ĐỀ THI THỬ LẦN 3 KỲ THI THPT QUỐC GIA Năm học 2014 – 2015 môn toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
–––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ LẦN 3 KỲ THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2014 – 2015
Môn: Toán lớp 12
Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x
+
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
3y x= +
. Viế
t ph
ươ
ng trình tiế
p
tuyến của (
C) t
ạ

i m
ỗi giao
đ
i
ểm v
ừ
a tìm
được.
Câu 2 (1,0 điểm).
1) Giải bất phương trình
( )
2
33
log 2log 3 1 0xx−−<
.
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) ( )
2ln
f
xx x=−
trên đ
o
ạ
n
[
]
2;3
.

Câu 3 (1,0 điểm).

Tính tích phân
()
1
2
0
1
x
I
xedx=+
∫
.

Câu 4 (1,0 điểm).

1) Giải phương trình
2
tan
2cos2 cos sin 1 cos3
1tan
x
x
xx x
x
=+−−
+
.
2) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S.
Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a
,
13
2
a
SD =
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB. Gọi I là trung điểm của đoạn

AD
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABCD
và tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
HI
,
SD
theo
a

.
Câu 6 (1,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(
)
2; 3; 0
A
−
và mặt phẳng (P) có
phương trình
22 10xyz++−=
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m
O
,
A
và vuông góc v

ớ
i
(
P). Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ểm
M
thu
ộc tr
ụ
c
Oz sao cho
AM
song song v
ới (
P
).
Câu 7 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M và N lần lượt
là trung
đ
i
ểm c
ủ
a
CD và

BI
. Tìm t
ọa
độ
các
đi
ể
m
B,
C
,
D bi
ế
t
( )
1; 2A
,
đường thẳng MN có phương
trình 220xy−−= và điểm M có tung độ âm.
Câu 8 (1,0 đ
i
ể
m
).
Giải hệ phương trình
()
4432
322
2220
,.

38 2 9
xy x y y y
xy
yy x x
⎧
−+−−+=
⎪
∈
⎨
−−=− +
⎪
⎩
\

Câu 9 (1,0 đ
i
ể
m
).
Cho
,,abc
là các số
th
ự
c dươ
ng. Ch
ứ
ng minh rằ
ng:
()

2
2
33 8 1
2
28
22 3
abc
ab bc
bac
+≥ +
+ +
++
+++
.



–––––––Hết ––––––


Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ LẦN 3 KỲ THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2014-2015

CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
Câu 1
(2 điểm)

1) (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
21
1
x
y
x
+
=
−


* Tập xác định:
{
}
\1D = \

* Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
()
2
3
0
1
yxD
x
−
′
=<∀∈

−

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
;1
−
∞
và
(
)
1;
+
∞
.
0,25
+ Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.
+ Giới hạn, tiệm cận:
11
lim , lim
xx
yy
+−
→→
=+∞ =−∞

(
)
C⇒
có tiệm cận đứng là đường thẳng

1
x
=
.

lim lim 2
xx
yy
→+∞ →−∞
==

(
)
C⇒
có tiệm cận ngang là đường thẳng
2y
=
.
0,25
+ Bảng biến thiên:

0,25
* Đồ thị:

0,25
2) (1 điểm) Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
3
y
x=+
. Viết

phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm vừa tìm được.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng 3
y
x
=
+ là:
21
32
1
x
xx
x
+
=+⇔=±
−

0,25
Các giao điểm của (C) và đường thẳng
3
y
x
=
+
là
(
)
2;5A
và
(

)
2;1B −
.
0,25
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A:
311yx
=
−+

0,25
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại B:
11
33
yx
=
−+

0,25
Câu 2
(1 điểm)


1) (0,5 điểm) Giải bất phương trình
(
)
2
33
log 2log 3 1 0xx
−
−<

.

()
22
33 33 3
log 2log 3 1 0 log 2log 3 0 1 log 3xx xx x− −<⇔ − −<⇔−< <

0,25
1
27
3
x⇔<<
. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng
1
;27
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

0,25
2) (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
)( )
2ln
f
xx x=−
trên
đoạn
[

]
2;3
.

()
(
)
1ln, 0
f
xxfxxe
′′
=− = ⇔ =
,
[
]
2;3e ∈

0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
()
(
)()
242ln2, ,363ln3ffeef=− = =−
. Vì vậy:
[]
(
)
(
)
2;3

min 2 4 2ln 2,fx f==−


[]
(
)
(
)
2;3
max
f
xfee
=
=
.
0,25
Câu 3
(1 điểm)
Tính tích phân
()
1
2
0
1
x
I
xedx=+
∫
.

