Đề thi số 3 môn toán cao cấp A1 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (180.37 KB, 20 trang )
ĐỀ SỐ 3
Câu I. Giải phương trình
' 2
2
x
y y x e
x
− =
.
Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1
[ ]
Cex
Cdxeexe
Cdxeexey
x
xxx
dx
x
x
dx
x
+=
+=
+
∫∫
=
∫
∫
−
−
.
2
ln22ln2
2
2
2
Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử
+−=
+−=
)2(3)('
)1(35)('
212
2
211
xxtx
exxtx
t
Lấy pt (1) + pt (2)
t
exxx
2
1
'
2
1
'
4 +=+
(*)
Đạo hàm 2 vế pt (2) ta được:
"
2
'
2
'
1
3 xxx
−=
Thay vào pt (*)
( )
t
exxxxx
2'
22
'
2
"
2
'
2
343 +−=+−
ttt
t
xeeCeCx
exxx
22
2
6
12
2
2
'
2
"
2
2
1
128
++=⇒
=−+−⇔
Thay vào pt (2) ta được:
tttt
xeeeCeCx
22
2
6
11
2
7
+++=
Câu III. Tính giới hạn
0
1 tan 1 tan
lim
x
x x
x
→
+ − −
.
0
1 tan 1 tan
lim
x
x x
x
→
+ − −
( )
1
2.
tan2
tan1tan1
tan1tan1tan1tan1
limlimlim
000
==
−++
+−+
=
−−+
=
→→→
x
x
xxx
xx
x
xx
xxx
Câu IV. Tính tích phân
1/ 4
1/ 2
2 1
dx
I
x x
−
−
=
∫
+
.
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
y e q x e dx C
−
∫ ∫
⇒ = +
∫
Đặt
1212
2
+=⇒+= xtxt
dxtdt
=⇔
x
2
1−
4
1−
t 0
2
1
[ ]
( )
2
1
1
2
1
1
ln
)1)(1(
)1()1(
)1)(1(
2
1
2
.
2
1
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
2
1
0
2
1ln1ln
+
−
==
+−
−−+
=
+−
=
−
=
−
=⇒
∫
+−−
∫ ∫∫∫
tt
tt
dttt
tt
dt
t
dt
t
t
tdt
I
Câu V. Tính tích phân suy rộng
2
2
ln
dx
I
x x
+∞
=
∫
.
2ln
1
ln
1
2ln
1
ln
)(ln
lim
ln
1
2
2
2
=−===
+∞→
+∞
∞+
−
∫
x
x
xd
x
x
Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
ln 1y x x= − +
.
Tập xd: x>0
( )
−∞=+−
+
→
1ln
lim
0
xx
x
=> tiệm cận đứng x=0
( )
−∞=+−
+∞→
1ln
lim
xx
x
=> không có tiệm cận ngang
10'
1
1
1
'
=⇔=⇒
−
=−=
xy
x
x
x
y
Bảng biến thên:
x 0 1 +∞
y’ + ─
y 0
-∞ -∞
0
1
"
2
<−=
x
y
=> đồ thị không có điểm uốn
Bảng giá trị:
x 0.5 2
y
2
1
2
1
ln +
12ln −
Đồ thị:
Câu VII. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2
2
1
;
2 1
x
y y
x
= =
+
.
Pt hoành độ giao điểm:
2
2
1
1
2
x
x
+
=
1
02
24
±=⇔
=−+⇔
x
xx
Diện tích miền phẳng:
∫
−
−
+
=
1
1
2
2
2
1
1
dx
x
x
S
D
Vì
2
2
x
y =
và
2
1
1
x
y
+
=
không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên:
3
1
2
3
2
1
1
6
)arctan(
1
1
1
1
2
2
−==
−
+
=
−
∫
−
−
π
x
x
dx
x
x
S
D
ĐỀ SỐ 5
Câu I. Giải phương trình y’ =
sin
y
x x
x
+
với điều kiện y(
π
)= 2
π
.
Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1:
+
∫∫
=⇒
∫
−
Cdxexqey
dxxpdxxp )()(
)(
( )
CxxCxxy
Cdx
x
xxey
Cdxexxey
x
dx
x
dx
x
+−=+−=
+=
+
∫∫
=
∫
∫
−
cos)cos.(
1
.sin
sin
ln
11
Ta có:
ππ
2)( =y
π
ππ
4
22
=⇔
=+−⇔
C
C
Vậy nghiệm của pt là:
π
4cos +−= xxy
Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử
'
1 1 2
'
2 1 2
( ) 3 2
( ) 2 3
t
x t x x e
x t x x t
= + +
= + +
++=
++=
txxtx
exxtx
t
32)(
23)(
21
'
2
21
'
1
)2(
)1(
=
21
23
A
=
t
e
F
t
3
Phương trình đặc trưng:
=
=
⇔
=+−⇔
=−−−⇔
=
−
−
⇔
=−
4
1
045
02)2)(3(
0
21
23
0
2
λ
λ
λλ
λλ
λ
λ
λ
IA
E
1
:
0
11
22
2
1
=
x
x
−
=⇒
1
1
1
E
=
1
2
4
E
−
=
11
21
P
−
=
−−
−
−
=
−
11
21
3
1
11
21
3
1
1
P
=
40
01
D
Đặt Y = P
-1
X
FPDYY
1' −
+=⇒
−
+
=
t
e
y
y
y
y
t
3
11
21
3
1
40
01
2
1
'
2
'
1
++=
+−=
⇔
t
e
yy
teyy
t
t
3
4
2
3
1
2
'
2
1
'
1
+−
−
=
+−−−=
+
+=
+
−=
+
∫
+
∫
=
+
∫
−
∫
=
⇒
−−
−−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
2
33
4
2
11
2
3
3
4
2
11
2
44
2
11
9
2
3
3
22
3
3
12
3
3
2
C
ete
ey
C
t
eteey
Cdt
e
te
ey
Cdt
e
t
ey
Cdtet
e
ey
Cdte
e
tey
tt
t
ttt
t
t
t
t
t
dt
t
dt
dt
t
dt
Vậy nghiệm của pt là X=PY
Câu III. Tính
1
0
(1 )
lim
x
x
e x
L
x
→
− +
=
.
2
2
1 1
ln(1 )
0 0
1
1
( )
2
1
2
2
0 0 0
(1 )
1
2
1 2
lim lim
lim lim lim
x
x x
x x
x
x
x
x o x
x
x x x
e x e e
x x
e
e e e e e
x x
+
→ →
−
− +
÷
−
÷
→ → →
− + −
=
− −
= = == =
Câu IV. Tính tích phân
2
2
1
3 2 1
dx
I
x x x
=
∫
− −
.
Đặt
x
t
1
=
dt
t
dx
t
x
2
11 −
=⇔=⇒
x 1 2
y
1
2
1
( )
4
1
arcsin
2
12
32
1
1
23
1
.
2
1
arcsin
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
−==
+−
=
+−−
=
−−
−
=
+
∫ ∫∫
π
t
t
dt
tt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
I
Câu V. Chứng minh rằng tích phân suy rộng
∫
∞
1
x
dxe
x
phân kì. Tính
1
lim
x
t
x
x
e dt
t
J
e
→∞
=
∫
.
Ta có:
xx
e
x
1
>
>0
1>∀x
Mà
∫
∞
1
x
dx
phân kì nên
∫
∞
1
x
dxe
x
phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 1
0
limlim
1
===
∞→∞→
∫
x
x
x
x
x
t
x
e
x
e
e
dt
t
e
J
Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
4x x
y e
−
=
.
