Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Ninh Bình năm 2012 - 2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4 điểm). Cho phương trình
2
x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0
(1)
(x là ẩn số, m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm m để
1 2
x x 17− =
.
Câu 2 (4 điểm). Cho biểu thức: P =
2
x - x 2x + x 2(x - 1)
- + (x > 0, x 1).
x + x + 1 x x - 1
≠
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P = 3.
Câu 3 (4 điểm).
1. Giải hệ phương trình:

3 3 2 2
x + y + xy = 7
x + y + 3(x + y ) + 3(x + y) = 70



2. Giải phương trình:
2
( x + 5 - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = 3
.
Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi
luôn tạo với nhau góc 60
0
, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N.
Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
1. Chứng minh rằng
EF
3
AB
=
.
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN
(C A, C N).≠ ≠

Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện
tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).
1. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n

2
+ np + p
2
= 1 -
2
3m
2
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của biểu thức S = m + n + p.
2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1
(ab a 1) (bc b 1) (ca c 1) a b c
+ + ≥
+ + + + + + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
HẾT
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC