đề thi HSG toán lớp 10 Bắc Giang năm 2013

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Cụm trường Lạng Giang
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút


Câu I (4 điểm). Cho hàm số
( )
2
1 2 2y m x mx m= − − + +
có đồ thị (Cm)
1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên
( )
;2−∞

2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
;
x x
thỏa mãn
1 2
2 2x x− =
.
Câu II (4 điểm).
1. Giải phương trình:
2 1
2 1
1 3
x

x
x x
+
= −
+ − −

2. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
1 2 1 3
1
x y y x x
x x y y

+ + + + =


+ + =



Câu III (4 điểm).
1. Giải bất phương trình:
2 2
2 1 2 4 1 5
x x x x x
− + + + + ≥

2. Rút gọn
+ − + +
=
+ − +
x x x x
P
x x x x x
4 4 2 2
2 2 2 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
cos .cot 3cos cot 2sin
, với điều kiện xác định cho trước.
Câu IV (6 điểm).
1. Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN. Gọi H là
hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN.
2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu
( ) ( )
2 2 2 2
sin 2sin .cos
0
A B C
b b a c c a
=



− + − =



3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam
giác ABC biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB
là M(3;1).
Câu V(2 điểm). Cho
, ,a b c
là 3 số thực dương thỏa mãn:
2 2 2
3
4
a b c+ + ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

2 2 2
1 1 1
8P abc
a b c
= + + +

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:………………………



ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2013– 2014

Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt
chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng.

1. Tìm m để hàm số
( )
2
1 2 2y m x mx m= − − + +
nghịch biến trên
( )
;2−∞


+Nếu 1 2 3m y x= ⇒ = − + nghịch biến trên
ℝ
. Do đó
1m = th
ỏ
a mãn
đề
bài
0.5
+ N
ế
u 1m ≠ . Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên

( )
;2−∞
khi và ch
ỉ
khi

1 0
1 2
2
1
m
m
m
m
− >


⇔ < ≤

≥

−



1.0

+ Kết luận 1 2m≤ ≤ là kết quả cần tìm.
0.5
2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2
;
x x
thỏa
mãn
1 2
2 2x x− = .

+ (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

( )
2
1 2 2 0m x mx m− − + + =
có hai nghiệm phân biệt

( )( )
2
1 0
' 1 2 0
m
m m m
− ≠


⇔

∆ = − − + >


1 2m⇔ ≠ <

0.5
+ Theo Viet ta có
1 2 1 2
2 2
;
1 1
m m
x x x x
m m
+
+ = =
− −

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
1 2
2 2x x− = , tính
đượ
c
( ) ( )

1 2
4 2 2 2
;
3 1 3 1
m m
x x
m m
− +
= =
− −


0.5
T
ừ

đ
ó thu
đượ
c:
( ) ( )
7
4 2 2 2 2
.
2
3 1 3 1 1
m
m m m
m
m m m

= −

− + +
= ⇔

=
− − −



0.5
+ Kết hợp điều kiện, kết luận 7m = − là kết quả cần tìm.
0.5
Câu2
1. Giải phương trình:
2 1
2 1
1 3
x
x
x x
+
= −
+ − −



+ Điều kiện:
1 3
1

x
x
− ≤ ≤


≠


0.5
+ Khi đó phương trình tương đương với

( )
2 1 1 3
2 1
2 2
x x x
x
x
+ + + −
= −
−

( )
2 2
2 2
2 2 2 2 3 4 6 2
4 2 3 2 2 3 12 0
x x x x x
x x x x
⇔ + + − + + = − +

⇔ − + + + − + + − =

0.5
( )
2
2
2
2 3 2
2 7
4 8 3 0
3
2
2 3
2
x x vl
x x x
x x

− + + = −
±

⇔ ⇔ − − = ⇔ =

− + + =



0.5

+ Đối chiếu điều kiện và kết luận

2 7
2
x
±
=
0.5
2. Gi
ả
i h
ệ
( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
1 2 1 3
1
x y y x x
x x y y

+ + + + =


+ + =




+ H
ệ

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( ) ( )
( )( )
2
2 3
1
xy x xy y
xy x xy y

+ + + =


+ + =




0.5
+
Đặ
t
;u xy x v xy y= + = +
, ta

đượ
c
2
2 3
1
u v
uv

+ =

=


Gi
ả
i h
ệ
thu
đượ
c
1
1
u
v
=


=

ho

ặ
c
2
1
2
u
v
= −



= −





0.5
+ Với
1
1
u
v
=


=


1

1
xy x
xy y
+ =

⇒

+ =

. Gi
ải được
1 5
2
x y
− −
= =
0.5
+ Với
2
1
2
u
v
= −



= −



2
1
2
xy x
xy y
+ = −


⇒

+ = −


. Gi
ải được
5 1
2
x y
−
= = và k
ết luận
0.5
Câu 3
1. Giải bất phương trình:
2 2
2 1 2 4 1 5
x x x x x
− + + + + ≥