TXĐ: R
20'
)42('
2
4
=⇔=⇒
+−=
−
xy
exy
xx
=
=
−
−∞→
−
+∞→
0
0
2
2
4
4
lim
lim
xx
x
xx
x
e
e
=> tiệm cận ngang là y=0
Tiệm cận xiên:
∞=
+−
==
−
∞→
−
∞→∞→
1
)42()(
22
44
limlimlim
xx
x
xx
xx
ex
x
e
x
xf
=> không có tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
x -∞ 2 +∞
y + 0 ─
y’
4
e
0 0
Bảng giá trị:
x 1 3
y e
3
e
3
Câu VII. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2 2
3 ; 4y x y x= = −
.
Phương trình hoành độ giao điểm:
22
43 xx −=
1
43
24
±=⇔
−=⇔
x
xx
Diện tích miền phẳng cần tìm:
dxxxS
D
∫
−
−−=
1
1
22
34
Vì
2
3xy =
và
2
4 xy −=
không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên ta có:
1
1 1
2 2 2
1 1
1
1
2
1
3
4 3 4
2 3
4
3
3
3
D
S x x dx x dx
x dx
x
− −
−
−
= − − = − −
= − −
∫ ∫
∫
1
2
1
4J x dx
−
= −
∫
Đặt x = 2sint
( )
( )
3
3
2
2cos22cos4
cos2
2sin2
6
6
6
6
1sin
1sin
2
+==+==
=⇒
+
∫∫
−
−
−
π
π
π
π
π
tt
dtttdtJ
tdtdx
Vậy
3
3
3
2
+=
π
D
S
ĐỀ SỐ 7
Câu I. Giải phương trình
a/ y’=
x
y
+3xe
x
Đây là pt tuyến tính cấp 1:
Cexy
Cdx
x
xexy
Cdxexeey
x
x
dx
x
x
dx
x
+=⇔
+=⇔
+
∫∫
=⇒
∫
∫
−
3
1
3
3
11
b/(3x
2
+y
3
+4x)dx+3xy
2
dy=0.
Ta có:
2
3y
y
P
x
Q
=
∂
∂
=
∂
∂
Đây là pt vi phân toàn phần:
nghiệm tổng quát u(x,y) = C
233
0
0
32
2
233
)43(),(
2
xxyxdxxyxyxu
xxyx
x
x
++==++=
++
∫
Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử
' 2
1 1 2
' 3
2 1 2
( ) 4 3 (1)
( ) 2 (2)
t
x t x x t t
x t x x e
= − + +
= − +
4 3
2 1
A
−
=
÷
−
2
3t
t t
F
e
+
=
÷
Pt đặc trưng:
( ) ( )
2
0
4 3
0
2 1
4 1 6 0
3 2 0
2
1
A I
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
− =
− −
⇔ =
− −
⇔ − − − + =
⇔ − + =
=
⇔
=
E
1
:
1
2
3 3
0
2 2
x
x
−
=
÷
÷
−
1
1
1
E
⇒ =
÷
E
2
:
1
2
2 3
0
2 3
x
x
−
=
÷
÷
−
2
3
2
E
⇔ =
÷
1
1 3 2 3 2 3
1 2 1 1 1 1
P P
−
− −
= ⇒ = − =
÷ ÷ ÷
− −
1 0
0 2
D
=
÷
Đặt Y = P
-1
X
=> Y’=DY + P
-1
F
'
2
1
1
'
3
2
2
1 0 2 3
0 2 1 1
t
y
y
t t
y
y
e
−
+
= +
÷
÷
÷
÷ ÷
−
' 2 3
1 1
' 2 3
2 2
2( ) 3
t
t
y y t t e
y y t t e
= − + +
= + + −
3 2
1 1
2 3
2 2
3 2( )
t t t
t t t
y e e t t e dt C
y e t t e e dt C
−
−
= − + +
= + − +
∫
∫
Nghiệm là X=PY
Câu III. Tính giới hạn
x
x
x
e
x
/1
4
/1
0
)41(
lim
+
>−
.
