ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2014 ­ 2015 MÔN TOÁN lớp 12

SỞGD&ĐTHƯNGYÊN
TRƯỜNGTHPTMINHCHÂU
ĐỀKSCLÔNTHITHPTQUỐCGIALẦN2
NĂMHỌC2014 2015
MÔN:TOÁN
Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờigianphátđề.
Câu1(2,0điểm). Chohàmsố (1).
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồ(C)củahàmsố(1).
b) TìmtọađộđiểmM thuộcđồthị (C)saochotiếptuyếncủa(C)tại M vuônggócvớiđườngthẳng
d:x+3y+1=0.
Câu2(1,0điểm).
a) Giải phươngtrình: 0)cos)(sincos21(2cos = - + + xxxx
b)Giải phươngtrình:
2 2
2 4
log log (4 ) 5 0x x - - =
Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân
2
2
1
ln( . )
( 2)
x
x e
I dx
x
=
+
ò
Câu4(1,0điểm).
a) Tìmsốphứczthoảmãn đẳngthức:

( )
2 2 6z z z i + + = -
.
b) Mỗiđềthigồm4câuđượclấyngẫunhiêntừ15câuhỏitrongmộtngânhàngđềthigồm
15câuhỏi.BạnThủyđãhọcthuộc8câutrongngânhàngđềthi.Tínhxácsuấtđểbạn
Thủyrútngẫunhiênđượcmộtđềthicóítnhấthaicâuđãthuộc.
Câu5(1,0điểm).TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chomặtphẳng
( )
:2 3 11 0P x y z + + - = vàmặt
cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 8 0S x y z x y z + + - + - - = .Chứngminhmặtphẳng(P)tiếpxúcvớimặtcầu(S).Tìmtọa
độtiếpđiểmcủa(P)và(S).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác cân,
AB AC a = =
,
·
0
120BAC =
.Mặtphẳng(AB'C')tạovớimặtđáygóc60
0
.TínhthểtíchlăngtrụABC.A'B'C'và
khoảngcáchtừđườngthẳng
BC
đếnmặtphẳng
( )
' 'AB C theo a .

Câu7(1,0điểm).TrongmặtphẳngtoạđộOxy,chotamgiác
ABC
nhọncóđỉnh ( 1;4)A - ,trực
tâm H.Đườngthẳng AH cắtcạnh
BC
tại M,đườngthẳng
CH
cắtcạnh AB tại
N
.Tâmđường
trònngoạitiếptamgiác
HMN
là (2;0)I ,đườngthẳng
BC
điquađiểm (1; 2)P - .Tìmtoạđộcác
đỉnh ,B C củatamgiácbiếtđỉnh B thuộcđườngthẳng : 2 2 0d x y + - = .
Câu8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình:
2
2 1 2
(1)
( ) (2 ) (2 )
2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2) (2)
x y x y x y y x x y
y x y x x y y
ì
+ =
ï
+ + - + -
í
ï

- - - - - + + = -
î
Câu9(1,0điểm). Chobasốthực , ,a b c thỏamãn 2, 0, 0a b c > > > .Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
2 2 2
1 1
( 1)( 1)( 1)
2 4 5
P
a b c
a b c a
= -
- + +
+ + - +
.
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
SỞGD&ĐTHƯNGYÊN
TRƯỜNGTHPTMINHCHÂU
(Đápánchấmcó06trang)
ĐÁPÁNKSCL ÔNTHITHPTQUỐCGIA
NĂMHỌC20142015
Môn:TOÁN;LẦN2
I.LƯUÝCHUNG:
Hướngdẫnchấmchỉtrìnhbàymộtcáchgiảivớinhữngýcơbảnphảicó.Khichấmbàihọcsinhlàm
theocáchkhácnếuđúngvàđủýthìvẫnchođiểmtốiđa.
Vớibàihìnhhọckhônggian(câu6)nếuthísinhkhôngvẽhìnhhoặcvẽhìnhsaithìkhôngchođiểm
tươngứngvớiphầnđó.
II.ĐÁPÁN:
Nộidung Điểm
Câu1
Chohàmsố

3 2
1
3
y x x = -
2,0đ
Ýa Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố 1,0đ
1.Tậpxácđịnh :D= .
2.Sựbiếnthiên :
2
' 2y x x = -
;
0
' 0
2
x
y
x
=
é
= Û
ê
=
ë
3
1 1
lim lim [x (  )]=+
3
x x
y
x