+ Điều kiện 0x ≥
0.5
+Ta thấy 0x = không là nghiệm của bất phương trình, do đó bất phương trình
tương đương với:

1 1
2 1 2 4 5x x
x x
− + + + + ≥

Đặt
1
2 1, 0t x t
x
= + − >
, ta được
2
5 5t t+ + ≥



0.5
+Giải bất phương trình trên kết hợp với 0t > , ta được 2t ≥ .
0.5
+ Từ đó ta có
1
2 1 2x
x
+ − ≥

, giải bất phương trình với điều kiện 0x > , ta được

5 17
0
2
5 17
2
x
x

−
< <



+
≥


. K
ế
t lu
ậ
n.


0.5
2. Rút g
ọ
n

+ − + +
=
+ − +
x x x x
P
x x x x x
4 4 2 2
2 2 2 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
cos .cot 3cos cot 2sin


Ta có
= + − + +
A x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)


( ) ( )
 
= + − − + +
 
 
x x x x x x
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 2sin .cos 1 tan cot 2

( )
= − + −x x x x
4 4 2 2
2 sin cos 4sin .cos
( )
= − + = −x x
2
2 2
2 sin cos 2



1.0

= + − +B x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin

( ) ( )
= + − + +x x x x x
2 2 2 2 2
cos . cot 1 cot 2 sin cos


= − + =x x
x
2 2
2
1
cos . cot 2 2

sin



0.5
Vậy P=-1. 0.5
Câu 4
1.

Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN.
Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN.

+ Gọi
a
là độ dài cạnh của hình vuông và


= =MBH BCH
α



H
A
D
B
C
M
N

0.5
+ Ta có:
( )( )
= + +HN HD HB BN HC CD.
     

= +
HB CD BN HC. .
   
(vì ⊥ ⊥HB HC BN CD, )

0.5
= +HB BA BN HC. .
   

=
− +HB a BN HC. .cos . .cos
α α

0.5
=
− +BM a NB a
2 2
. .cos . .cos
α α
=0 (do BM=BN)

Do
đó
⊥HB HD
.
0.5
2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu
( ) ( )
2 2 2 2
sin 2sin .cos
0
A B C
b b a c c a
=



− + − =




+Từ
sin 2sin .cosA B C=
chỉ
ra tam giác ABC cân t
ạ
i A
1.0
+ T
ừ

( ) ( )
2 2 2 2
0b b a c c a− + − = ch
ỉ
ra tam giác ABC có góc A b
ằ
ng 60
0
.
0.5
+K
ế
t lu
ậ
n tam giác ABC
đề
u 0.5
3. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, vi
ết phương trình các cạnh của tam giác ABC

biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB
là M(3;1).


H
M
K
A
C
B

+ Viết được phương trình đường thẳng AC: x-2y+4=0 và BK: 2x+y-2=0











0.5

+ Vì
A AC∈
nên
( )
2 4;A a a−

,
B BK
∈
nên
( )
;2 2
B b b
−

T
ừ M là trung điểm của AB suy ra A(4;4), B(2;-2).
0.5
+ Viết được phương trình AB:3x-y-8=0 0.5
+ Viết được phương trình BC:3x+4y+2=0 và kết luận. 0.5
Câu 5
Cho , ,a b c là 3 số thực dương thỏa mãn:
2 2 2
3
4
a b c+ + ≤ . Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
bi
ể

u th
ứ
c:
2 2 2
1 1 1
8P abc
a b c
= + + +
1
đ
i
ể
m

+ Áp d
ụ
ng AM-GM ta có
2 2
1 4 1 4
4 4
a a a a
+ ≥ ⇒ ≥ −
T
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2
1 4 1 4
4; 4

b b c c
≥ − ≥ −
Do
đ
ó
4 4 4
8 12P abc
a b c
≥ + + + −



0.5
+ Theo AM-GM, ta có:
1 1 1
8 4
2 2 2
abc
a b c
+ + + ≥ ;
0.5
+ Ch
ứ
ng minh
đượ
c
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +

Do
đ
ó
( )
63
4
2
P
a b c
≥ +
+ +


0.5
+ Ch
ứ
ng minh
đượ
c
( )
( )
2
2 2 2
9 3
3
4 2
a b c a b c a b c+ + ≤ + + = ⇒ + + ≤
T
ừ

đ
ó suy ra MinP=25,
đạ
t
đươ
c khi
1
2
a b c= = = .

0.5