Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 sư tầm tham khảo bổi dưỡng học sinh (15)

UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm).
a) Cho
x y z
2 3 4
= =
. Tìm giá trị của biểu thức :
y + z - x
M=
x - y + z
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
2
f(x) = - x 5x + 3
+
Bài 2: (6,0 điểm).
a) Tìm x, biết rằng:

1 1 1 0,75x +4 4
+ : =
11.13 13.15 19.21 x 231
 
+ +
 ÷
 
b) Rút gọn biểu thức sau đây:
2 2

2 2
1 x 1 + x
+
1 x + x 1 x + x
C =
1+ x 1 - x
-
1 x + x 1 - x + x
−
− +
+
Bài 3: (2,0 điểm).
Trong một trường có ba lớp 7 . Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B
và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C. Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là
57 bạn . Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 4: (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ đường trung trực HE, HF
của AC và BC. Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Bài 5: (4,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC.
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
≤
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
Hết
Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh:……
Chữ ký của giám thị 1:……………… Chữ ký của giám thị 2:…………………………

UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán lớp 8
Bài 1: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Đặt
x y z
= k 0
2 3 4
= = ≠
(0,5 điểm)
x = 2k , y = 3k, z = 4k
⇒
(0,5 điểm)
Khi đó:
y + z - x 3k + 4k - 2k
M = =
x - y + z 2k - 3k + 4k
(0,5 điểm)
5k 5
M = =
3k 3
(0,5 điểm)
b) (2,0 điểm)
2
f(x) = - x 5x + 3

+
= - ( x
2
- 5x - 3 ) (0,25 điểm)
= - (x
2
– 2.
5
2
.x +
25 37
-
4 4
) (0,5 điểm)

2
5 37
x - -
2 4
 
 
= −
 
 ÷
 
 
 
(0,5 điểm)

2

5 37
- x - +
2 4
 
=
 ÷
 
(0,25 điểm)
Do

2 2
5 5
- x - 0 nên - x -
2 2
   
≤
 ÷  ÷
   
lớn nhất là 0 khi
5
x =
2
(0,25 điểm)
Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là
37
4
(0,25 điểm)
Bài 2: (6,0 điểm)
a) (3,0 điểm)
Ta có:

1 1 1
+ +
11.13 13.15 19.21
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= - + + +
2 11 13 2 13 15 2 19 21
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
(0,5 điểm)
1 1 1 1 1 1 1
+ +
2 11 13 13 15 19 21
 
= − + − −
 ÷
 
(0,25 điểm)
1 1 1

2 11 21
 
= −
 ÷
 
(0,25 điểm)
Do đó:
1 1 1 0,75x + 4 4

: =
2 11 21 x 231
 
−
 ÷
 
1 1 0,75x + 4 8
: =
11 21 x 231
 
⇔ −
 ÷
 
(0,25 điểm)
10 0,75x + 4 8
: =
231 x 231
⇔
(0,25 điểm)
0,75x + 4 10 8 10 5
= : = = = 1,25
x 231 231 8 4
⇔
(0,5 điểm)

0,75x + 4 = 1,25x ⇒
(0,5 điểm)

0,5x = 4⇔
(0,25 điểm)

x = 8
⇔
(0,25 điểm)
b) (3,0 điểm)
Ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
2 2 2 2
1 - x 1 + x 1 - x + 1 +x 2
+ = =
1 - x + x 1 x + x
1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x
+
( 1 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2
2 2 2 2
1 + x 1 - x 1 + x - 1 +x 2x
- = =
1 + x + x 1 - x + x
1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)
Vậy:
( ) ( )
( ) ( )
2 2

3
3 3
2 2
2
1- x + x 1 + x + x
2 1
C = = =
2x
2x x
1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)

Bài 3: (2,0 điểm).
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z
*
N ∈
). (0,25 điểm)
Theo đề bài ta có:
2 3 4
x = y = z
3 4 5
(0,2 5 điểm)
x y z x + y - z 57
= = = = = 36
3 4 5 3 4 5 19
-
2 3 4 2 3 4 12
⇒
+
(1 điểm)

- Lớp 7A có
3
36 . = 54
2
học sinh
- Lớp 7B có
4
36 . = 48
3
học sinh (0,5 điểm)
- Lớp 7C
5
36 . = 45
4
học sinh
Bài 4: (4,0 điểm).
H
D
K
G
I
F
E
B
A
C
Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI. (0,5 điểm)
Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên:
HE // IA và HE =

IA
2
( 1) (0,5 điểm)
Tương tự, trong tam giác CBI:
HF // IB và HF =
IB
2
( 2) (0,5 điểm)
Từ BG
⊥
AC và HE
⊥
AC ( gt)
Suy ra BG // IA ( 3) (0,5 điểm)
Tương tự : AK
⊥
BC và HF
⊥
BC ( gt)
Suy ra AG // IB ( 4) (0,5 điểm)
Từ ( 3) và ( 4) suy ra BIAG là hình bình hành (0,5 điểm)
Do đó: BG = IA và AG = IB. Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) (0,5 điểm)
Suy ra : BG = 2 HE và AG = 2 HF (0,5 điểm)
Bài 5: (4,0 điểm).
I
F
E
A
B
C

D
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD (0,25 điểm)
Suy ra: EI // CD (0,25 điểm)
Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC (0,25 điểm)
Suy ra: FI // AB (0,25 điểm)
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
≤
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra:
1
EI = DC
2
( 1 ) (0,25 điểm)
Tương tự :
1
IF = AB
2
( 2 ) (0,25 điểm)
Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
EF EI + IF≤
(0,5 điểm)
Suy ra:
( )
1
EF AB + CD
2

≤
(0,5 điểm)
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình
thang.
Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó
EF = EI + IF (0,25 điểm)
Suy ra:
AB + CD
EF =
2
(0,25 điểm)
Ngược lại: nếu ta có
AB + CD
EF =
2
thì EF = EI + IF (0,25 điểm)
Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 điểm)
Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm)
Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang. (0,25 điểm)
* Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo
qui định của từng bài
Hết