®+¥ ®+¥
= ¥
3
1 1
lim lim [x (  )]=
3
x x
y
x
®-¥ ®-¥
= ¥
0,25đ
Bảngbiếnthiên
0 2
0 0
0
4
3
-
Hàmsốđồngbiếntrêncáckhoảng và
Hàmsốnghịchbiếntrên .
Hàmsốcócựcđạitại
0x =
vày
CĐ
=y(0)=0.
Hàmsốcócựctiểutại
2x =
vày
CT

=y(2)=
4
3
-
0,25đ
0,25đ
3.Đồthị
GiaoOx:(0;0),(3;0)
GiaoOy:(0;0)
' 0 1y x = Û =
Þ
ĐồthịhàmsốnhậnI
2
(1; )
3
- làmđiểmuốnvàlàtâmđốixứng
0,25đ
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
íb
f(x)=(1/3)x^3x^2
8 6 4 2 2 4 6 8
5
5
x
y
dcúhsgúc
1
3
k = - .
Gi

0
x lhonhimM
Ycbt
0
1
'( ).( ) 1
3
y x - = -
0
'( ) 3y x =
2
0 0
2 3 0x x - - =
0
0
1
3
x
x
= -
ộ

ờ
=
ở
4
( 1 )
3
(30)
M

M
ộ
- -
ờ

ờ
ở
0,25
0,25
0,25
0,25
2.a
(0,5im)
Giiphngtrỡnh:
0,5
PT
( )
0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos = + - - = - + + xxxxxxxx
0,125
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
+ = + =
+ =

ờ
ờ

ờ
ờ
ở
ộ
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-

ờ
ở
ộ
= + -
= -


p p p
p

p
p
p
p

2,2
2
4
1
4
sin2
0
4
sin2
01sincos
0cossin
kxkx
kx
x
x
xx
xx
0,25
Vậyphơngtrìnhđãchocónghiệm:
( )
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k

p p

p p p p
= + = + = + ẻZ
0,125
Cõu2.b
2 2
2 4
log log (4 ) 5 0x x - - =
im
(0,5im)
iukin:x>0. 0,125
Khiú,phngtrỡnh óchotngngvi
2 2 2
2 4 4 2 2
log (log 4 log ) 5 0 log log 6 0x x x x - + - = - - = (*)
0,125
t
2
logt x = ,phngtrỡnh(*)trthnh
2
3
6 0
2
t
t t
t
ộ
=
ờ
- - =
ờ

= -
ờ
ở
0,125
GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 -
-
é
é
= =
ê
ê
Û Û
ê
ê
= -
=
ê
ê
ë
ë
3
2
2
2
log 3 2
log 2
2
x x
x
x

(nhậncảhainghiệm)
–Vậy,phươngtrình đãchocóhainghiệm : 8x = và
1
4
x =
0,125
Câu3
(1điểm)
Tínhtíchphân
Tacó
2 2
2 2
1 1
ln
( 2) ( 2)
x x
I dx dx
x x
= +
+ +
ò ò
0,25
· Tatính
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2
( 2) 1 2 4 1
2 ln 2 ln
1 1

( 2) ( 2) ( 2) 2 3 6
x x
A dx dx dx x
x x x x
+
= = - = + + = -
+ + + +
ò ò ò
0.25
· Tatính
2 2
2
1 1
2 2
ln ln 1 1
ln 2 ln
1 1
( 2) 2 ( 2) 4 2 2
x x dx x
B dx
x x x x x
= = - + = - +
+ + + +
ò ò
1 1 3
ln 2 ln
4 2 2
= - +
Thaycáckếtquảvào I tađược
5 1 1

ln 2 ln3
4 2 6
I = - -
0,5
4 a
Tìmsốphứczthoảmãn đẳngthức:
( )
2 2 6z z z i + + = -
.
0,5
Giảsử
( )
,z x yi x y = + Ρ
Tacó
( )
2 2 6z z z i + + = - Û
( )
2 2 6x yi x yi x yi i + + + + - = -
0,25
( )
2
5 2 6 ; ; 6
5
x yi i x y
æ ö
Û + = - Û = -
ç ÷
è ø
.Vậy
2

