Đề thi HSG môn ngữ văn (2)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Giải phương trình sau:
2
2
x 2 x 4x
x x 4
+ −
=
+
Câu 2:
1. Giả sử
2 2
1 2x 2
A ; B
4x 4x 1 x 2x 1
−
= =
+ + − +
. Xác định x ∈ Z để
2A B
C
3
+
=
nhận
giá trị nguyên.
2. Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – x – 1 = 0.
Chứng minh rằng P(n) = a
n

+ b
n
+a
n+2
+ b
n+2
là những số nguyên và chia
hết cho 5 với mọi số nguyên dương n.
Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao CH (H thuộc AB). Gọi CM, CN
(M, N đều thuộc AB) lần lượt là phân giác các góc ACH, góc BCH. Tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN trùng tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC. Chứng minh rằng
ABC
AN.BM
S
2
∆
=
.
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE; trung tuyến
AM. Qua A kẻ các đường thẳng song song với CE và BD cắt BD và CE
thứ tự tại P và Q. Gọi K là giao điểm của AM và PQ. Chứng minh
APDK tứ giác nội tiếp.
Câu 5: Cho xy > 0 và x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
1 1
Q
x y
= +
.

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1. Cho
2 2
2 2
a a 4a a a 4a
P
a a 4a a a 4a
+ − − −
= −
− − + −
1. Tìm điều kiện của a để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
2. Tìm a để
P 5
<
.
Câu 2. Cho đa thức f(n) = n
5
– 5n³ + 4n với n nguyên dương. Chứng
minh rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n.
Câu 3. Giải phương trình:
2
7 x x 1 x 6x 13− + + = − +
.
Câu 4. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5b a 5c b 5a c
ab 3b bc 3c ca 3a

− − −
+ +
+ + +
≤ a + b + c.
Câu 5. Cho hình thoi ABCD có Â = 120°. Tia Ax tạo với tia AB góc
BAx bằng 15° và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng
minh:
2 2 2
1 1 4
AM AN 3AB
+ =
.
Câu 6. Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc vói
đường thẳng CD. Chứng minh rằng nếu AD//CB thì đường tròn đường
kính CD tiếp xúc với AB.