đề tuyển sinh vào 10 môn toán tỉnh phú thọ năm 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình :
2015 2016x + =
b) Trong các hình sau, hình nào nội tiếp đường tròn: Hình vuông; hình chữ nhật; hình
thang cân; hình thang vuông.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( 2) 3 5
3
m x y
x my
− − = −


+ =

(I) ( với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình (I) với m=1.
b) Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất
đó theo m.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho Parabol (P):

2
y x=
và đường thẳng (d) có phương trình:
2( 1) 3 2.y m x m= + − +
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
c) Gọi
1 2
;x x
là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m để
2 2
1 2
20.x x+ =
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R. Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp
tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao
điểm của BC và DE.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn
(I) và HA là phân giác
·
.BHC

c) Chứng minh rằng:
2 1 1
.
AK AD AE
= +

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
7 6 2015.
a b c ab bc ca
   
+ + = + + +
 ÷  ÷
   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.
3(2 ) 3(2 ) 3(2 )
P
a b b c c a
= + +
+ + +
HẾT
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn-thang điểm gồm 05 trang)

I. Một số chú ý khi chấm bài
• Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo
cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
• Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm
tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
• Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Hướng dẫn-thang điểm
Câu 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình :
2015 2016x + =
b)Trong các hình sau, hình nào nội tiếp đường tròn: Hình vuông; hình chữ nhật; hình thang cân;
hình thang vuông.
Nội dung Điểm
a) (0,5 điểm)
2015 2016 2016 2015x x+ = ⇔ = −
0,25
1x
⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x=1
0,25
b) (1,5 điểm)
Hình vuông
0,5
Hình chữ nhật
0,5
Hình thang cân
0,5
Chú ý: Nếu học sinh trả lời cả 4 đáp án đúng thì trừ 0,25 điểm
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:

( 2) 3 5
3
m x y
x my
− − = −


+ =

(I) ( với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình (I) với m=1.
b) Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất
Nội dung Điểm
a) (1 điểm)
Thay m=1 ta có hệ phương trình:
3 5
3
x y
x y
− − = −


+ =

0,25
2 2 1
3 3
y y
x y x y
− = − =

 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
0,25
1 1
3 1 2
y y
x x
= =
 
⇔ ⇔
 
= − =
 
0,25
Vậy với m=1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (2; 1)
0,25
3
ĐỀ CHÍNH THỨC
b) (1,0điểm)
( )
2
( 2) 3 3 5
( 2) 3 5
3 6 2 3 5
3
3
3

m my y
m x y
m m y my y
x my
x my
x my
− − − = −

− − = −

− − + − = −

⇔ ⇔
  
+ =
= −
= −



0,25
( )
( )
2
( 2 3) 3 1 1
3 2
m m y m
x my

− + = −


⇔

= −


0,25
Ta có
( )
2
2
2 3 1 2 0m m m m− + = − + > ∀
nên PT (1) có nghiệm duy nhất
m∀
.
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m∀
0,25
Từ (1) ta có
2
3 1
2 3
m
y
m m
−
=
− +
thay vào (2) ta có
2

9 5
2 3
m
x
m m
−
=
− +
0,25
Câu 3 (2 điểm)
Cho Parabol (P)
2
y x=
và đường thẳng (d) có phương trình
2( 1) 3 2.y m x m= + − +
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
c) Gọi
1 2
;x x
là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m để
2 2
1 2
20.x x+ =
Nội dung Điểm
a) (1 điểm)
Thay m=3 ta có (d):
8 7y x= −
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) khi m=3 là:

2 2
8 7 8 7 0x x x x= − ⇔ − + =
0,25
Giải phương trình:
1 2
1; 7x x= =
0,25
Tọa độ giao điểm (P) và (d) là (1;1); (7; 49)
0,25
b) (0,5 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):
( )
2
2( 1) 3 2 0 1x m x m− + + − =
0,25
2
' 2 2
1 11
2 1 3 2 3 0
2 4
m m m m m m m
 
∆ = + + − + = − + = − + > ∀
 ÷
 

Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
m∀
. Suy ra (P) và (d) luôn cắt nhau tại
hai điểm phân biệt A, B với mọi m

0,25
c) (0,5 điểm)
Ta có
1 2
;x x
là nghiệm phương trình (1) vì
'
0 m∆ > ∀
theo Viet ta có:
1 2
1 2
2 2
3 2
x x m
x x m
+ = +


= −


0,25
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
20 2 20x x x x x x+ = ⇔ + − =
Thay hệ thức Viet ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2

2
2
2 2 2 3 2 20 2 6 0 2 2 3 0
3
2
m
m m m m m m
m
=


+ − − = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

0,25
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R. Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp tuyến AB
và AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm của BC và
DE.
4
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và
HA là phân giác
·
.BHC

c) Chứng minh rằng:
2 1 1
.

AK AD AE
= +

Nội dung Điểm
a) (1 điểm)
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Ta có:
·
·
0
90ABO ACO= =
(gt) suy ra
·
·
0
180ABO ACO+ =
0,5
Nên tứ giác ABOC nội tiếp ( theo định lý đảo) 0,5
b) (1,5 điểm)
Gọi đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn
(I) và HA là phân giác
·
BHC
Ta có
·
·
0
90ABO ACO= =
nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là
trung điểm của AO.

0,5
Vì
·
0
90AHO =
nên H thuộc đường tròn (I) 0,25
Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau thì
»
»
AB AC AB AC= ⇒ =

0,5
Ta có:
·
·
AHB AHC=
( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Hay HA là phân giác góc
·
BHC

0,25
c) (0,5 điểm)
Chứng minh rằng:
2 1 1
AK AD AE
= +

Xét tam giác
ACD∆

và
AEC∆
có
·
·
CAD EAC=
(chung);
·
·
»
1
2
ACD AEC sđ DC= =
Nên
ACD∆
đồng dạng
AEC∆
(g.g) suy ra:
2
.
AC AD
AC AD AE
AE AC
= ⇒ =
(1)
0,25
Xét tam giác
ACK∆
và
AHC∆

có
·
·
CAK HAC=
(chung);
·
·
·
( )ACK CHA AHB= =
5
Nên
ACK
∆
đồng dạng
AHC
∆
(g.g) suy ra:
2
.
AC AK
AC AH AK
AH AC
= ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

1 1
. . ( ) ( )
2 2
2 1 1

2 . ( )
AD AE AK AH AK AH AH AK AD DH AE EH
AD AE AK AD AE
AK AD AE
= = + = + + −
⇔ = + ⇔ = +
0,25
Câu 5 (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
7 6 2015
a b c ab bc ca
   
+ + = + + +
 ÷  ÷
   
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3(2 ) 3(2 ) 3(2 )
P
a b b c c a
= + +
+ + +
Nội dung
Điểm
Ghi chú: Ta có
( )

2
2 2 2 2 2 2
0 2 ; 2 ; 2A B A B AB B C BC A C AC− ≥ ⇔ + ≥ + ≥ + ≥

nên
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 *AB BC CA A B C AB BC CA A B C I+ + ≤ + + ⇒ + + ≤ + +
Từ (*) suy ra:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2A B C AB BC CA A B C A B C+ + + + + ≤ + + + + +
( )
( )
( )
2
2 2 2
3A B C A B C II
⇔ + + ≤ + +
. Ta có với A ,B ,C >0
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
3 9 ( )
9
A B B C C A
A B C III

A B C B A C B A C A B C A B C
         
+ + + + = + + + + + + ≥ ⇔ ≤ + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
         
Bất đẳng thức (I), (II),(III) xảy ra dấu
'' ''=
khi A=B=C.
Áp dụng Bất đẳng thức: (I) ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 6 2015 6 2015
a b c ab bc ca a b c
     
+ + = + + + ≤ + + +
 ÷  ÷  ÷
     

2 2 2
1 1 1
2015
a b c
⇔ + + ≤

Áp dụng (II) ta có
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2015 6045

3 a b c a b c a b c
 
+ + ≤ + + ≤ ⇔ + + ≤
 ÷
 
0,25
Ta lại có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3(2 ) 3( ) ( ) 2 ;(1);
3(2 ) 2 ;(2); 3(2 ) 2 ;(3)
a b a a b a a b a b
b c b c c a c a
+ = + + ≥ + + = +
+ ≥ + + ≥ +
Từ (1);(2);(3) ta có:
1 1 1
2 2 2
P
a b b c c a
≤ + +
+ + +
0,25
Áp dụng (III)
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
; ;
2 9 9 2 9 2 9a b a a b a a b a b b c b c c a c a
       
= ≤ + + = + ≤ + ≤ +
 ÷  ÷  ÷  ÷

+ + + + +
       
nên
1 1 1 1 1 1 1 6045
2 2 2 3 3
P
a b b c c a a b c
 
≤ + + ≤ + + ≤
 ÷
+ + +
 
0,25
6
Vậy giá trị lớn nhất của
6045
3
P =
khi
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 6 2015 6 2015
1 1 1 1 1 1
; 6045; 0
3 6045
2015
6045
a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c a b c

a b c

     
+ + = + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷


     


= = + + = = = >


⇔ = = = =
0,25
Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh BĐT (I), (II),(III) mà chỉ áp dụng vẫn cho điểm
tối đa.
HẾT
7