Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 sư tầm tham khảo bổi dưỡng học sinh (15)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (130.61 KB, 6 trang )

UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm).
a) Cho
x y z
2 3 4
= =
. Tìm giá trị của biểu thức :
y + z - x
M=
x - y + z
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
2
f(x) = - x 5x + 3
+
Bài 2: (6,0 điểm).
a) Tìm x, biết rằng:

1 1 1 0,75x +4 4
+ : =
11.13 13.15 19.21 x 231
 
+ +
 ÷
 
b) Rút gọn biểu thức sau đây:
2 2


2 2
1 x 1 + x
+
1 x + x 1 x + x
C =
1+ x 1 - x
-
1 x + x 1 - x + x

− +
+
Bài 3: (2,0 điểm).
Trong một trường có ba lớp 7 . Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B
và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C. Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là
57 bạn . Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 4: (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ đường trung trực HE, HF
của AC và BC. Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Bài 5: (4,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC.
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2

c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
Hết
Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh:……
Chữ ký của giám thị 1:……………… Chữ ký của giám thị 2:…………………………



UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán lớp 8
Bài 1: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Đặt
x y z
= k 0
2 3 4
= = ≠
(0,5 điểm)
x = 2k , y = 3k, z = 4k

(0,5 điểm)
Khi đó:
y + z - x 3k + 4k - 2k
M = =
x - y + z 2k - 3k + 4k
(0,5 điểm)
5k 5
M = =
3k 3
(0,5 điểm)
b) (2,0 điểm)
2
f(x) = - x 5x + 3

+
= - ( x
2
- 5x - 3 ) (0,25 điểm)
= - (x
2
– 2.
5
2
.x +
25 37
-
4 4
) (0,5 điểm)

2
5 37
x - -
2 4
 
 
= −
 
 ÷
 
 
 
(0,5 điểm)

2

5 37
- x - +
2 4
 
=
 ÷
 
(0,25 điểm)
Do

2 2
5 5
- x - 0 nên - x -
2 2
   

 ÷  ÷
   
lớn nhất là 0 khi
5
x =
2
(0,25 điểm)
Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là
37
4
(0,25 điểm)
Bài 2: (6,0 điểm)
a) (3,0 điểm)
Ta có:


1 1 1
+ +
11.13 13.15 19.21
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= - + + +
2 11 13 2 13 15 2 19 21
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
(0,5 điểm)
1 1 1 1 1 1 1
+ +
2 11 13 13 15 19 21
 
= − + − −
 ÷
 
(0,25 điểm)
1 1 1

2 11 21
 
= −
 ÷
 
(0,25 điểm)
Do đó:
1 1 1 0,75x + 4 4

: =
2 11 21 x 231
 

 ÷
 
1 1 0,75x + 4 8
: =
11 21 x 231
 
⇔ −
 ÷
 
(0,25 điểm)
10 0,75x + 4 8
: =
231 x 231

(0,25 điểm)
0,75x + 4 10 8 10 5
= : = = = 1,25
x 231 231 8 4

(0,5 điểm)

0,75x + 4 = 1,25x ⇒
(0,5 điểm)

0,5x = 4⇔
(0,25 điểm)


x = 8

(0,25 điểm)
b) (3,0 điểm)
Ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
2 2 2 2
1 - x 1 + x 1 - x + 1 +x 2
+ = =
1 - x + x 1 x + x
1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x
+
( 1 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2
2 2 2 2
1 + x 1 - x 1 + x - 1 +x 2x
- = =
1 + x + x 1 - x + x
1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)
Vậy:
( ) ( )
( ) ( )
2 2

3
3 3
2 2
2
1- x + x 1 + x + x
2 1
C = = =
2x
2x x
1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)

Bài 3: (2,0 điểm).
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z
*
N ∈
). (0,25 điểm)
Theo đề bài ta có:
2 3 4
x = y = z
3 4 5
(0,2 5 điểm)
x y z x + y - z 57
= = = = = 36
3 4 5 3 4 5 19
-
2 3 4 2 3 4 12

+
(1 điểm)

- Lớp 7A có
3
36 . = 54
2
học sinh
- Lớp 7B có
4
36 . = 48
3
học sinh (0,5 điểm)
- Lớp 7C
5
36 . = 45
4
học sinh
Bài 4: (4,0 điểm).
H
D
K
G
I
F
E
B
A
C
Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI. (0,5 điểm)
Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên:
HE // IA và HE =

IA
2
( 1) (0,5 điểm)
Tương tự, trong tam giác CBI:
HF // IB và HF =
IB
2
( 2) (0,5 điểm)
Từ BG

AC và HE

AC ( gt)
Suy ra BG // IA ( 3) (0,5 điểm)
Tương tự : AK

BC và HF

BC ( gt)
Suy ra AG // IB ( 4) (0,5 điểm)
Từ ( 3) và ( 4) suy ra BIAG là hình bình hành (0,5 điểm)
Do đó: BG = IA và AG = IB. Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) (0,5 điểm)
Suy ra : BG = 2 HE và AG = 2 HF (0,5 điểm)
Bài 5: (4,0 điểm).
I
F
E
A
B
C

D
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD (0,25 điểm)
Suy ra: EI // CD (0,25 điểm)
Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC (0,25 điểm)
Suy ra: FI // AB (0,25 điểm)
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2

Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra:
1
EI = DC
2
( 1 ) (0,25 điểm)
Tương tự :
1
IF = AB
2
( 2 ) (0,25 điểm)
Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
EF EI + IF≤
(0,5 điểm)
Suy ra:
( )
1
EF AB + CD
2


(0,5 điểm)
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình
thang.
Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó
EF = EI + IF (0,25 điểm)
Suy ra:
AB + CD
EF =
2
(0,25 điểm)
Ngược lại: nếu ta có
AB + CD
EF =
2
thì EF = EI + IF (0,25 điểm)
Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 điểm)
Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm)
Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang. (0,25 điểm)
* Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo
qui định của từng bài
Hết

×