Một số đề thi học sinh giỏi toán 10

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN – Lớp 10
(ngày thi: 04/01/2013)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
De1
Câu 1 ( 2 điểm ). Cho hệ phương trình :
( )
2 2
2
x y 2x 2y 2m
x y 2 4

+ − − =


+ − =


a. Giải hệ khi m=4
b. Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt
Câu 2 ( 2 điểm ).
a. Giải phương trình :
+ + = − − + +
2 2
1 3 1 2 1x x x x x
b. Tìm m để phương trình

3m 1
x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x
2
+
+ − + + − − = +

có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho
1 2
x 10 x< <

Câu 3. ( 3 điểm ). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm của
AB , E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng :
CD OE
⊥
Câu 4 ( 2 điểm ). Giải bất phương trình:
2 2
( 3 ) 2 3 2 0− − − ≥x x x x
.
Câu 5 . ( 1 điểm ). Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
1 a b c 1 b c a 1 c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
HẾT
De2

Sở GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 – Năm 2012-2013
Trường THPT Nguyễn Du Môn : Toán
Tổ Toán – Tin Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài I : ( 4.0 điểm)
Cho hàm số
2
y = mx - 2(m +1)x + m + 3

m
(P )
, m
≠
0
a) Xác định m để đồ thị
m
(P )
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt x
1
,x
2
thỏa mãn :

1 2
x - x = 2 2

b) Xác định k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

2 2
x - 4 x + k - 3k - 4 = 0

c) Xác định tập hợp tất cả các đỉnh I của
m
(P )
?
Bài II : ( 3.0 điểm )
a) Giải phương trình :
2
2x -1 + x + 3 = 4- x
b) Giải hệ phương trình :







y
x - 3y = 4
x
x
y - 3x = 4
y

Bài III: ( 3.0 điểm )
a) Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , đường phân giác trong của goc
·
BAC
cắt BC
tại D.
CMR :

(b + c)AD = bAB+ cAC
uuur uuur uuur
b) Cho tam giác ABC .Trên cạnh BC lấy các điểm A
1
,A
2
đối xứng nhau qua trung điểm
của BC . Trên cạnh AC lấy các điểm B
1
,B
2
đối xứng nhau qua trung điểm của AC . Trên
cạnh AB lấy các điểm C
1
,C
2
đối xứng nhau qua trung điểm của AB . Gọi G, G
1
,G
2
lần
lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,A
1
B
1
C
1
, A
2
B

2
C
2
CMR : G,G
1
,G
2
thẳng hàng
De3
……………….Hết ………………
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1(2,0 điểm). Giải phương trình:

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16 ( )x x x x x x R+ + + = + + + − ∈
Câu 2(2,0 điểm). Giải hệ phương trình :
( )
( )
2
2
2
2
2
3 1

2
3 2
y
y
x
x
x
y

+
=



+

=



Câu 3(1,0 điểm). Cho
3cottan =+ aa
. Tính giá trị biểu thức sau :

a
a
aa
a
a
A

2
3
2
3
cos
cot
cos.sin
1
sin
tan
+−=
Câu 4(2,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
2 2
: 2 6 6 0C x y x y+ − − + =
và điểm
( )
3;1M −
. Gọi
1
T
và
2
T
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M tới đường
tròn (C). Viết phương trình dường thẳng
1 2
T T
.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm
của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7 2 3 0x y− − =
và
6 4 0x y− − =
. Viết phương trình đường thẳng AC.
Câu 5(2,0 điểm).
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng

3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
b) Cho
, ,x y z
là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
Hết
De4

TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
 Môn: TOÁN – Năm học: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 60 Phút

Bài 1: (1.5điểm)
Tìm tập xác định của hàm số:
2
1
4
1
y x
x
= − +
−
Bài 2: (2điểm)
Giải phương trình:
3 4 3 3x x+ − − =
Bài 3: (2điểm)
Giải hệ phương trình
2 2
4
3
x y xy
x y xy
+ + =


+ =

Bài 4: (1.5điểm)

Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác, chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
2( )a b c ab ac bc+ + < + +
Bài 5: (1điểm)
Cho tam giác ABC, hãy xác định điểm M sao cho
2 0MA MB MC− + =
uuur uuur uuuur r
Bài 6: (2điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC , chứng minh rằng:
cotA + cotB + cotC =
2 2 2
.
a b c
R
abc
+ +
HT
De5
S GD&T VNH PHC

CHNH THC
K THI CHN HSG LP 10 THPT NM HC 2010-2011
THI MễN: TON
(Dnh cho hc sinh THPT khụng chuyờn)
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao .

Cõu I (4 im)
1. Cho h phng trỡnh
2 2 2

2
2 2 4
x y m
x y x y m
+ =


+ + + = +

(trong ú
m
l tham s;
x
v
y
l n)
a) Tỡm
m
h phng trỡnh trờn cú nghim.
b) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc
( )
2 2011A xy x y= + + +
.
2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr
m
phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit u ln hn
3
( )
4 2
3 1 6 2 0x m x m + + =

Cõu II (1,5 im)
Gii h phng trỡnh
2 2
1
3 3 4
x y xy
x y

+ =


+ + + =


Cõu III (1 im)
Chng minh rng nu
,x y
l cỏc s thc dng thỡ
( ) ( )
2 2
1 1 1
1
1 1
xy
x y
+
+
+ +
Cõu IV (3,5 im)
1. Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai im

( )
1;2A
v
( )
4;3B
. Tỡm ta im M
trờn trc honh sao cho gúc AMB bng
0
45
.
2. Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho tam giỏc ABC nhn vi trc tõm H. Cỏc ng
thng AH, BH, CH ln lt ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti D, E, F (D khỏc A, E khỏc
B, F khỏc C). Hóy vit phng trỡnh cnh AC ca tam giỏc ABC; bit rng
( ) ( )
6 17
2;1 , 3;4 , ;
5 5
D E F

ữ

.
3. Cho tam giỏc ABC, cú
, ,a BC b CA c AB= = =
. Gi I, p ln lt l tõm ng trũn ni tip,
na chu vi ca tam giỏc ABC. Chng minh rng
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
IA IB IC

c p a a p b b p c
+ + =

De6 Ht
Sở GD&ĐT Hải Dơng
Trờng THPT nam Sách
Đề thi học sinh giỏi
môn toán lớp 10. năm học 2012-2013
(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
Câu 1. (2 điểm) Cho phương trình:
( )
2 2
2 1 1 0x m x m− − + − =
a) Giải phương trình với
2m = −
.
b) Tìm
m
để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của
một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Câu 2. (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:
a)
4 3
16 17 1x x− + − =
b)
2 2
2 5
7
x y
x xy y

− =


+ + =

Câu 3. (1,5 điểm) Cho các tập hợp
[ ]
2
0;1 , ;2A B a
 
= =
 
a) Khi
1
2
a = −
. Hãy tìm:
C A B= ∩
.
b) Tìm
a
sao cho
A B
∩ = ∅
.
Câu 4. (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng
0
45
. Một tia
cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và

cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M.
a) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn.
b) Tính chu vi của tam giác CMP.
Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trung điểm AB, N thuộc đường thẳng AC
sao cho
4 0NA NC+ =
uuur uuur r
, P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho
4PB PC=
uuur uuur
. Chứng minh rằng
M, N, P thẳng hàng.
Câu 6. (1 điểm) Cho
, ,a b c ∈¡
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8a b b c c a a b c+ + + ≥
. Dấu
bằng xảy ra khi nào?
De7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho hàm số

2
2 3y x mx m= + −
và hàm số
2 3y x= − +
. Tìm m để đồ thị các hàm
số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình:
2
8 12 10 2x x x− + − > −
Câu 2 (2 điểm)
a)
Giải phương trình:
3 3 3
3
(4 3)
2
x x x
− + − =
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
b)
Giải phương trình:
2
2 11 23 4 1x x x− + = +
Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho điểm
(1;4)M
. Đường thẳng d qua M, d cắt trục
hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm

giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường tròn (C):
2 2
( 2) ( 3) 9x y− + + =
và điểm
(1; 2)A −
. Đường thẳng
∆
qua A,
∆
cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ
dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
2 2 2 2 2 2
AB BC CD DA AC BD+ + + = +
.
b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1
a
h b c
= +
(trong đó AB=c; AC=b; đường
cao qua A là
a
h
).

Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
3
a b b c c a
a b c
b c c a a b
a b c
− + − + −
+ + ≥ +
+ + +
+ +
De8 …………………
Hết………………….
SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT HIỆP HÒA 3
***
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN KHỐI 10
Năm học: 2011 – 2012
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu I (6 điểm)
Cho hệ phương trình
2 2 2
2
2 2 4

x y m
x y x y m
+ = −


+ + + = − +

(trong đó m là tham số; x và y là ẩn)
1. Giải hệ phương trình với m = 1.
2. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 2012A xy x y= + + +
, (x, y là
nghiệm của hệ phương trình đã cho).
Câu II (6 điểm)
1. Giải bất phương trình:
( )
2 2
3 4 9x x x
− + ≤ −
2. Giải phương trình:
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
Câu III (6 điểm)
1. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm xác định bởi:
2 3 0IA IB IC
+ + =

uur uur uur uur
. Gọi M, N là hai
điểm phân biệt thoả mãn:
2 3MN MA MB MC
= + +
uuuur uuur uuur uuur
. Chứng minh M, N luôn đi qua một
điểm cố định.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = 0. Hai điểm B và
C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5. Tìm B và C sao cho chu vi tam giác
ABC là nhỏ nhất.
Câu IV (2 điểm)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
1 a b c 1 b c a 1 c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
Hết
De9
TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1. (1 điểm)
Cho hàm số
2
4 3y x x= − +
có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Dựa
vào đồ thị, tìm m để phương trình:
2

4 3 2 1x x m− + = +
có đúng 2 nghiệm.
Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =
có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn:
1 2
2 1x x+ =
.
Câu3. (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
7 2 5
2 1
x y x y
x y x y

+ + + =


+ + − =


2) Giaûi phöông trình:
9( 4 1 3 2) 3x x x+ − − = +
3)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
4 4

1 1x x x x m+ + − + − =
.
Câu 4. (4điểm)
1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + +
. Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, tìm vị trí của M để
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt giá trị bé nhất.
2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M
(1; 1)−
và hai đường thẳng
1
: 1 0d x y− − =
,
ĐỀ CHÍNH THỨC

2
: 2 5 0d x y+ − =
. Gọi A là giao điểm của
1
d
và
2
d
.
a. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên

1
d
, đi qua điểm M và tiếp xúc với
2
d
.
b. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm M cắt
1
d
,
2
d
lần lượt ở B và C sao
cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC
=
3AB.
3) Trong hệ trục Oxy cho ∆ABC có
( )
2; 1 ,B −
đường cao hạ từ A và phân giác góc C lần lượt
có phương trình
3 4 27 0 x y− + =
và 2 5 0x y+ − =
. Tìm tọa độ điểm A và điểm C. Phân
giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài?
Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn

3a b c+ + =
.Chứng minh rằng:
3 3 3
3
2
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
De10
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2 2
1 1 2x x x x+ + + − + =

( )
x ∈¡
.
2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn
x
(
m

là tham số):
( ) ( )
2
2 3
2 1 1 0x m x m m− − − + + =
có
hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
4x x+ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức sau:
( )
3 3
1 2 1 2 1 2
3 3 8P x x x x x x= + + + +
.
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
1
( , )
(2 1) 1
x x y xy xy y
x y
x y xy x


+ − + − =

∈

+ − − =


¡
.
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho
,x y
là hai số thực dương thoả mãn điều kiện
(
)
(
)
2 2
1 1 2012x x y y+ + + + =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của
P x y= +
.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối
xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng
tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng
OA OB OC OH+ + =
uuur uuur uuur uuur
và ba điểm O, H, L thẳng hàng.

2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
·
·
·
·
MAB MBC MCD MDA
ϕ
= = = =
. Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
cot
2 . .sin
AB BC CD DA
AC BD
ϕ
α
+ + +
=
,
trong đó
α
là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các
điểm
( )
7 5 13 5
1; 5 , ; , ;
2 2 2 2
M N P

   
− −
 ÷  ÷
   
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác
ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm
( )
1; 1Q −
và điểm A
có hoành độ dương.
—Hết—