Ta có
()
111
22
000
1
xx
I
xedxxdxxedx=+ = +
∫∫∫
,
1
2
1
0
1
1
0
22
x
Ixdx
=
==
∫
.
0,25
Tính
1
2
2

0
x
I
xe dx=
∫
: Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx
=
⎧
=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
=
⎩
⎪
⎩
. Suy ra
1

22
2
0
1
11
0
22
xx
I
xe e dx
=
−=
∫

0,25
2
22
11
11 1
00
24 4
xx
e
xe e
+
=−=
.

0,25
Vậy

22
12
113
24 4
ee
II I
++
=+=+ = .
0,25
Câu 4
(1 điểm)
1) (0,5 điểm) Giải phương trình
2
tan
2cos2 cos sin 1 cos3
1tan
x
x
xx x
x
=+−−
+
(1).

Điều kiện:
()()
cos 0 *
2
xxmm
π

π
≠⇔≠ + ∈]
. Với điều kiện
(
)
*
ta có:
() ()
2
sin
cos
1 cos3 cos sin 1 cos3 sin cos cos sin 1
1
cos
x
x
x
xx x xxxx
x
⇔=++−−⇔ =+−
0,25
()( )
()
()
()
()
ˆ
2 , khong t/m *
sin 1
2

1sin 1cos 0
cos 1
2 , t/m *
xkk
x
xx
x
xk k
π
π
π
⎡
=+ ∈
=
⎡
⎢
⇔− − =⇔ ⇔
⎢
⎢
=
⎣
=∈
⎢
⎣
]
]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2,xk k
π

=
∈]
.
0,25
2) (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời
hai số từ tập hợp S. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

S có 90 phần tử. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ S, số cách chọn là
2
90
4005C =
cách.
0,25
Chọn hai số có chữ số hàng đơn vị giống nhau:
+ Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số 0, 1, 2, , 9).
+ Có
2
9
C
cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số 1, 2, , 9).
Do đó, số cách chọn hai số từ S có chữ số hàng đơn vị giống nhau là
2
9
10. 360C = .
Vậy xác suất cần tính là
360 8
4005 89
P ==
.
0,25

Câu 5
(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
13
2
a
SD =
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB. Gọi I là trung
điểm của đoạn AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng HI, SD theo
a
.

()
SH ABCD SH HD⊥⇒⊥

()
22
22 22 22 2 2
13
22
44
aa
SH SD HD SD HA AD a a SH a
⎛⎞
=− =− + = −+=⇒=
⎜⎟

⎝⎠

0,25
3
2
.
11 2
.2.
333
S ABCD ABCD
a
VSHSaa===
.
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

+ HI // BD
⇒
HI // (SBD)
(
)
(
)
(
)
()
()
d HI,SD d HI, SBD d H, SBD⇒= =
(1)
+ Kẻ

,
H
KBDHQSK
⊥
⊥ . Chứng minh được
(
)
(
)
(
)
,
H
QSBD dHSBD HQ⊥⇒ =
(2)
0,25
+
n
0
2
.sin .sin 45
24
aa
HK BH HBK===

+
2
2222 2
1111117
22

8
a
H
QSHHK a a
=+ =+=

34
17
a
HQ⇒= (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
()
34
17
a
dHI,SD=
.
0,25
Câu 6
(1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(
)
2; 3; 0A −
và mặt phẳng (P) có phương
trình
22 10xyz++−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm O, A và vuông góc
với (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho AM song song với (P).

(P) có vectơ pháp tuyến
()
2;2;1
P
n =
G
. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua O, A và vuông góc với (P).
⇒
(Q) nhận
()
,3;2;10
QP
nnOA
⎡⎤
==−
⎣⎦
JJJG
GG
làm vectơ pháp tuyến.
0,25
(Q) đi qua
()
0; 0; 0O
và có vectơ pháp tuyến
(
)
3; 2; 10
Q
n =−
G

nên (Q) có phương trình:
32100xy z
+
−=
0,25
M thuộc trục Oz
⇒
()
0;0;
M
m . Do AM song song với (P) nên ta có
.n 0
P
AM =
J
JJJG
G
G

0,25
()
2 .2 3.2 .1 0 2mm⇔− + + = ⇔ =−
. Vậy
(
)
0;0; 2M
−
.
0,25
Câu 7

(1 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của CD và BI. Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết
(
)
1; 2A
, đường thẳng MN có
phương trình
220xy−−=
và điểm M có tung độ âm.





