KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI THPT QUỐC GIA Năm học 2014 – 2015 môn toán lớp 12

SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
KHẢO SÁT CHẤT L
Ư
ỢNG

THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN HỌC
Th
ời gian
: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)


(Đ
ề thi gồm 01 trang)
Câu 1
.
(2,0 đi
ểm)

Cho hàm s
ố
4 2
8 4y x x   
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị

 
C
của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
, biết hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương
trình
 
'' 13.y x



Câu 2. (1,0 điểm)
a. Giải phương trình
2
1 sin cos 2 sin cos .
2
x
x x x
 


  




 

b. Cho số phức
3 2z i 
. Xác định phần thực và phần ảo của
.w iz z
 


Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình
2
1
3
3
6log 5log 4 0.x x  

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình


4 3
3 2
2 2 1
.
2 2
x x x
x x
x x x
  
 
 


Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân
4
2
0
2 4 1
2 1
x x
I dx
x
 



.
Câu 6.

(1,0 đi
ểm)
Cho hình
chó
p
.S ABCD
có
ABCD
là hình thang cân v
ới hai đáy l
à
BC
và
AD

.
Biết
2SB a
,
2 ,AD a AB BC CD a   
và hình chiếu vuông góc của điểm
S
xuống mặt
ph
ẳng



ABCD
trùng
v
ới tru
ng đi
ểm
c
ạnh
.AD
Tính
theo
a
th
ể tích khối
chó
p
.S ABCD

và
khoả
ng cá
ch
gi
ữa

hai đường thẳng

SB
và
AD
.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
 




2 2
: 2 2 4T x y   
và đường
thẳng

:3 10 0.x y
   
Vi

ết ph
ương tr
ình đư
ờng tr
òn
 
C
bi
ết
tâm

I
của
 
C
có

hoành đ
ộ âm
và
nằm tr
ên đường thẳng
: 0,d x y 

 
C
ti
ếp xúc với

và

cắt
 
T
t
ại
,A B
sao cho
2 2AB 
.

Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
 
1;2; 2
I

và mặt phẳng
 
P
có phương trình
 
: 2 2 5 0P x y z   
.
Hãy vi
ết phương tr
ình mặt cầu
 
S

có
tâm
I
sao cho giao
tuyến
của
mặt
cầu
 
S
và mặt phẳng
 
P
là một đường tròn có chu vi bằng
8 .


Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho các điểm
       
2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D 
.
Xét các điểm có tọa độ
 
;x y
với
,x y
là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật
ABCD

(kể cả các
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm
được chọn có tọa độ
 
;x y
thỏa
2.x y 


Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2
2 .ac b bc 
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
2 2
.
4 4
a b b c
P
a b ab b b c bc c
 
 
   

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015

Câu

Ý

Nội dung Điểm

1 a
Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0
b
   
3 2
1
' 4 16 ; '' 12 16 13
2
y x x x y x x x
        

0,5

1
2
x
 
phương trình tiếp tuyến:
15 93
2 16
y x 

0,25

1
2
x
  
phương trình tiếp tuyến:
15 93
.
2 16
y x  

0,25
2 a
Biến đổi phương trình như sau
     
  
1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0
1 sin cos 2 0
x x x x x x x
x x
        
   


0,25

Vì
cos 1x 
nên phương trình có nghiệm
2
2

x k

  
.
0,25
b
   
3 2 3 2 1w i i i i     

0,25

Re 1, Im 1.w w  

0,25
3
ĐK:
0.x 
Biến đổi bất phương trình
2
3 3
6log 10log 4 0
x x
  
 
*

0,25

Đặt
 

2
3
1
log * : 6 10 4 0 2
3
t x t t t
        

Suy ra tập nghiệm bất phương trình
3
1
; 3 .
9
S
 
 

 
 


0,25
4
Điều kiện
0.x 
Biến đổi bất phương trình
  
 
 
 

 
 
 
3
3 3
2
2
1 1 1
*
1
1 1
1 1
x
x x x
x
x
x
x x
  
  

 
 


0,25

Đặt
   
3

2
1
t
f t t
t
 


, ta có
 
 
4 2
2
2
3
' 0,
1
t t
f t t
t

   



Hơn nữa
 
f t
liên tục trên


, nên đồng biến trên



0,5

Vậy
 
 
 
