Đề thi học kỳ I lớp 11 THPT chuyên Thái Nguyên năm 2012 - 2013 môn Toán

Trờng THPT Chuyên TN
Kì thi chất lợng học kì I năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán Lớp 11 Chơng trình Chuẩn
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề thi chính thức
Câu 1 (3 điểm):
Giải các phơng trình lợng giác sau:
a.
3cos sin 2x x
;
b.
2 2
4sin 3sin cos cos 0x x x x
;
c.


2 2
sin 1 2cos 2 3sin 2 0x x x
.
Câu 2 (2 điểm):
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
9
2
1
3x
x

.
Câu 3 (2 điểm):
Từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba con. Tính xác suất sao cho:
a. Cả ba con đều là con K;
b. Đợc hai con K và một con không phải là K.
Câu 4 (3 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của
các cạnh SB, SD và BC.
a. Chứng minh rằng MN song song với BD;
b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD). Xác định thiết diện của hình
chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:.Chữ kí giám thị:
Trờng THPT Chuyên TN
Kì thi chất lợng học kì I năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán Lớp 11 Chơng trình Chuẩn
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề thi chính thức
Hớng dẫn Chấm Thi
(Bản Hớng dẫn chấm thi gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 ( 3 điểm ) a) (1,0 điểm)
3 1
3cos sin 2 cos sin 1
2 2
sin 1
3
x x x x
x

0,5
5
2 2 ,
3 2 6
x k x k k



Vậy nghiệm của phơng trình là
5
2 ,
6
x k k



0,5
b) (1, 0 điểm)
+) Nếu cosx = 0
2
x k

thay vào phơng trình ta có
4 = 0 (vô lí). Vậy
2
x k



không là nghiệm của phơng trình.
0,25
+) Nếu cosx

0
2
x k



, chia cả hai vế của phơng trình cho
2
cos x
ta đợc phơng trình
2
tan 1
4tan 3tan 1 0
1
tan
4
x
x x
x

0,5
4
1
arctan
4
x k
x k















0,25

c) (1, 0 điểm)


2 2
2 2
sin 1 2cos 2 3sin 2 0
sin 1 0
2cos 2 3sin 2 0
x x x
x
x x







0,25
)sin 1 2
2
x x k



0,25
2 2 2
2
1 cos2
)2cos 2 3sin 2 0 2cos 2 3 2 0

2
cos2 1
4cos 2 3cos2 1 0
1
cos2
4
x
x x x
x
x x
x









0,25
1 1
arccos
2 4
x k
x k

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm
2
2
,
1 1
arccos
2 4
x k
x k k
x k

0,25
Câu 2 ( 2điểm )
Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1) của khai triển là

9 9 9 3
9 9
2
1
. 3 . . 3 . 1 .
k
k k k k
k k
C x C x
x





1,0
Số hạng không chứa x ứng với 9 3 k = 0

k = 3 0,5
Vậy số hạng cần tìm là

3
3 6
9
.3 1 61236.C
0,5
Câu 3 ( 2 điểm ) a) (1,0 điểm)
+) Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách rút 3 con bài từ 52 con
bài bằng
3
52
C
(phần tử)
0,25
+) Số cách rút 3 con K từ 4 con K là
3
4
C
(cách)
0,25
+) Vậy xác suất rút đợc cả ba con đều là con K là
3
4
3
52
1
5525
C

C

0,5
b) (1,0 điểm)
+) Để rút đợc ba con thoả mãn yêu cầu bài toán ta làm nh sau:
- Rút 2 con K từ 4 con K có
2
4
C
(cách)
0,25
- Rút 1 con bất kì từ 48 con không có bộ K có
1
48
C
(cách)
0,25
+)Vậy số cách rút đợc ba con thoả mãn yêu cầu là
2
4
C
.
1
48
C
(cách)
0,25
+)
Vậy xác suất cần tìm là
2 1

4 48
3
52
. 72
5525
C C
C

0,25
Câu 4 ( 3 điểm ) a) (1,0 điểm)
S
B
C
D
A
M
N
P
E
F
H
0,25
Vì M và N lần lợt là trung điểm của SB và SD nên MN là đờng trung
bình trong tam giác SBD. Vậy MN song song với BD.
0,75
b) (2, 0 điểm)
+) (MNP) và (ABCD) có điểm P chung 0,25
+) Ta có

, , / /MN MNP BD ABCD MN BD

0,25
+) Vậy

, , / / / /MNP ABCD PE E DC PE BD MN
0,5
+) Trong (ABCD), gọi
F PE AD
+) Trong (SAD), gọi
H NF AS
0,25
+) Vậy ta có





MNP ABCD PE
MNP SCD EN
MNP SAD HN
MNP SAB MH
MNP SBC MP





0,5
+) Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác
PENHM.
0,25

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2 điểm) : Cho phương trình
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
 
 
(1).
a) Giải phương trình (1).
b) Tìm các nghiệm của phương trình (1) thuộc đoạn
 
1;70
. Tính tổng các nghiệm đó.
Câu 2 (2 điểm): Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
2
8 2m x x  
.
Câu 3 (2 điểm): Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi

 
1
1
3
2 1
, 1.
1 1 2
n
n
n
u
u
u n
u





 

 

 


Tìm
2003
u
.

Câu 4 (1,5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD và M là điểm bên trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành.
Chứng minh rằng nếu


CBM CDM
thì


ACD BCM
.
Câu 5 (2,5 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC, A’B’C’, ACC’.
Chứng minh rằng
   
/ / ' 'IKG BB C C
và
   
' / / 'A KG AIB
.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
- Nếu thí sinh làm bài đúng theo cách khác với đáp án dưới đây vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm từng bài thi được chấm lẻ tới 0,5 điểm.

II. Đáp án và thang điểm
Câu Nội dung Điểm
1
Điều kiện
cos 0 ,
2
x x k k

     
.
Phương trình đã cho tương đương với
 
2 2
cos2 tan 1 cos 1 tanx x x x    
2
cos2 cos 0 2cos cos 1 0x x x x      
2
cos 1
2
,
1
3 3
2
cos
3
2
x k
x
x k k
x k

x
   
 


 


     



   




1,0
Ta có
 
2
1 70 0;1;2; ;32
3 3
k k
 
    
Vậy phương trình có 33 nghiệm trên đoạn
 
1;70
.

0,5
Ta có
0 1 2 32
2 2 2
; ; 2. ; ; 32.
3 3 3 3 3 3 3
x x x x
      
      
Do đó tổng các nghiệm là
 
2
33 1 2 32 11 352 363
3 3
 
         
0,5
2
Phương trình tương đương với
2
2
8
x
m
x



Xét hàm số
   

 
 
2 2 2
2 8 2
, , ' , ' 0 4
8 8 8
x x
f x x f x f x x
x x x
 
     
  

,
0,5
Lập bảng biến thiên của hàm số
Trong đó có tính toán đúng các giới hạn
   
lim 1, lim 1
x x
f x f x
 
  
và
 
6
4
2
f 
.

0,75
Từ bảng biến thiên ta có 0,75
1 1m  
: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
6
1
2
m 
: Phương trình có 2 nghiệm.
6
2
m 
: Phương trình có 1 nghiệm (kép).
3
Ta có
 
2
2
1 cos
2 1
4
tan 2 1 tan 2 1
8 8
2 1
1 cos
4


  
      




0,5
Bằng quy nạp ta chứng minh
 
tan 1 tan
3 8
n
u n
 
 
  
 
 
Với n = 2 ta có
1
2
1
tan tan tan
8 3 8
tan
3 8
1 tan 1 tan .tan
8 3 8
u
u
u
  
 

 
 
   
 
  
 
 
0,5
Giả sử bài toán đúng đến n = k, tức là
 
tan 1 tan
3 8
k
u k
 
 
  
 
 
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k+1.
Ta có
 
 
 
 
1
tan 1 tan
2 1
3 8 8
tan 1 tan

3 8 8 3 8
1 1 2
1 tan 1 tan
3 8 8
k
k
k
k
u
u k k
u
k

  
 
  
 
 
    
   
 
       
   
  
 
   
 
  
 
 

0,5
Vậy
 
tan 1 tan
3 8
n
u n
 
 
  
 
 
,
do đó
 
2003
3 1
tan 2002 tan 2 3
3 8 3 4
1 3
u
    
   
       
   

   
0,5
Xét phép tịnh tiến theo véc tơ
BA


. Gọi D, E lần lượt là ảnh của M, C qua phép tịnh tiến này. Ta có




DAE MBC MDC ECD  
nên tứ giác DAEC nội tiếp.
1,0
4
Từ đó suy ra



ACD AED BCM 
0,5
5
Dễ thấy
/ / 'KI CC
(1).
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CC’ suy ra
2 2
, , / /
3 3
AG AI AG AI
NM GI
AN AM AN AM
   
(2).
Từ (1) và (2) suy ra (IKG) // (BCC’B’).

1,0
Ta có AI // A’K (3); CP nằm trong mặt phẳng (A’KG) và B’M nằm trong (AIB’) mà CP // B’M (4)
nên từ (3) và (4) suy ra (A’KG) // (AIB’).
1,0
Hình vẽ
0,5
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao
Thời gian làm bài : 90 phút
Câu 1 (3 điểm): Giải các phương trình sau:
1,
xxx 3cos2sin)5
2
cos( 

2,
)1sin4(32cos32sin4  xxx
3,
xx
x
xx
sincos
1sin
)1)(cotcos1(2
2



Câu 2 (2 điểm): Tìm số hạng chứa x
20

trong khai triển A =
29
)
3
1
9(
x
x 
Câu 3 (2 điểm): Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1 ; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ ghi số 10. Chọn
ngẫu nhiên 6 thẻ. Tính xác suất để các số ghi trên 6 thẻ được chọn có tổng không nhỏ hơn 50.
Câu 4 (3 điểm): Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy
một điểm K sao cho BK = 2 KD.
1, Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJK).
2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (IJK).
Chứng minh FA = 2FD
3, Gọi M, N là hai điểm bất kỳ lần lượt trên đoạn AB, CD. Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng
(IJK).
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao
Thời gian làm bài : 90 phút.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 01 trang)
1, Hướng dẫn chung: Học sinh làm đúng đến bước nào cho điểm từng phần đến bước đó.
2, Đáp án và thang điểm:
Câu 1/1 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với
cos3x(sin2x+1)=0 <=>
Zk

kx
k
x
x
x


















4
36
12sin
03cos
.
Kết luận : PT có 2 họ nghiệm trên.
Câu 1/2 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với












PTVN
Zkkx
xx
x
xxx
)2(
,)1(
)2(
06sin3cos4
)1(0sin
0)6sin3cos4(sin

Kết luận : Phương trình có nghiệm x =
Zkk ,

Câu 1/3 (1đ): Điều kiện






0sincos
0sin
xx
x
Phương trình đã cho tương đương với
















2
,2
2
1cos
1sin
0)1)(cos1(sin
kx

Zkkx
x
x
xx
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm
Zkkx  ,2
2


Câu 2 (2đ): k = 6 ; Số hạng chứa x
20
bằng
20436
29
3 xC
Câu 3 (2đ): Số trường hợp có thể :
6
12
C
=924 ; P =
924
127
1
6
12
2
4
4
6
1

6
5
6


C
CCCC
Câu 4/1 (1đ): Thiết diện là tứ giác IJKF ( Hình vẽ)
Câu 4/2 (1đ): Gọi H là trung điểm của BD, Ta có
CD
JH
KD
HK
DE
JH

2
1
=>
D là trung điểm của CE.
Trong
ACE
có AD, EI là đường trung tuyến => F là trọng tâm của tam giác ACE.
Kết luận: FA = 2 FD
Câu 4/3 (1đ): Trong (ACD) có
'AIFAN 
; Trong (BCD) có
'BJKBN 
;
Trong (ABN) có

OMNBA ''
. Điểm O chính là giao điểm phải tìm.