ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI D TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU, NGHỆ AN NĂM 2013

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM 2013
TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU Môn: TOÁN ; Khối D .

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề).


I. Phần chung cho tất cả thí sinh:
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
x 1
y
x 1



(H)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
2. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M (
,
1 1
2 2
 
) và cắt (H) tại hai điểm A, B sao
cho M là trung điểm AB.
Câu II (2.0 điểm) 1. Giải hệ phương trình:
x x y y
x y - x
3 3
8 2
2 2 1
  




  


.
2. Giải phương trình
sin2x 3cos2x 6 2sin x 1 0
4
 
    
 
 

.
Câu III (1,0 điểm) Tính:
3
2
0
x 1
x
x 1




I d

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,


BAD
0
120
và SA

(ABCD), SA= a
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AD và SB.
Câu V (1.0 điểm) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
  
  
a b c
b c a
2 2 2
3
1 1 1 2

II. Phần riêng:
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x – 3y + 7
= 0, đường cao AH : x – 5y +11 = 0 và M (1,0) là trung điểm AC. Lập phương trình cạnh BC .
Câu VIIa (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d)
x y z+1

 
1
2 1 2
và hai mặt
phẳng (P
1

): x + y - 2z + 5 = 0 , (P
2
): 2x – y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc (d)
và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P
1
), (P
2
).
Câu VIIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn:
z
=
2
và z = 2 –
z

B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có phương trình :
x y
 
2 2
1
9 5
. Gọi F
1
, F
2
là
hai tiêu điểm của (E). Tìm điểm M

(E) sao cho MF

1
= 2MF
2

Câu VIIb(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y + 26x–113= 0
và hai đường thẳng (d
1
)
x+5 y z +13
1
2 3 2

 

và (d
2
):
x t
y t
z
  


  





7 3
1 2
8
. Hãy viết phương trình mặt
phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với cả (d
1
), (d
2
).
Câu VIIIb ( 1,0 điểm).Tìm số phức z thỏa mãn: z 
5
và
(z+i)
2
là số thuần ảo.

****************************** Hết *********************************

Họ và tên: ……………………………………. SBD: …………………………
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2013
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(2 điểm)

1. (1 điểm)
+) Tập xác định: D =
¡
\{1}
+) Sự biến thiên:
-) Chiều biến thiên:
2
2
y' 0, x 1
(x 1)

   


=> h/s nghịch biến trên (-

; 1) và (1;+

),
-) Cực trị: Không có.
-) Giới hạn:
x 1 x 1
x
limy 1,lim y ,lim y
 
 

    

Vậy tiệm cận ngang là y = 1, tiệm cận đứng là x = 1

-) Bảng biến thiên: x –

1 +


y’ – –
y 1 +



–

1

+) Đồ thị:










2.(1 điểm): Gọi A(
0
x
,
0

y
)

(H), khi đó B (– 1–
0
x
,– 1–
0
y
)

(H)
nên ta có hệ phương trình
0
0
0
0
0
0
x 1
y
x 1
1 x 1
1 y
1 x 1








  

  

  

0
0
x 0
x 1




 




0.25




0.25

0.25







0.25




0.25


0.5

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Với
0
x
= 0 thì
0
y
= – 1 nên A(– 1, 0) và B(0, – 1)
Với
0

x
= – 1 thì
0
y
= 0 nên A(0, – 1) và B(– 1, 0)

0.25
Câu 2
(2 điểm)
1. (1 điểm). Đk :
y x 0
 

Từ phương trình thứ nhất suy ra
( )
3 3
2x 2x y y
  
(*)
Xét h/s đặc trưng f(t) =
3
t t

. Do
2
f' 3t 1 0, t.
   

Nên h/s đồng biến trên
[

0, )

.
Từ (*) suy ra y = 2x, thế vào phương trình thứ hai ta được :
2x y x 2 1 2x x 2 1 x 1
         
và y = 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm là (1, 2)
2. (1 điểm).
Pt

Sin2x + Cos2x = 3Sinx + Cosx + 2


os os
2
2SinxCosx 6C x 6Sinx 6C x 2 0
    



(Sĩn – Cosx )( Sinx + 2Cosx – 3) = 0


osx - 3 = 0(**)
Sinx Cosx(*)
Sinx 2C







Ta có (**) vô nghiệm. Giải (*) ta được nghiệm x k ,k
4

    


0.25

0.25


0.5


0.25


0.25


0.5
Câu 3
(1 điểm)
Đặt t = x + 1 => dt = dx, khi x = 0 => t = 1, x = 3 => t = 4
=>
3 4 4
2 2 2

0 1 1
x 1 (t 1) t 2t 2
I d(x) dt dt
x 1 t t
   
  

  

=
5 3 1
2 2 2
4
2 4 106
( t t 4t )
5 3 15
1
  

0.25

0.5

0.25
Câu 4
(1 điểm)
+) Do
·
BAD
0

120
nên
ABC
V
đều cạnh a S
suy ra dt(ABCD) = 2.
ABC
S
=
2
a 3
2


S.ABCD
V =
1
3
.SA.dt(ABCD) A H D
=
1
3
a
3
.
2 3
a 3 a
2 2

(đvtt). B I C

0.25



0.25


www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
+) Ta có d(AD,SB) = d(AD, (SBC))=d(A,(SBC))
Gọi I là trung điểm BC suy ra AI

BC
Do BC

SA, BC

AI

BC

(SAI)
Từ A hạ AH

SI

AH


(SBC)


d(A, (SBC)) = AH

Do

SAI vuông tại A nên AH =
2 2
SA.AI 15
a
5
SA AI



Vậy k/c(AD,SB) =
a 15
5



0.25




0.25

Câu 5

(1 điểm)
Do a, b, c > 0, a + b + c = 3 nên
2 2 2
a b c
1 b 1 c 1 a
  
  

=
2 2 2
a b 1 b c 1 c a 1 3
1 b 4 1 c 4 1 a 4 2
  
     
  

3 3
(a b c)
2 2
    
. Vậy P
3
2

. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

0.5


0.5

CT
Chuẩn
(3 điểm)
VIa. (1 điểm). Tọa độ A là nghiệm hệ pt
x 3y 7 0
x 5y 11 0

  

  



A(-1;2).

Do M(1;0) là trung điểm AC suy ra C(3;-2)
Do
AH AH
n (1; 5) u (5;1)
   
r r
.Vì BC

AH nên BC có
BC
n (5;1)

r

Vậy pt đường BC là: 5(x - 3) + ( y + 2 ) = 0


5x + y – 13 = 0
VIIa. (1 điểm) Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu cần tìm, do I

d nên
a 2b 2 0
a b 1 c 1
2 1 2
a c 1 0

  
 
  

  

(1)
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (
1
P
), (
2
P
) nên k/c(I ,(
1
P
)) = k/c (I,(
2
P
))=R

a b 2c 5 2a b c 2
a 2b 3c 3
3a c 7
6 6
     

  
  

  

(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được
8 7 5 20
a ,b ,c R
3 3 3
3 6
10
a 4,b 1,c 5 R
6

    



       



Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn điều kiện bài toán là:
0.25

0.25
0.25
0.25

0.25


0.25


0.25




www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2 2 2
8 7 5 200
(x ) (y ) (z )
3 3 3 27
      và

2 2 2
50
(x 4) (y 1) (z 5)

3
     
VIIIa. (1 điểm).
Gọi z = a +bi

2 2
a b 2
a 1,b 1
2a 2

 

   





Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i

0.25


0.5


0.5
CT
Nâng cao

(3 điểm)
VIb (1 điểm). Cho pt (E) :
2 2
x y
1
9 5
 

2
c 4



1 2
F ( 2;0),F (2;0)

Khi đó
1 2
2 2
MF 3 x,MF 3 x
3 3
   

1 2
2 2 3 15
MF 2MF (3 x) 2(3 x) x ,y
3 3 2 2
         
Vậy
3 15

M( , )
2 2
 hoặc
3 15
M( , )
2 2
 
VIIb(1 điểm). Véc tơ chỉ phương của (
1
d
) là
u (2; 3;2)
 
r
, của (
2
d
)
là
v (3; 2;0)
 
r
. Mặt cầu (S) có tâm I (5; –1; –13) và R =
308
.
Mặt phẳng (P) cần tìm có véc tơ pháp tuyến là
n u,v (4;6;5)
 
 
 

r ur r

Vậy (P) có phương trình : 4x + 6y + 5z + D = 0
Để (P) tiếp xúc với (S) thì điều kiện là :
d(I,(P)) =
20 6 65 D
308 308
16 36 25
  
 
 
D 103
D 205

 





Vậy có 2 mặt phẳng (P) cần tìm là :
4x + 6y + 5z – 103 = 0 và 4x + 6y + 5z + 205 = 0
VIIIb (1 điểm). Gọi z = a + bi


2 2
2 2
a b 5
a (b 1) 0


 


  



2
2 2
b b 2 0
a (b 1)

  


 



Với b = 1

a =

2

z = 2 + i hoặc z = –2 + i
Với b = –2

a =



z = 1 – 2i hoặc z = –1 –2i
0.25

0.25

0.25

0.25

0.25


0.25


0.25


0.25

0.5

0.5
Lưu ý : Đáp án chỉ trình bày một cách giải. nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho
điểm tối đa.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com