Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 sư tầm tham khảo bổi dưỡng học sinh (16)

Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 8
Thời gian: 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
.
b) x
4
+ 2012x
2
+ 2011x + 2012.
Bài 2: (2,5 điểm)

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 

= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết |x| =
1
2
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :
18
1
42x13x
1
30x11x
1
20x9x
1
222
=
++
+
++
+
++

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
3
cba
c
bca
b
acb
a
≥
−+
+
−+
+
−+
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E,
F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2
.
1
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm)
a) (x + y + z)
3

– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +
 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=
( )
( )
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx

+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3
( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
. (1 điểm)
b)x
4
+ 2012x
2
+ 2011x + 2012 = (x
4
- x) + (2012x
2
+2012x+2012)
= x(x
3
- 1) + 2012 (x
2
+x+1) = x(x -1) (x
2
+x+1) )+ 2012 (x
2
+x+1)
= (x

2
+x+1) [x(x -1) + 2012] = (x
2
+x+1) (x
2
–x + 2012) (1 điểm)
Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a) Rút gọn được kết qủa:
1
A
x 2
−
=
−
(0,75 điểm)
b)

1
x
2
=

1
x
2
⇒ =
hoặc
1
x
2
−
=
(0,25 điểm)

⇒
A=
3
2
hoặc A=
5
2
(0,75 điểm)
c) A < 0
⇔
x - 2 >0
⇔
x >2 (0,25 điểm)

d) A
∈
Z
⇔
Z
2x
1
∈
−
−
⇔
x-2
∈
Ư(-1)
⇔
x-2
∈
{ -1; 1}
⇔
x
∈
{1; 3} (0,5 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ) x
2
+9x+20 = ( x+4)( x+5) ;
x
2
+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x

2
+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25
điểm)
2
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐKXĐ :
7;6;5;4
−≠−≠−≠−≠
xxxx
(0,25
điểm) Phương trình trở thành :
18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
=
++
+
++
+
++
xxxxxx


18
1

7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
xxxxxx

18
1
7
1

4
1
=
+
−
+
xx
(0,25 điểm)
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm)
b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
Từ đó suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy +
=
+
=
+
; (0,25
điểm) Thay vào ta được A=







+++++=
+
+
+
+
+
)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx

x
zy

(0,25 điểm)
Từ đó suy ra A
)222(
2
1
++≥
hay A
3≥
(0,25
điểm)
Bài 4: (3,5 điểm)
a)Ta có : BE
⊥
AC (gt); DF
⊥
AC (gt)
⇒
BE // DF (0,25 điểm)
Chứng minh :
( )BEO DFO g c g∆ = ∆ − −
⇒
BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
3
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
b) Chứng minh:
∠

ABC=
∠
ADC
⇒

∠
HBC=
∠
KDC (0,25
điểm)
⇒

∆
CHB ∽
∆
CKD(g-g) (0,5 điểm)
CB.CKCD.CH
CD
CB
CK
CH
=⇒=⇒
(0,5 điểm)
c)Chứng minh :
∆
AFD ∽
∆
AKC(g-g) (0,25 điểm)
⇒
AC.AFAK.AD

AC
AD
AK
AF
=⇒=
(0,25 điểm)
Chứng minh :
∆
CFD ∽
∆
AHC(g-g)
⇒
AC
CD
AH
CF
=
(0,25 điểm)
Mà : CD = AB
⇒
AC.CFAH.AB
AC
AB
AH
CF
=⇒=
(0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(0,25 điểm)

O
F
E
K
H
C
A
D
B

4