6
5
z i = -
0,25
Câu4.b
(1điểm)
b)Mỗiđềthigồm4câuđượclấyngẫunhiêntừ15câuhỏitrongmột
ngânhàngđềthigồm15câu hỏi.BạnThủyđãhọcthuộc8câu trong
ngânhàngđềthi.TínhxácsuấtđểbạnThủyrútngẫunhiênđượcmộtđề
thicóítnhấthaicâuđãthuộc.
Ýb
(0,5điểm
Lấyngẫunhiên4câuhỏitừngânhàngđềđểlậpmộtđềthi,có
4
15
1365C = đềthi
BạnThủyrútngẫunhiênđượcmộtđềcó2câuđãthuộc,có
2 2
8 7
. 588C C = cách
0,25
BạnThủyrútngẫunhiênđượcmộtđềcó3câuđãthuộc,có
3 1
8 7
. 392C C = cách
BạnThủyrútngẫunhiênđượcmộtđềcó4câuđãthuộc,có
4
8
70C = cách
Vậyxácsuấtcầntìmlà:

588 392 70 10
1365 13
p
+ +
= =
0,25
5
TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chomặtphẳng
( )
:2 3 11 0P x y z + + - = vàmặt
cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 8 0S x y z x y z + + - + - - = .Chứngminhmặtphẳng(P)tiếpxúcvới
mặtcầu(S).Tìmtọađộtiếpđiểmcủa(P)và(S).
1,0
Mặtcầu(S)cótâm
( )
1; 2;1I - ,bánkính
14R =
.
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
( )
( )
2 6 1 11
, 14
14
d I P R
- + -

= = = Þ mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tạiH (H là
hìnhchiếuvuônggóccủaItrên(P)).
0,25
GiảsửH(x;y;z).Tacó IH
uuur
cùngphươngvớivtptcủamp(P)nên
( )
1 2 1 2
. 2 3 2 3
1 1
P
x t x t
IH t n y t y t
z t z t
ì ì
ï ï
- = = +
ï ï
ï ï
ï ï
= Û + = Û = - +
í í
ï ï
ï ï
- = = +
ï ï
ï ï
î î
uur ur
0,25

Tọađộđiểm Hthỏamãnhệphươngtrình
( )
1 2
2 3
1 3;1;2
1
2 3 11 0
x t
y t
t H
z t
x y z
= +
ì
ï
= - +
ï
Þ = Þ
í
= +
ï
ï
+ + - =
î
.
Vậytiếpđiểm của(P)và(S)là
( )
3;2;1H .
0,25
6

+Xácđịnhgócgiữa(AB'C')vàmặtđáylà
·
'AKA
·
0
' 60AKA Þ =
.
Tính A'K=
1
' '
2 2
a
A C = Þ
0
3
' ' .tan 60
2
a
AA A K = =
3
. ' ' '
3
=AA'.S
8
ABC A B C ABC
a
V =
0,5
+)VìBC//(AB’C’)nênd(BC;(AB'C'))=d(B;(AB'C'))=d(A';(AB'C'))
Chứngminh:(AA'K) ^(AB'C')

Trongmặtphẳng(AA'K)dựngA'HvuônggócvớiAK ÞA'H ^(AB'C')
Þd(A';(AB'C'))=A'H
Tính:A'H=
3
4
a
Vậyd(B;(AB'C'))=
3
4
a
0,5
Câu7
(1điểm)
Tìmtoạđộ…
· TathấytứgiácBMHNnộitiếp
Suyra I làtrungđiểmcủaBH;
0,25
N
A
H
K
C'
B'
A'
C
B
A
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
(2 2 ; )B d B t t Î Þ -
Câu7 iểm

Suyra (2 2 ; ) (3 2 ; 4), (2 1; 2)H t t AH t t BP t t + - Þ = + - - = - - -
uuur uuur
Do H làtrựctâmcủatamgiácABC
. 0 (2 3)(2 1) ( 4)( 2) 0AH BP t t t t Þ = Û + - + + + =
uuur uuur
2
5 10 5 0 1t t t Û + + = Û = -
0,25
Suyra (0;1), (4; 1), (1; 3)H B AH - = -
uuur
,đườngthẳng : 3 7 0BC x y - - =
0,25
Đườngthẳng : 2 6 0AC x y - + = . Tìm đượctoạđộ ( 5; 4)C - -
KL… 
0,25
Câ
u8
Giảiphươngtrình:
2
2 1 2
(1)
( ) (2 ) (2 )
2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2) (2)
x y x y x y y x x y
y x y x x y y
ì
+ =
ï
+ + - + -
í

ï
- - - - - + + = -
î
Điể
m
ĐK
0
0
0
0
2 0
x
x
y
y
x y
³
ì
³
ì
ï
³ Û
í í
³
î
ï
- ³
î
Nếuy=0thì
2