3 5
* : 1 1 0; .
2
f x f x x x x
 



      








0,25
5
Đặt

2
1
2 1
2
t
t x x dx tdt

     


0,5

3
3
4 5 3
2
1
1
1 478
.
2 2 10 3 2 15
t t t t
I t dt
   
 
 
      
 
 
 

 
 
   



0,5
6
Gọi
M
là trung điểm
AD
, theo giả thiết
 
SM ABCD
.
Tứ giác
MBCD
là hình bình hành nên
,MB a
do đó
.SM a


0,25

Ta có
MC a
nên tam giác
MBC

đều, do đó
   
2
3 3
3
4
a
dt ABCD dt MBC
  

 
3
1 3
. . .
3 4
a
V SM dt ABCD 


0,25

Gọi
K
là trung điểm
,BC

H
là hình chiếu của
M
lên

.SK

Do
2SC SB a 
nên tam giác
SBC
cân tại
S
, do đó
   
BC MK BC MH
BC SMK MH SBC
BC SK SK MH
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 


0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

Tam giác
MBC

đều cạnh bằng
a
nên
3
,
2
a
MK 
do đó

   
 
2 2
. 21
, , .
7
SM KM a
d SB AD d AD SBC MH
SM KM
   



0,25
7
Đường tròn
 
T
có tâm
 

2;2 ,
K
bán kính
2;r 

Gọi
 
; ,I t t
bán kính của đường tròn
 
C
là
 
4 10
,
10
t
R d I

  


0,25

Ta có
 
 
 
2
2 2

2 2 5
8
, 2 2 5 5
5 5
t
d I AB R t t

      

và
   
, 2; 2 2 2 2
d K AB IK t t    
(do
0t 
)

0,25

TH1.
,I K
khác phía đối với
:AB

   
 
 
     
2
2 2 2

1
, , 2 5 5 1 5 2 10
5
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10 .
d I AB d K AB IK t t t t
C x y
          
       




0,25

TH2.
,I K
cùng phía đối với
:AB

   
 
 
2
1
, , 2 5 5 1 2 *
5
d I AB d K AB IK t t t
       

 

*
không có nghiệm âm
 
     
2 2 2
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10
C x y      




0,25
8
Đường tròn giao tuyến của
 
S
và
 
P
có
4;r 

 
 
, 3
d I P

.
0,5

Bán kính mặt cầu là
 
 
2 2
, 5
R r d I P
  

Vậy phương trình
       
2 2 2
: 1 2 2 25.
S x y z     


0,5
9
Không gian mẫu
 
 
; | , , 2 4,0 2
x y x y x y
       

0,25

 
 
                 
 

, | 2
2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0
A x y x y
    
      

Suy ra
 
 
 
9 3
.
21 7
n A
P A
n
  




0,25
10
Đặt
, , 0, 2
a b
x y x y x y
b c
     

Ta có
   
2 2
2 2
2 1 2 1
4 4
x y
P f x f y
x x y y
 
   
   

Trong đó
 
2
2
2 1
4
t
f t
t t


 
với
 
0;2 .
t


0,25

 
 
  
 
   
 
 
 
2
2
2
2 2
4 2 1
1 13 16 1 104 29
3 29 3
1
8 2 16 2
2 8 16 8
29 3
1 .
16 2
t
t t t t
f t t

t t
t t t t
t

   
      
 
   
  




0,5

Vậy
     
29
2 3 3
16
P f x f y x y
      

Nên
min 3P 
khi
1 .x y a b c    


0,25

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

Chú ý.

H
ọc
sinh có th
ể sử dụng tọa độ
đ
ể giải b
ài toán

6 như sau
Chọn hệ trục tọa độ
 
; , ,M MK MD MS
  
khi đó
   
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
C D a S a
 









 
,
   
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
MC MD a MS a
 



   





 
  
3
.
1 3
3 , .
2 4
S MCD
a

V V MC MD MS
 
  
 
 
  

-Ta có
   
3 3
0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ;
2 2 2 2
a a a a
A a B AD a SB a
   
 
 
 
      
 
 
 
 
 
   
 

Vậy
 
, .

21
, .
7
,
AD SB MS
a
d AD SB
AD SB
 
 
 
 
 
 
 
  
 

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -