi chất lợng học kỳ I năm học 2012-2013
Môn thi: Toán - Lớp 10 Chơng trình Nâng cao
đề thi chính thức Thời gian làm bài: 90 phút
Câu I: (1,5 điểm)
Xét tính chẵn lẻ của hàm
số: f(x) =
Câu II: (3 điểm)
Cho phơng trình: 2x

2
+2x.sin = 2x + cos
2
(1) với
1, Giải phơng trình (1) khi = 0.
2, Tìm để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho tổng
bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu III: (1,5 điểm)
Giải phơng trình 3x
2
-5x -2
- 2 = 0
Câu IV: (3 điểm)
Trong mặt phẳng (xoy) cho ABC biết A(2;1); B(-1;3); C(1;6)
1, Chứng minh rằng ABC vuông cân; Tính diện tích ABC ?
2, Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trọng tâm của BCD.
3, Gọi AI là đờng phân giác trong của góc BAC. Xác định toạ độ I ?
Câu V: (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi ABC có :

Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: . Chữ ký giám thị:
1 1
1 1
x x

x x
+ +
+
[ ]
0,

[ ]
0,

2
3 5 1x x +
2 2 2 2 2 2
0
cos cos cos cos cos cos
b c c a a b
B C C A A B

+ + =
+ + +
ĐÁP ÁN TOÁN 10 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câ
u
Ý Nội dung Điểm
I Xét tính chẵn lẻ của
hàm sô
ĐK:
TXĐ của hàm số là:
0,5
0,25

0,5
Vậy hàm số là hàm số lẻ 0,25
II Cho
phương
trình:
1 Khi ta có phương trình: 0,25
0,5
Kết luận: khi phương trình
có hai nghiệm
0,25
2 Pt 0,25
Ta có: 0,25
Pt đã cho luôn có 2
nghiệm
0,25
Theo định lý Viet, ta
có:
0,25

0,5
Để A nhỏ nhất thì lớn nhất bằng 1 hay . Khi đó giá trị
nhỏ nhất của A bằng 0
0,5
III Giải phương
trình:
Đặt
0,25
. Phương trình đã cho
trở thành:

0,25
0,25
Với , ta có:
0,5
Kết luận: Tập nghiệm của
phương trình là
0,25
IV Trong mặt phẳng
Oxy cho biết
( )
1 1
1 1
x x
f x
x x
+ + −
=
− − +
1 1 0x x x+ ≠ − ⇔ ≠
{ }
\ 0D = ¡
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
( ) ( )
1 1 1 1
,
1 1 1 1
x x x x
x D f x f x
x x x x
− + + − − + + −

∀ ∈ − = = − = −
− + − − − − − +
( )
f x
( )
2 2
2 2 sin 2 cos 1 , 0;x x x
α α α π
 
+ = + ∈
 
0
α
=
2
2 2 1x x
= +
2
1 3
2
2 2 1 0
1 3
2
x
x x
x

+
=



⇔ − − = ⇔

−
=


0
α
=
1 3
2
x
±
=
( ) ( )
2 2
1 2 2 sin 1 cos 0x x
α α
⇔ + − − =
( )
2
/ 2
sin 1 2cos 0, 0;
α α α π
 
∆ = − + ≥ ∀ ∈
 
1 2
, 0;x x

α π
 
∀ ∈
 
1 2
2
1 2
1 sin
cos
2
x x
x x
α
α

+ = −


−
=


( ) ( )
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 1 sin cos
2 2sin
A x x x x x x
α α

α
= + = + − = − +
= −
sin
α
2
π
α
=
2 2
3 5 2 3 5 1 2 0x x x x− − − + − =
( )
2
3 5 1 0x x t t− + = ≥
2 2
3 5 1t x x
⇔ = − +
2
2 3 0t t
− − =
( )
1
3
t loaïi
t

= −
⇔

=



3t =
2 2
1
3 5 1 3 3 5 8 0
8
3
x
x x x x
x

= −

− + = ⇔ − − = ⇔

=


8
1;
3
T
 
= −
 
 
ABC∆
( ) ( ) ( )
2;1 , 1;3 , 1;6A B C−

1

và AB = BC vuông cân tại
B.
0,5
0,5
2 Gọi 0,5
. Vậy 0,5
3 Theo tính chất đường phân giác, ta có:

0,25
Gọi 0,25
0,25
KL: 0,25
V CMR với :

0,25

0,25
Tương tự: 0,25
Vế trái của
0,25
ABC⇒ ∆
2 2 2
13, 13, 26AB BC AC AB BC AC⇒ = = = ⇒ + =
( ) ( ) ( )
3;2 , 1;5 , 2;3AB AC BC= − = − =
uuur uuur uuur
( )
2

1 13
2 2
ABC
S AB ñvdt
∆
= =
( )
;D x y
1 1
2
3
3 6
1
3
x
y

− + +
=


⇒

+ +

=


6
6

x
y

=
⇔

= −

( )
6; 6D −
( )
1 1
*
2 2
AB BI BI
BI IC
AC IC IC
= ⇔ = ⇔ =
uur uur
( ) ( ) ( )
; , 1; 3 , 1 ;6I x y BI x y IC x y= + − = − −
uur uur
( )
1
1
2 2 3
2
*
6
2

3
2
x
x
x
y
y
y

−
+ =


= −
 
⇔ ⇔
 
−
=



− =


( )
2 2 3; 2I −
ABC∀∆
( )
2 2 2 2 2 2

0 *
cos cos cos cos cos cos
b c c a a b
B C C A A B
− − −
+ + =
+ + +
2 2 2
2 2 2
2 sin 4 sin
2 sin
4 sin
b R B b R B
c R C
c R C


= =

⇒
 
=
=



( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 sin sin 4 cos cosb c R B C R C B− = − = −
( )

( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 cos cos
4 cos cos
c a R A C
a b R B A
− = −
− = −
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos
*
cos cos cos cos cos cos
4 cos cos cos cos cos cos
0
R C B R A C R B A
B C C A A B
R C B A C B A
VP ñpcm
− − −
= + +
+ + +
= − + − + −
= = ⇒