2 1 2
(1)
2
x x
x
Û + = (vôlý)
Tươngtựx=0khôngthỏamãn,vậyx,y>0.
Đặt , 0x ty t = > ,phươngtrình đầutrởthành:
2
2 1 2
( 1) 2 1 1 (2 1)t t t t t
+ =
+ + - + -
(1’)
0,25
Tacó
2
1 2 2 2
2 1 2 2 2 1 (2 1) 2 2 1 1 ( 2 1 1)t t t t t t t
= = =
+ - + - - + - + - +
2 2 2 2
2 2 2 1 1 1
(1') (2)
( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1) ( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1)t t t t t t t t
Û + = Û + =
+ - + + - + - + + -
Đặt ( , 0)
2 1
a t

a b
b t
ì
=
ï
>
í
= -
ï
î
,(2)
2 2
1 1 1
(2) (*)
(1 ) (1 ) 1a b ab
Û + =
+ + +
Bổđề :
2 2
1 1 1
(1 ) (1 ) 1a b ab
+ ³
+ + +
ÁpdụngBĐTCauchySchawarztacó:
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
( )( )
2 2
2
2

1 1
( . ) (1 ) . (3)
(1 )
1 1
tt . (4)
(1 )
1
a
a ab b a b
b a b a b
b
a a
ab a b
b a b
+ = + ị
+ + +

+ + +
+ +
Cngvvivtacpcm.Du=xyra
a b =
(*) 2 1 1t t t x y = - = =
0.25
2 2 2 2
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2)
4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 4( 4) ( 3) ( 6) (2 1)
2(x 4) 3 ( 6) 2 1
3( 2)
2(x 4) 3 ( 6) 2 1
x x x x

x x x x x x x x
x x x
x
x x x
ỡ
- - - - + = -
ù
ớ
- - - - + - - - - +
- - + - + = =
ù
-
- - - - +
ợ
(Dok 3x nờnx2>0)

2
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2)(5)
2 7 28
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 (6)
3
x x x x
x x
x x x
ỡ
- - - - + = -
ù
ớ
+ -
- - + - + =

ù
ợ
Cngvviv(5)v(6)tac:
2
2
2 7 28
4(x 4) 3 3( 2) 12( 4) 3 2( 4)( 12)
3
2( 4)(6 3 12) 0 2( 4)(x 3 6 3 9) 0 2( 4)( 3 3) 0
4 4
6 6
x x
x x x x x x
x x x x x x x
x y
x y
+ -
- - = + - - + = - +
- + - - = - + - + + = - + - =
= ị =
ộ

ờ
= ị =
ở
VyhptóchocútpnghimT={(44),(66)}
0,25
9 Chobasthc , ,a b c thamón 2, 0, 0a b c > > > .Tỡmgiỏtrlnnhtcabiuthc:
2 2 2
1 1

( 1)( 1)( 1)
2 4 5
P
a b c
a b c a
= -
- + +
+ + - +
1,0
t
1 1
2 0a a a = - ị > .Khiú:
2 2 2
1
1
1 1
( 1)( 1)( 1)
2 1
P
a b c
a b c
= -
+ + +
+ + +
Tacú:
2 2
2 2 2 2
1
1 1
( ) ( 1) 1

1 ( 1)
2 2 4
a b c
a b c a b c
+ +
+ + + + + + +
Du
1
" " 1a b c = = = = .
Talicú
3 3
1 1
1
1 1 1 3
( 1)( 1)( 1)
3 3
a b c a b c
a b c
+ + + + + + + +
ổ ử ổ ử
+ + + Ê =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Du
1
" " 1a b c = = = = .
0,25
Doú:
3
1 1

1 27
1 ( 3)
P
a b c a b c
Ê -
+ + + + + +
.Du
1
" " 1a b c = = = =
t
1
1 1t a b c t = + + + ị > .Khiú
3
1 27
( 2)
P
t t
Ê -
+
,
1t >
.
0,25
Xộthm
3
1 27
( ) , 1
( 2)
f t t
t t

= - >
+

2 4
1 81
'( )
( 2)
f t
t t
= - +
+

4 2 2
'( ) 0 ( 2) 81. 5 4 0 4f t t t t t t = + = - + = = (Do
1t >
).
lim ( ) 0
t
f t
đ+Ơ
=
TacúBBT.
0,25
GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 -
t 14 +¥
( )
'f t
+0 
( )
f t

1
8
0 0
Từbảngbiếnthiêntacó
1
max ( ) (4) 4
8
f t f t = = Û =
RFFFF
VậygiátrịlớnnhấtcủaP là
1
8
,đạtđượckhi
( ) ( )
; ; 3;1;1a b c = .
0,25
HẾT
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -