Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 sư tầm tham khảo bổi dưỡng học sinh (7)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1: (6điểm)
a. Giải phương trình
10
19
199
21
186
23
169
25
148
=
−
+
−
+
−
+
− xxxx
b. Tìm các số nguyên a và b sao cho đa thức
A(x) = x
4
+ ax
2
+ b
Chia hết cho đa thức B(x) = x
2
+ x +1
Bài 2 (4 điểm)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1

CMR:
4
1
111
≤
+
+
+
+
+ b
ac
a
bc
c
ab
Bài 3 (4 điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
b. Giải bất phương trình

1
1
23
≥
+
−
x
x
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm

B, D lên AC. A, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
a. Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh
∆
CHK đồng dạng
∆
BCA
c. Chứng minh AC
2
= AB.AH + AD.AK
ĐÁP ÁN
Bài 1
a(3đ)
b.(3đ)
Giải phương trình:
10
19
199
21
186
23
169
25
148
=
−
+
−
+
−

+
− xxxx

04
19
199
3
21
186
2
23
169
1
25
148
=






−
−
+







−
−
+






−
−
+






−
− xxxx

0
19
123
21
123
23
123
25

123
=
−
+
−
+
−
+
− xxxx

0
19
1
21
1
23
1
25
1
)123( =






+++− x
Vì
0
19

1
21
1
23
1
25
1
≠






+++
 123-x=0
 x=123
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {123}
Thực hiện được phép chia 2 đa thức đúng kết quả
A(x) : B(x) = (1-a)x + b –a
- Lý luận (1-a)x + b –a = 0




=−
=−
0
01
ab

a
- Tìm được a = b = 1
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.5đ
1đ
1đ
Bài 2
(4đ)
Áp dụng bài toán phụ
),(
411
>
+
≥+
yx
yxyx
->








+≤

+
yxyx
11
4
11

Nên ta có






+
+
+
≤
+++
=
+
cbca
ab
cbca
ab
c
ab 11
4)()(1
(vì a+b+c=1 (gt) (1)








+
+
+
≤
+++
=
+
caba
bc
caba
bc
a
bc 11
4)()(1
(2)







+
+
+

≤
+++
=
+
cbba
ac
cbba
ac
b
ac 11
4)()(1
(3)
Kết hợp (1)(2) và (3)






+
+
+
+
+
+
+
+
≤
+
+

+
+
+
cb
acab
ba
acbc
ca
bcab
b
ac
a
bc
c
ab
4
1
111
=>
)(
4
1
111
cba
b
ac
a
bc
c
ab

++≤
+
+
+
+
+
Hay
4
1
111
≤
+
+
+
+
+
b
ac
a
bc
c
ab
(đpcm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 3

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
b
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
P=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]
P=(x
2
+ 6x – x – 6)(x
2
+3x+2x+6)
P=(x
2
+ 5x – 6)(x
2
+ 5x + 6)
 P = (x
2
+ 5x)
2
– 6
2
= (x
2
+ 5x)
2
– 36
Vì (x
2
+ 5x)
2

0
≥
với
x
∀
=> (x
2
+ 5x)
2
- 36
36
−≥
với
x
∀
Hay P
36
−≥
với
x
∀
 Min P = -36  (x
2
+ 5x)
2
=0
 x
2
+ 5x = 0
 x(x+5) = 0





=+
=
05
0
x
x




−=
=
5
0
x
x
Giải bpt
1
1
23
≥
+
−
x
x
đk: x

≠
-1

01
1
23
≥+
+
−
x
x

0
1
123
≥
+
++−
x
xx

0
1
4
≥
+
−
x
x












<+
≤−



>+
≥−
01
04
01
04
x
x
x
x









=<=>



−<
≥
≤<−<=>



−>
≥
0
1
4
41
1
4
x
x
x
x
x
x
Vậy nghiệm của bất phương trình là
}{
41/

≤<−
xx
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Bài 4:
A
H
C
B
K
D
F
E
a
b
c
DF//BE (vì cùng
⊥
với AC
∆
AFD =

∆
CEB (ch.gn) -> DF = BE
 DFBE là hbh
BC//AK -> BCK = 90
0
ABC = 90
0
+ BCH (góc ngoài
∆
CHB)
HCK = 90
0
+ BCH
 ABC = HCK
Mà CDK = ACD + DAC (góc ngoài
∆
DKC)
HBC = BAC + BCA (góc ngoài
∆
HBC
Mặt
≠
BCA = DAC; BAC = DCA
->
∆
CKD đồng dạng
∆
CHB ->
CH
CK

BC
CD
=
Hay
AB
CK
BC
CH
CH
CK
BC
AB
=>−=
->
∆
CHK đồng dạng
∆
BCA (c.g.c)
∆
AEB đồng dạng
∆
AHC ->
∆
AHC ->
AHABACAE
AH
AE
AC
AB

=>−=
Vì
∆
AFD đồng dạng
∆
AKC ->
AKADACAF
AC
AD
AK
AF

=>−=
Từ (1) và (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK
 AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK
 AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)
 AB.AH + AD.AK = AC
2
vì
∆
AFD =
∆
CEB (cmt)