( )
( )
1
4
0
1
1
1
lim ln 1 4 ln
4
0
1 4
lim
x
x
x
x e
x
x
x
x
e
e
→
+ −
→
+
=
Mũ
( ) ( )
2 2
0
1 1 1
lim 4 16 4
2
x
x x o x
x x
→
= − + −
÷
( )
( )
0
1
lim 8 0 8
x
x x
x
→
= − + = −
Câu IV. Tính tích phân
0
3
2
( 1) 1
dx
I
x x
−
=
∫
+ +
.
Đặt
11
3
3
+=⇒+= xtxt
dxdtt =⇒
2
3
x 0 -2
t 1 -1
6
.
3
3
1
1
1
1
3
2
−===
−
∫
−
−
t
tt
dtt
I
Câu V. Tính tích phân suy rộng sau
∫
∞
++
−
1
2
2
)1)(1(
3
xxx
x
.
2
2 2 2
3 3 1 2 2
( 1)( 1) 1 1 1 1
x A B Cx D x
x x x x x x x x x
− + − +
= + + = + +
+ + + + + +
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1
2 2
1
1
1
1
1
3 3 1 2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
2
3
2
3
3
ln 4 ln 4
4 4
3ln ln 1
1
ln ln 1 2arctan
1 1
ln 2arctan
x x
I dx
x x x
x x x
x
dx
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
π π
π
+∞ +∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
− − +
= = + +
÷
+ +
+ +
= + +
÷
+ +
= +
=
= − + − = −
∫ ∫
− + +
∫
+
+ +
+ +
+
Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
| | 1y x x
= −
.
Tập xác định: -1<x<1
Ta có:
( ) ( )
2
( ) 1y x x x y x− = − − − =
=> y là hàm chẵn. => đồ thị đối xứng qua Oy
Xét 0<x<1:
2
1y x x= −
2
2
2
2
' 1
1
1 2
1
1
' 0
2
x
y x x
x
x
x
y x
−
= − +
÷
−
−
=
−
⇒ = ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
x
0
1
2
1
y’ + ─
y
1
2
0 0
Câu VII. Tính độ dài cung
2
ln
,1 3
2 4
x x
y x= − ≤ ≤
.
1
'
4
y x
x
= −
Độ dài cung
)
C
:
( )
3
2
1
2
3 3
4 2
2
1 1
3 3
4 2 2
2
1 1
3
3 3
2
1 1
1
1 '
1 16 8 1
1 1
4 16
16 8 1 4 1
16 4
2
4 1 1 1
4 ln 3
4 4 4
1
ln
2 4
L y
x x
x
x x
x x x
dx
x x
x
dx x dx
x x
x
x
= +
− +
= + − = +
÷
+ + +
= =
+
= = + = = +
÷
∫
∫ ∫
∫ ∫
+
∫ ∫
÷
ĐỀ SỐ 9
Câu I. Giải các phương trình
a/
0
2
2
3
=− dyxdx
y
, y(4)=2
Chia 2 vế cho y
3
x
2
ta được:
2 3
2 3
0
2
2
dx dy
x y
dx dy
x y
− =
⇔ =
Tích phân 2 vế ta được:
2 3
2
2
2
1 1
3 2
2 3
dx dy
x y
C y x C
x y
=
−
⇔ + = ⇔ − =
∫ ∫
Theo đề bài ta có: 3.4-2.2=C
⇔
C = 8
Vậy nghiệm của pt là:
2
3 2 8 0y x− − =
b/
4
4
' cos
y
y x x
x
− =
.
Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1:
( )
4 4
4
4
4 4
cos .
cos
.sin
dx dx
x x
y e x x e dx C
x xdx C
x x Cx
−
∫ ∫
= +
= +
= +
∫
∫
Câu II. Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e
3x
Phương trình đặc trưng:
2
1
2 3 0
3
k
k k
k
=
+ − = ⇔
= −
3
0 1 2
x x
y C e C e
−
⇒ = +
. ( )
s x
r n
y x e Q x
α
=
Vì α = 3 không là nghiệm của pt nên s = 0
( )
( )
( )
3
' 3 3
" 3 3
3
9 6
x
r
x x
r
x x
r
y e Ax B
y e Ax B Ae
y e Ax B Ae
⇒ = +
= + +
= + +
Thế vào pt ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
9 6 2 3 3 6 1
x x x x x x
e Ax B Ae e Ax B Ae e Ax B x e
+ + + + + − + = +
1
2
1
2
A
B
=
⇒
−
=
Vậy nghiệm của pt là:
0
3 3
1 2
1 1
2 2
r
x x x
y y y
y C e C e e x
= +
⇔ = + + −
÷
Câu III Tính giới hạn
1 2 4
3 7
( 1) .( 2) .( 4)
lim
( 5)
x x x
x
x
x x x
x
+ + +
+
→+∞
+ + +
+
.
1 2 4
1 2 4
lim . .
5 5 5
x x x
x
x x x
x x x
+ + +
→∞
+ + +
=
÷ ÷ ÷
+ + +
5 4 5 3 5 1
5 5 5
4 3
4 3 1 8
4 3 1
lim 1 1 1
5 5 5
4 3 1
1 1 1
5 5 5
lim
1
4 3
1
1 1
5
5 5
x x x
x
x x x
x
x x x
x x x
x
x x
e e e e
+ − + − + −
→∞
+ + +
→∞
− − − −
= − − −
÷ ÷ ÷
+ + +
− − −
÷ ÷ ÷
+ + +
=
−
− −
÷
÷ ÷
+
+ +
= =
Câu IV. Tính tích phân:
( ) ( )
2
1
1 2
dx
I
x x
=
− −
∫
( ) ( )
2 2
cos 2sin
2sin cos 4cos sin sin 2
x t t
dx t t t t d t t dt
= +
⇒ = − + =
( ) ( )
2 2
2
2 2
0
0 0
sin 2
2
sin cos
2
tdx
I dx
t t
x
π π
π
π
= = = =
∫ ∫
Câu V. Tính tích phân suy rộng
2
4
80
1
1
I dx
x x
∞
=
× +
∫
.
Đặt
2 4 2
4
1 1t x t x= + ⇒ = +
3
2 4xdx t dt⇔ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2
2 2
4 2 2
3 3 3
3
3
3
3
2 2 1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1 1
arctan 3
2 1 1 2
arctan 3
2
1 1
ln arctan3
2 2 2
arctan
1 1
ln
2 1
t dt t dt
I dx
t t
t t t t
dt
t t
dt
t t
t
t
t
π
π
π
+∞ +∞ +∞
+∞
+∞
+∞
+∞
= = = +
÷
− +
− − +
= +
− +
= − + −
÷
− +
= + −
= + −
∫ ∫ ∫
∫
∫
−
÷
+
Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
3
1y x= −
.
TXĐ: R
( )
2
2 3
3
1
' 3 1
3
' 0
y x x
y
−
= − −
⇒ ≤
3 3
3 3
lim 1
lim 1
x
x
x
x
→+∞
→−∞
− = −∞
⇒
− = +∞
không có tiệm cận ngang
Tiệm cận xiên:
( )
(
)
( )
3 3
3 3
2
3 3 3 2
3
2
3 3
3 6 3
1
lim lim 1
lim lim 1
1
lim
1 1
1
0
2 1 1
1 1 1
x x
x x
x
f x
a
x x
b f x x x
x x x x
x
x x x
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
−
= = = −
= + = − +
=
− − − +
= =
− + − − +
Vậy tiệm cận xiên là y = -x
Bảng biến thiên:
x -
∞
+
∞
y’ ─
y +
∞
-
∞
Bảng giá trị:
x -1 0 1 2
y
3
2
1 0
3
7−
Câu VII. Tính độ dài cung
ln ,2 2 2 6y x x= ≤ ≤
.
