ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 12 LẦN 2 NĂM 2011

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG - NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn thi: TOÁN 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu I (5,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
2
2
2 0
( , )
1
( 3)( )
x xy y
x y
x x xy y
y


+ + =



∈


+ + = −





ℝ

2. Tìm các giá trị của tham số
m
để hệ phương trình sau có nghiệm thực
2 2
1 1
12
x y xy m
x y xy


− + − = −




+ + =




Câu II (5,0 điểm)
1. Tính tổng
0 2 1
;
1.2 2.3 .( 1) ( 1)( 2)

n n
n n n n
C C C C
S n
n n n n
−
= + + + + ∈
+ + +
ℕ
.
2. Cho dãy số thực
( )
n
u
xác định bởi
1
1
2
u
=
;
2
1
4
,( 1, )
2
n n n
n
u u u
u n n

+
+ +
= ≥ ∈
ℕ
. Đặt
2
1
1
n
n
i
i
v
u
=
=
∑
. Chứng minh dãy số
( )
n
v
có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu III (5,0 điểm)
1. Cho hàm số
f
thoả mãn
( ) ( ) 2 ( ) ( 1)( 1) 0 ,
f x f y f xy x y x y
− + − − = ∀ ∈
ℝ

. Chứng minh phương
trình
2
( ) 1
( 1)
x
e
f x
x
= +
+
có nghiệm duy nhất trên khoảng
1
;1
2
 








 
.
2. Cho
, , 0
a b c
>

thoả mãn
1
abc
=
. Chứng minh rằng
( )( )( ) 4( 1)
a b b c c a a b c
+ + + ≥ + + −
.
Câu IV (5,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ
,
Oxy
cho điểm
(1;2)
A
. Lấy điểm
B
thuộc trục
Ox
có hoành độ không
âm, lấy điểm
C
thuộc trục
Oy
có tung độ không âm, thoả mãn tam giác
ABC
vuông tại
A
. Xác

định toạ độ điểm
,
B C
sao cho
a. Diện tích tam giác
ABC
đạt giá trị lớn nhất.
b.
OB OC
+
đạt giá trị lớn nhất.
2. Cho hình chóp
.
S ABC
có
, ,
SA a SB b SC c
= = =
,



0 0 0
60 , 90 , 120
ASB BSC CSA
= = =
.
a. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC

theo
, ,
a b c
.
b. Tính góc giữa hai đường thẳng
SA
và
.
BC


Hết