+ Gọi J là trung điểm của AI
⇒
DMNJ là hình
bình hành.Xét tam giác ADN có J là giao điểm của
hai đường cao AI và NJ nên J là trực tâm, do đó
A
NDJ ANMN
⊥
⇒⊥
⇒ N là hình chiếu của A
trên MN. Tìm được
(
)
2; 0N

.
+ ADMN là tứ giác nội tiếp
n
n
0
45AMN ADN⇒==

A
MN⇒Δ
vuông cân tại N. Từ
M
MN∈
và
5MN AN==
tìm được M có tọa độ là
()
4; 1

hoặc
(
)
0; 1
−
. Do M có tung độ âm nên
(
)
0; 1M
−

0,25

+ Gọi
K
AM BD
=
∩
⇒
K là trọng tâm
A
DCΔ

⇒

2
3
A
KAM=
J
JJG JJJJG
. Tìm được
1
;0
3
K
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
+
1
2

NI BI
= và
1
3
K
IDI= ⇒
3
5
NI NK
=
JJG JJJG
. Từ đó
tìm được
(
)
1; 0I
.
0,25
+ I là trung điểm của AC nên tìm được
()
1; 2C
−

0,25
+ M là trung điểm của CD nên tìm được
(
)
1; 0D −

+ I là trung điểm của BD nên tìm được

()
3; 0B
.
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
Câu 8
(1 điểm)
Giải hệ phương trình
( )
()
4432
322
22201
38 2 9 2
xyxy yy
yy x x
⎧
−+−−+=
⎪
⎨
−−=− +
⎪
⎩


() ( )
()
42
42
2

12 10
1
y
yxy
xy
=
⎡
⇔− +−=⇔
⎢
+ =
⎣

0,25
+ Với
2y
=
: thay vào (2)
được ph
ươ
ng trình
22 2 2
629296xx x x− = − +⇔ += +


()()
2
22 42
49 6 80 0xx xxx
⇔+=+⇔+=⇔=

0,25
+ Vớ
i
42
1xy
+=
: suy ra
11,11
xy
−≤ ≤ −≤ ≤
.
Xét hàm số
()
[
]
3
38, 1;1fy y y y=−− ∈−
và hàm số

()
[]
22
29, 1;1gx x x x=− + ∈−
.
Tìm được
[]
() ( )
1;1
max 1 6fy f
−

=−=−
và
[]
( ) ( )
1;1
min 0 6gx g
−
= =−
.
0,25
Tứ
c là ta có:
[] []
322
3 8 6 2 9 , 1;1 , 1;1yy x x x y
−−≤−≤− +∀∈− ∀∈−
. Từ đó:
()
0
2
1
x
y
=
⎧
⇔
⎨
= −
⎩
.

V
ậ
y h
ệ ph
ươ
ng trình đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
( )
0; 2
và
(
)
0; 1−
.
0,25
Câu 9
(1 điểm)
Cho
,,abc
là các số
th
ự
c dươ
ng. CMR:
()
2
2
33 8 1

2
28
22 3
abc
ab bc
bac
+≥ +
+ +
++
+++


Ta ch
ứng minh
()
2
2
33 8 1
0
2
28
22 3
P
abc
ab bc
bac
=
+− − ≥
++
++

+++
.
()
33
82.2 2
2
28
bc b c b c
abc
ab bc
=≤+⇒ ≥
+ +
++

0,25
() ()
()
2
2
2
2
88
22
3
22 3
bacbac
abc
bac
− −
++≥++⇒ ≥

+ ++
+++

Do đó:
() ()
338 1 138
223 223
P
abc abc abc abc abc
≥+−−=+−
++ +++ ++ ++ +++

0,25
Đặt ,0
xabcx=++ >
. Ta có
13 8
22 3
P
xx
≥+−
+
. Xét
()
13 8
,0
22 3
fx x
xx
= +− >

+
.
Ta có
()
()
( )( )
()
22
2
2
3153
18
2
323
xx
fx
x
xxx
− +
′
=− + =
++
. Bảng biến thiên của
()
f
x
:

0,25
T

ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên c
ủ
a
()
f
x
suy ra
( )
0, 0
fx x
≥∀>
. Do
đ
ó
0P ≥
, suy ra
đ
pcm.
Đẳng thức xảy ra khi
11
,
42
ac b== =.
0,25

–––––––HẾT––––––––
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -