Đề thi học kỳ I lớp 10 THPT chuyên Thái Nguyên năm 2012 - 2013 môn Toán (Có đáp án) _ Chương trình chuyên

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (3 điểm). Tìm hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡
.
Câu 2 (2 điểm). Cho ba số dương a, b, c thoả mãn
1a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
a b c
T
a b c
= + +
− − −
.
Câu 3 (1 điểm). Cho tam giác ABC với
AB c=
,
BC a=
,
CA b=
và I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng
0aIA bIB cIC+ + =
uur uur uur r
.

Câu 4 (3 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với
( )
2;4A
,
( )
2;1B
và
( )
6;1C
.
a) Chứng minh rằng tam giác AB C là tam giác vuông.
b) Tính độ dài phân giác trong của góc A.
c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Học sinh chỉ được làm một trong hai câu sau:
Câu 5a (1 điểm). Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu một trận với
các đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận
như nhau.
Câu 5b (1 điểm). Giả sử rằng n là một số lẻ. Đầu tiên ta viết các số từ 1 tới 2n trên
một bảng đen. Sau đó ta chọn ra hai số a, b bất kì xoá chúng và thay thế chúng bởi
a b−
. Ta cứ làm liên tục như thế đến khi trên bảng còn lại một số. Chứng minh
rằng số còn lại cuối cùng là một số lẻ.
Hết
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1. Đặt
t x= −
, ta được:
( ) ( )

1f t tf t t t− − = − + ∀ ∈¡
. Ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
f x xf x x
f x
xf x f x x
+ − = +
⇒ =

− + − = − +

.
Thử lại hàm số cần tìm là:
( )
1f x =
.
Câu 2.
1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )
1 1 1
a b c
T
a b c
− − − − − −
= + +
− − −

=
( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
 
+ + − − + − + −
 ÷
− − −
 
.
Ta có
1 1 1 9
1 1 1 1 1 1a b c a b c
+ + ≥
− − − − + − + −
;
0 1 1 1 6a b c< − + − + − ≤
.
⇒
9 6
6
2
6
T ≥ − =
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
1

3
a b c= = =
.
Vậy
6
min
2
T =
.
Câu 3. Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Câu 4. a) Tam giác vuông tại B.
b) Phân giác
3 5
2
AD =
.
c)
( )
3;2I
.
Câu 5a. Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có
đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo
nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau.
Câu 5b. Gọi S là tổng của tất cả các số trên bảng. Lúc đầu ta có S=1+2+3+…+2n=n(2n+1) là một số lẻ vì
n là một số lẻ. Ta cần tìm đại lượng bất biến. Nhận thấy rằng sau mỗi lần thực hiện thuật toán như trong
đầu bài đã nói thì S sẽ bị mất đi một đại lượng có giá trị bằng
2min{ , }a b
. Vì thế tính chẵn lẻ của S được
giữ nguyên sau mỗi lần thực hiện thuật toán. Trong trường hợp của chúng ta thì S luôn là một số lẻ và vì
thế khi trên bảng còn lại một số thì số đó là số lẻ.