Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Hòa Bình năm 2010 - 2011 môn Toán - Có đáp án

Sở GD & ĐT Hoà Bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp 9 tHCS năm học 2010 - 2011
Đề chính thức Đề thi môn : Toán
Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4 điểm)
1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:
a/
3 2 2 3
3 4 12A x x y xy y= +
b/
3 2 2 3
4 2 8B x y xy x y= + + +
2. Cho
11 6 2 11 6 2a = + +
. Chứng minh rằng
a
là một số nguyên.
Bài 2: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
2 2
12 3
1
4 2x x x x
=
+ + + +

2. Cho hàm số
2
( 1) 1y m x m= +

(m: tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đờng
thẳng cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.
3. Tìm x để biểu thức
1
1
x
A
x

=
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, có bán kính bằng 2. Biết
ã
0
60BAC =
, đờng cao AH = 3. Tính diện tích tam giác ABC.
2. i c vua ca trng A thi u vi i c vua ca trng B, mi u th ca
trng ny thi u vi mi u th ca trng kia mt trn. Bit rng tng s trn u bng
bn ln tng s cu th ca c hai i v s cu th ca trng B l s l. Tỡm s cu th
ca mi i.
Bài 4: (5 điểm) Cho na ng trũn tõm O bỏn kớnh R, ng kớnh AB. Hai im E, F thay
i trờn na ng trũn sao cho s o cung AE khỏc khụng v nh hn s o cung AF, bit
EF = R . Gi s AF ct BE ti H, AE ct BF ti I.
1. Chng minh rng t giỏc IEHF ni tip c trong mt ng trũn.
2. Gi EG v FQ l cỏc ng cao ca tam giỏc IEF, chng minh rng di QG
khụng i.
3. Chng minh rng QG song song vi AB.
Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình:

2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ = + + +
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD:
Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký):
Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký):
Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh cấp THCS
Năm học 2010-2011
Bài ý Nội dung
Điểm

1.
(4đ)
1
2
a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y ).
b/ B = ( x + 2y + 1 ).( x
2
- 2xy + 4y
2
).
2 2
11 6 2 11 6 2 (3 2) (3 2) 6a = + + = + + =
Từ đó
a
là số nguyên.
1,0
1,0
1,5

0,5
2
(6 đ)
1.
2.
3.
+ HS lập luận đợc x
2
+ x + 4 và x
2
+ x + 2 khác 0 rồi đa PT về dạng
9( x
2
+ x ) + 12 = ( x
2
+ x + 4 ) ( x
2
+ x + 2 )
+HS biến đổi PT về dạng ( x
2
+ x - 4 ) ( x
2
+ x + 1 ) = 0
+HS giải PT tích tìm đợc 2 nghiệm là x =
1 17
2

+ HS lập luận đợc để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A
và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đờng
thẳng y = x ( hoặc y = - x )

+ Từ đó dẫn đến
2
1 1
1 0
m
m
=




hoặc
2
1 1
1 0
m
m
=




giải 2 hệ PT đó tìm đợc
m = 2 hoặc m = 0 và trả lời bài toán.
+ HS viết đợc
2
1
1
A
x

=
+

+ HS lập luận và tìm đợc giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng - 1 khi x = 0.
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
0,5
1,5
3
(4 đ)
1.
2.

Gọi K là trung điểm của BC, dễ có
ã
0
60KOC =
.
Xét tam giác vuông OKC có OC = 2
Tính đợc
0
.sin 60 3KC OC= =
,
Tính đợc
2 3BC =
, suy ra diện tích
tam giác ABC là

3 3S =
(Đvdt)
Chú ý: Thực chất tam giác ABC đều nh-
ng không yêu cầu HS vẽ hình đúng.
+ Gi s cầu thủ đội trờng A là x; Số cầu thủ đội trờng B là y t k và lập đợc
PT: xy = 4( x + y )
( 4)( 4) 16x y =

+ HS lp lun và tìm đợc x = 20 ; y= 5, KL
1,0
1,0
1,0
1,0
4
(5 )
1.
2.
3.
1. Chng minh c t giỏc IEHF ni tip
c trong mt ng trũn.
2. Chng minh c
IFEIQG :
(g.g),
t ú cú
1
EF IE 2
QG IG
= =
;
1 1

EF=
2 2
QG R=
(pcm).
3. Chng minh c
IFEIAB :
(g.g), kt hp vi (2) ta cú
IABIQG :
,
suy ra
IA IB
IQ IG
=
dn n QG song song vi AB.
2,0
1,0
1,0
1,0
H

Q

G

I

F

B

A

O

E


Chó ý: Mäi lêi gi¶i ®óng kh¸c ®Òu ®îc cho ®iÓm t¬ng ®¬ng