Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2012 - 2013 môn Toán lớp 12 Bổ túc THPT (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN - BT THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (5,0 điểm).
1. Cho hàm số
4 2
y x mx m= − +
, với
m
là tham số.
Tìm các giá trị của
m
để hàm số có ba điểm cực trị.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
f x x 1 x
= −
trên đoạn
[ ]
0;1
.
Câu II (5,0 điểm).
1. Giải bất phương trình
( )
2
2x 5x 3 x 1 x− + ≥ − ∈¡
.

2. Giải hệ phương trình
( )
2 2
x y 4xy 3
x,y
x y xy 1

+ − = −
∈

+ − =

¡
.
Câu III (5,0 điểm).
1. Tìm hệ số của
15
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
5
2
1
x , x 0
x
 
+ ≠
 ÷
 
.

Biết
0 1 n 1 n
n n n n
C C C C 1024
−
+ + + + =
(với
*
n ∈¥
,
k
n
C
là số các tổ hợp chập
k
của
n
)
2. Giải phương trình :
( ) ( )
2sin x 1 sin x 2cosx sin 2x cosx− + = −
.
Câu IV (5,0 điểm).
Cho hình chóp
S.ABC
có đường cao
SA
, đáy là tam giác vuông tại
B
. Gọi

B'
là hình
chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
SB
. Qua điểm
B'
kẻ đường thẳng song song
với đường thẳng
BC
cắt
SC
tại
C'
.
1. Chứng minh rằng:
SB
vuông góc với mặt phẳng
( )
AB'C'
.
2. Tính theo
a
thể tích khối chóp
S.AB'C'
, biết
SA AB a= =
và
=BC 2a

.
- - Hết - -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - BT THPT
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu Nội dung Điểm
I.
1,
(2,5đ)
TXĐ:
D
=
¡
Ta có
3
y' 4x 2mx= −
0,5
( )
3 2
y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0
= ⇔ − = ⇔ − =
0,5
( )
2
x 0
2x m 0 1

=

⇔

− =

0,5
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
( )
1
có hai nghiệm
phân biệt khác
0
0,5
m 0
m 0
m 0
>

⇔ ⇔ >

− ≠

. Vậy giá trị cần tìm là:
m 0>
0,5
I.
2,
(2,5đ)
Hàm số

( )
2
f x x 1 x
= −
liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
Ta có
( )
2 2
2
2 2
x 1 2x
f ' x 1 x
1 x 1 x
−
= − − =
− −
0,5
( )
2
2
2
1 2x
f ' x 0 0 1 2x 0
1 x
−
= ⇔ = ⇔ − =
−
0,5

( )
( )
2
x 0;1
2
2
x 0;1
2

= ∈


⇔

= − ∉


0,5
Ta có
( ) ( )
2 1
f 0 0, f 1 0, f
2 2
 
= = =
 ÷
 
0,5
Vậy
[ ]

( ) ( ) ( )
0;1
Minf x f 0 f 1 0= = =
,
[ ]
( )
0;1
2 1
Maxf x f
2 2
 
= =
 ÷
 

0,5
II.
1,
(2,5đ)
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( )
2
2
2
x 1 0
1
2x 5x 3 0
x 1 0

2
2x 5x 3 x 1
 − ≤


− + ≥



− >





− + ≥ −



0,5
2
B’
B
A
C
C’
S
Hệ BPT
( )
x 1

x 1
1 x 1
3
x
2
≤



≤

⇔ ⇔ ≤




≥



0,5
Hệ BPT
( )
2
x 1
2
x 3x 2 0
>

⇔


− + ≥

0,5
x 1
x 2
x 1
x 2
>


⇔ ⇔ ≥
≤




≥


0,5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
(
] [
)
S ;1 2;= −∞ ∪ + ∞
0,5
II.
2,
(2,5đ)

Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
2
x y 6xy 3
x y xy 1

+ − = −


+ − =


0,5
( )
2
x y 6xy 3 0
xy x y 1

+ − + =

⇔

= + −


0,5
( ) ( )
2
x y 3
x y 6 x y 9 0

xy 2
xy x y 1

+ =

+ − + + =

⇔ ⇔
 
=
= + −



0,5

x 1
y 2
x 2
y 1
 =



=


⇔

=




=



0,5
Vậy nghiệm
( )
x; y
của hệ phương trình đã cho là:
( ) ( )
1; 2 , 2;1
0,5
III.
1,
(2,5đ)
Ta có
( )
n
0 1 n 1 n
n n n n
1 1 C C C C
−
+ = + + + +
0 1 n 1 n n
n n n n
C C C C 2
−

⇔ + + + + =
0,5
Từ giả thiết ta suy ra
n n 10
2 1024 2 2 n 10= ⇔ = ⇔ =
0,5
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của
10
5
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
là
( )
2 10 k
k 5k k 7k 20
10 10
C .x .x C .x
− −
−
=
0,5
Suy ra
15
x

ứng với
7k 20 15 k 5− = ⇔ =
0,5
Vậy hệ số của
15
x
là
5
10
C 252=
0,5
III.
2,
(2,5đ)
PT
( ) ( )
2sin x 1 sinx+2cosx 2sin xcosx cosx⇔ − = −
0,5
( ) ( ) ( )
2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0⇔ − − − =
0,5
( ) ( )
2sin x 1 0 (1)
2sin x 1 sinx+cosx 0
sinx+cosx =0 (2)
− =

⇔ − = ⇔



0,5
3
( ) ( )
x k2
1
6
PT 1 sinx = k
5
2
x k2
6
π

= + π

⇔ ⇔ ∈

π

= + π


¢
0,5
( ) ( )
PT 2 2 sin x + 0 x + k x= k k
4 4 4
π π π
 
⇔ = ⇔ = π ⇔ − + π ∈

 ÷
 
¢
Vậy nghiệm của phương trình là
( )
5
x k2 , x k2 , x k k
6 6 4
π π π
= + π = + π = − + π ∈¢
0,5
IV.
1,
(2,5đ)
Ta có
( )
SA ABC SA BC (1)⊥ ⇒ ⊥
Mặt khác
BC AB (2)⊥
0,5
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
( )
BC SAB⊥
0,5

Do đó
( )
BC SB B'C' SB 3⊥ ⇒ ⊥
(vì
B'C'// BC
)
0,5
Theo giả thiết ta có
SB AB' (4)⊥
0,5
Từ
( )
3
và
( )
4
suy ra
( )
SB AB'C'⊥
0,5
IV.
2,
(2,5đ)
Ta thấy tam giác
SAB
cân tại
A
suy ra
B'
là trung điểm của

SB
, do đó
1
SB' SB
2
=

0,5
2 2
a 2
SB SA AB a 2 SB'
2
= + = ⇒ =
Vì
SAB∆
vuông tại
A
nên ta có
a 2
AB' SB'
2
= =
0,5
Do
( ) ( )
BC SAB B'C' SAB B'C' AB'⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,5
Ta có
B'C'
là đường trung bình của tam giác

SBC
suy ra
1
B'C' BC a
2
= =
0,5
Thể tích của khối chóp
S.AB'C'
là
3
1 a
V SB'.AB'.B'C'
6 12
= =
.
0,5
Hết
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
4