( )
2
2
1
1 ' 1y
x
+ = +
Độ dài cung
C
)
:
2 6 2 6
2
2 2
2 2 2 2
1 1
1
x
L dx
x x
+
= + =
∫ ∫
Đặt
2 2 2
1 1t x t x= + ⇒ = +
tdt xdt⇔ =
5 5
2
2 2
3 3
5
5
3
3
1
1
1 1
1 1 1
1
2 1 1
1 2 1 1 1 4
2 ln ln 2 ln
2 3 2 2 2 3
1 1
ln
2 1
t dt
L dt
t t
dt
t t
t
t
t
= = +
÷
− −
= + − =
÷
÷
− +
= + − = +
∫ ∫
−
+
∫
÷
+
ĐỀ SỐ 19.
Câu I. Giải phương trình
' 2
tan cos 0y y x y x− + =
.
Chia 2 vế cho y
2
pt trở thành:
2
2
' tan
cos
y x
x
y y
− = −
(*)
Đây là pt Bernouli
Đặt
2
1 1
' 'u u y
y y
−
= ⇒ =
Thế vào pt (*) :
' tan cosu u x x− =
(pt vi phân tuyến tính)
tan tan
cos .
tan
xdx xdx
u e x e dx C
J xdx
−
∫ ∫
⇒ = +
=
∫
∫
Đặt t = cosx
sindt xdx
⇒ = −
ln ln cos
dt
J t x
t
−
⇒ = = − = −
∫
( )
2
cos cos
1 cos 2
cos
2
1 1
cos sin 2
2 4
u x xdx C
x
x dx C
x x x C
⇒ = − +
−
= − +
÷
= − − +
∫
Vậy nghiệm của pt là:
1 1 1
cos sin 2
2 4
x x x C
y
= − − +
÷
Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử
' 5
1 1 2
' 6
2 1 2
( ) 7 2 (1)
( ) 2 4 3 (2)
t
t
x t x x e
x t x x e
−
= − +
= + +
.
Lấy 4 lần pt (1) + pt (2) ta được:
' ' 5 6
1 2 1
4 30 8 3
t t
x x x e e
−
+ = + +
(*)
Đạo hàm pt (1) ta được:
" ' ' 5
1 1 2
7 10
t
x x x e
= − +
Thế vào pt (*) ta có:
' ' " 5 5 6
1 1 1 1
4 7 10 30 8 3
t t t
x x x e x e e
−
+ − + = + +
" ' 5 6
1 1 1
11 30 2 3
t t
x x x e e
−
− + = −
6
5 6 5
1 1 2
2
44
t
t t t
e
x C e C e xe
−
= + − −
5 6 5 6 5
2 1 2
13
2 4 4
44
t t t t t
x C e C e xe e e
− −
⇒ = + − − +
Câu III. Tính giới hạn
2
0
1 1
lim
arctan
x
I
x x
x
→
= −
÷
.
2
0
3
3
3
3 3
0 0
arctan
lim
arctan
( )
3
1
3
lim lim
3
x
x x
x x
I
x x
x
x
x x o x
x x
→
→ →
−
=
− − +
÷
= = =
Câu IV. Tìm
α
để tích phân
( )
1
4
3 4
5
x
x
I dx
x
α
α
−
+∞
−
+
=
∫
+
hội tụ.
Xét
0 :
α
>
Khi
x → +∞
( )
2
1
1
4 4x
f
x
x
α
α α
α
−
− −
=:
Tích phân hội tụ
2
1 1
1 2
α α
α α
⇔ − − >
⇔ < − ∨ >
So với dk ta được α > 2
• Xét
0 :
α
<
Khi
x → +∞
1
4
5
x
f
α
−
:
Phân kì theo so sánh 2
• Xét
0
α
=
:
Khi
x → +∞
1
4
6
x
f
−
:
Phân kì theo so sánh 2
Vậy I hội tụ khi α > 2
Câu V. Tính tích phân
4
1
2 2
1
(1 ) 1
x dx
I
x x
−
=
∫
+ −
.
4
1
2 2
0
2
(1 ) 1
x dx
I
x x
=
∫
+ −
Đặt
sin cosx t dx tdt= ⇒ =
( )
( ) ( )
( )
( )
4
2
2
0
4
2 2
2 2
0 0
2 2
2
2
0 0
2
2 2
2
0 0
0
sin cos
2
1 sin cos
sin 1 1
2 2
1 sin 1 sin
1
2 sin 1 2
sin 1
2 cos cos 2 1
2
1
sin 2
2
t tdt
I
t t
t
dt dt
t t
t dt dt
t
J K
J tdt t dt
t t
π
π π
π π
π
π π
π
=
+
−
= +
+ +
= − +
+
= +
= − = − + = = −
∫
∫ ∫
∫ ∫
− +
∫ ∫
÷
2 2
2
2
2
0 0
2 2
1 1
sin 1
sin 1
cos
cos cos
K dt dt
t
t
t
t t
π π
= =
+
+
÷
∫ ∫
Đặt
( )
( )
2
2
2
0 0
0
1
tan
cos
1
1
2
1
2
2
2 2
2
arctan 2
2
u t du dt
t
du du
K
u u
u
u
π
+∞ +∞
+∞
= ⇒ =
= =
+ +
+
= =
∫ ∫
I = J + 2K
( )
2 1
2
π
= −
Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ -
=
+
.=
1
1
2
x
x
− +
+
Tập xác định:
2x
≠ −
( ) ( )
2
2 2
1 4 3
' 1
2 2
x x
y
x x
+ +
= − =
+ +
' 0
1
3
y
x
x
=
= −
⇔
= −
2
2
1
lim
2
x
x x
x
→−
+ −
= −∞
+
=> tiệm cận đứng là x = - 2
1
lim 0
2
x
x
→∞
=
+
=> tiệm cận xiên là y = x - 1
Bảng biến thiên:
x
−∞
-3 -2 -1
+∞
y’ + 0 ─ ─ 0 +
y -5
−∞
(CĐ)
−∞
+∞
(CT)
+∞
-1
Bảng giá trị:
x
-4
5
2
−
3
2
−
0
y
11
2
−
11
2
−
1
2
−
1
2
−
Câu VII. Tính diện tích bề mặt tròn xoay tạo của vật thể tròn xoay tạo nên khi quay
miền phẳng giới hạn bởi
2
1;0 1/ 4; 0y x x y= + ≤ ≤ =
quanh trục Ox.
2
'
1
x
y
x
=
+
Diện tích cần tìm là:
1
2
4
2
2
0
1
2
4
2
2
0
1
4
2
0
2 1 1
1
2 1 1
1
2 1 2
Ox
x
S x dx
x
x
x dx
x
x dx
π
π
π
= + +
÷
+
= + +
+
= +
∫
∫
∫
Đặt
2
2 2 1t x x− = +
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 1
1
2 2
2 2 2 2 2 1
8
2 2 2 2
8
t xt x x
t
x
t
t t t
dx dt
t
t
dx dt
t
⇒ − + = +
−
⇔ =
− −
⇔ =
+
⇔ =
2
2 2
2
1
2
2 2
2
1
2
4 2
3
1
2
3
1
2
1
1 2 2 2 2
2 2
8
2 2
1 2 2 2 2
2
2 8
2 2 4 2 2 2
2
16
2 2 1
4
2
2
2
4
2 1 1 1 2 3
1 2ln 2 ln 2
4 2 4 2 4 4
1
2ln
2
2
Ox
t t
S t dt
t
t
t t
dt
t t
t t
dt
t
t dt
t t
t
t
t
π
π
π
π
π
π π
− +
= −
÷
+ +
=
÷
+ +
=
= + +
÷
=
= + − − + = +
÷ ÷
∫
∫
∫
∫
+ −
÷
