ĐỀ THI CUỐI kì TOÁN CAO cấp a1 ĐHCT

1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂ N A1
HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2014 - 2015
Ngày thi: 23/11/2014
Thời gian làm bài: 120 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 09 câu
1
được in trên 02 trang
2
)
Câu 1. Tính các gới hạn sau
(a) lim
x→1
1
x − 1

1
x + 3
−
2
3x + 5

.
(b) lim
x→+∞

(e
3x
− 5x)
1
x
.
Câu 2. Định lý sau đây được gọi là định lý Giá trị trung gian đối với hàm số
liên tục: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và nếu y
0
là g iá trị
tùy ý giữa f (a) và f (b) thì y
0
= f(c) với c thu ộc đoạn [a, b]. Áp dụng định
lý này, chứng minh rằng hàm số f(x) = (x − a)
2
.(x − b)
2
+ x nhận giá trị
a + b
2
với x nào đó.
Câu 3. Nước đang chảy vào một bể chứa hình nón với tốc độ 9f t
3
mỗi phút (Hình
1). Bể chứa có đỉnh hướng xuống với chiều cao 10 ft và bán kính mặt là
5ft. Mực nước trong bể đang tăng ở tốc độ nào khi nó đang là 6ft?
Câu 4. Hãy tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông
cân với cạnh huyền 2 đơn vị (Hình 2).
Hình 1.
Hình 2.

1
Thông báo. Đáp án sẽ được công bố trên website Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên trong buổi
chiều ng ày 24 .11.2014.
2
Thầy sẽ công bố điểm lúc 12 giờ ng ày 01.12.201 4. Phúc khảo (Chỉ phúc khảo trực tiếp) từ 7 giờ 30
phút đến 11 giờ ngày 02.12. 2014 tại văn phòng bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên. Sa u thời
gian này, mọi thắc mắc về điểm số đều không được giải quyết.
2
Câu 5. Cho hàm số g(x) =
x

0
t
2
+ 2t + 3
1 + t
2014
dt và f(x) = e
g(x)
. Tính giá trị của f

(0).
Câu 6. Tính tích phân suy rộng I =
+∞

3
dx
(x − 2)
3
.

Câu 7. Một cái nêm được cắt ra từ hình trụ đứng bán kính 3 mét bởi hai mặt
phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông gó c với trục của hình tr ụ. Mặt phẳng
thứ ha i tạo với mặ t phẳng thứ nhất một góc 45
0
tại trục của hình trụ
(Hình 3). Dùng tích phân xác định tính thể tích của cái nêm đó.
Hình 3.
Câu 8. Tính tổng của chuỗi số
∞

n=1

arccos

1
n + 1

− arccos

1
n + 2

bằng cách
tính giới hạn của dãy các tổng riêng.
Câu 9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞

n=0
(−1)
n

x
n
2n + 1
.
Cán bộ ra đề
LÊ HOÀI NHÂN
3
ĐÁP ÁN
Môn: Vi tích phân A1
Học kỳ I - năm học 2014 - 2015
CBGD: LÊ HOÀI NHÂN
Câu 1. (a)
lim
x→1
1
x − 1

1
x + 3
−
2
3x + 5

= lim
x→1
x − 1
(x − 1)(x + 3)(3x + 5)
= lim
x→1
1

(x + 3)(3x + 5)
=
1
32
.
(b)
lim
x→+∞
(e
3x
− 5x)
1
x
có dạng vô định ∞
0
= e
lim
x→+∞
ln(e
3x
−5x)
x
Ta có,
lim
x→+∞
ln(e
3x
− 5x)
x
dạng

∞
∞
, Qui tắc L’Hospital
= lim
x→+∞
3e
3x
− 5
e
3x
− 5x
dạng
∞
∞
, Qui tắc L’Hospital
= lim
x→+∞
9e
3x
3e
3x
− 5
dạng
∞
∞
, Qui tắc L’Hospital
= lim
x→+∞
27e
3x

9e
3x
= 3
Vậy lim
x→+∞
(e
3x
− 5x)
1
x
= e
3
Câu 2. • Nhận xét rằng hà m số f(x) = (x −a)
2
.(x −b)
2
+ x là hàm đa thức bậc
4 nên nó liên tục trên đoạn [a, b]. Dễ thấy f(a) = a và f(b) = b.
• Ta có y
0
=
a + b
2
nằm giữa a và b. Theo định lý gi á trị trung gian thì
y
0
= f (c) với c ∈ [a, b] (đpcm).
Câu 3. • Theo hình 1 ta có, x(t), y(t) lần lượt là bán kính mặt nước và chiều
cao của khối nước trong bể. Theo tính chất đồng dạng của tam giác
ta có

y(t)
x(t)
=
10
5
= 2 =⇒ x(t) =
y(t)
2
4
• Thể tích của khối nước trong bể là
V (t) =
1
3
π[x(t)]
2
.y(t) =
1
12
π[y(t)]
3
(1)
• Tại t = t
0
ta có V

(t
0
) = 9 và h(t
0
) = 6. Ta cần tính y


(t
0
).
• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t và cho t = t
0
ta được
V

(t
0
) =
1
4
π[y(t
0
)]
2
.y

(t
0
) =⇒ y

(t
0
) =
1
π
• Vậy mực nước trong hồ tăng với tốc độ

1
π
feet mỗi phút.
Câu 4. • Từ hình 2, ta có đường phẳng A B có phương trình là y = 1 − x. Do
đó, điểm P có tọa độ (x, 1 −x), x ∈ (0, 1).
• Ta có, các kích thước của hình chữ nhật là 2x và 1 − x. Suy ra diện
tích của hình chữ nhật S(x) = 2x(1 − x).
• Ta tìm GTLN của S(x ) với x ∈ (0, 1).
S

(x) = 2 − 4x = 0 ⇐⇒ x =
1
2
.
S

(x) = −4 < 0, ∀x. Do đó, S(x) đạt GTLN tại x =
1
2
và
max
x∈(0,1)
S(x) = S

1
2

=
1
2

• Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông
cân với cạnh huyền 2 đơn vị là
1
2
.
Câu 5. • Theo công thức của đạo hàm hàm hợp ta có
f

(x) = e
g(x)
.g

(x) =⇒ f

(0) = e
g(0)
.g

(0)
• g(0) =
0

0
t
2
+ 2t + 3
1 + t
2014
dt = 0.
• Theo định lý cơ bản của phép tính tích phân ta có

g

(x) =
d
dx
x

0
t
2
+ 2t + 3
1 + t
2014
dt =
x
2
+ 2x + 3
1 + x
2014
=⇒ g

(0) = 3
• Vậy f

(0) = 3.
5
Câu 6. • Với b ≥ 3, đặt F (b ) =
b

3

dx
(x − 2)
3
. Suy ra,
F (b) = −
1
2(x − 2)
2




b
3
= −
1
2

1
(b − 2)
2
− 1

.
• Ta có, I = lim
b→+∞
F (b) =
1
2
.

Câu 7. • Theo hình 3, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước
là x và 2
√
9 − x
2
. Thiết diện này có diện tích là
S(x) = 2x

9 − x
2
, x ∈ [0, 3].
• Thể tích của cái nêm là
V =
3

0
S(x)dx =
3

0
2x

9 − x
2
dx.
• Đặt t =
√
9 − x
2

. Suy ra, V =
3

0
2t
2
dt = 18.
Câu 8. • Tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là
S
n
=
n

k=1

arccos

1
k + 1

− arccos

1
k + 2

=

arccos

1

2

− arccos

1
3

+

arccos

1
3

− arccos

1
4

+
+ . . . +

arccos

1
n + 1

− arccos

1

n + 2

= arccos

1
2

− arccos

1
n + 2

=
π
3
− arccos

1
n + 2

• Suy ra
∞

n=1

arccos

1
n + 1


− arccos

1
n + 2

= lim
n→∞
S
n
=
π
3
−
π
2
= −
π
6
6
Câu 9. • Chuỗi đã cho có số hạng tổng quát a
n
=
(−1)
n
2n + 1
. Suy ra
l = lim
n→∞





a
n+1
a
n




= 1.
Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi là r = 1 và khoảng hội tụ của nó là
(−1, 1).
• Với x = 1 ta có chuỗi
∞

n=0
(−1)
n
2n + 1
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz.
• Với x = −1 ta có chuỗi
∞

n=0
1
2n + 1
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh
(so sánh với chuỗi điều hòa).
• Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là (−1, 1].