đề thi toán học kì 1 lớp 11 nâng cao 07

Đề số 7
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: (4 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y x xsin2 3 cos2 1= − −
.
2) Giải các phương trình sau:
a)
x2sin 3 0+ =
b)
x x x
2 2
3
4sin sin2 cos 0
2
− − =
c)
x
x
x x
2
cos
2(1 sin )
sin cos(7 )
π
= +
+ +
Câu 2: (3 điểm)
1) Trên một kệ sách có 12 quyển sách khác nhau, gồm 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyển truyện tranh và 2

quyển truyện cổ tích. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ kệ sách.
a) Tính xác suất để lấy được 3 quyển đôi một khác loại.
b) Tính xác suất để lấy được 3 quyển trong đó có đúng 2 quyển cùng một loại.
2) Tìm hệ số của số hạng chứa
x
10
trong khai triển
P x x
x
5
3
2
2
( ) 3
 
= −
 ÷
 
.
Câu 3: (1,5 điểm) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A cố định và điểm B di động. Gọi I là trung điểm của
AB. Tìm tập hợp các điểm K sao cho ∆OIK đều.
Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và SC.
1) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD).
2) Tìm giao điểm I của MN và (SBD).
3) Tính tỉ số
MI
MN
.
Hết

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 7
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1:
1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y x xsin2 3 cos2 1= − −
Ta có:
y x xsin2 3 cos2 1= − −
=
x x
1 3
2 sin2 cos2 1
2 2
 
− −
 ÷
 
=
x2sin 2 1
3
π
 
− −
 ÷
 
⇒
y3 1− ≤ ≤

(vì
x1 sin 2 1
3
π
 
− ≤ − ≤
 ÷
 
)
⇒
ymin 3= −
khi
x k
12
π
π
= − +
;
ymax 1=
khi
x k
5
12
π
π
= +
.
2) Giải phương trình:
a)
x2sin 3 0+ =

⇔
x k
x
x k
2
3
3
sin
4
2
2
3
π
π
π
π

= − +

= − ⇔


= +

b)
x x x
2 2
3
4sin sin2 cos 0
2

− − =
⇔
x x x x
2 2
4sin 3sin .cos cos 0− − =
(*)
+ Với
xcos 0
=
thì (*) ⇔
xsin 0
=
(vô lí) ⇒
xcos 0
=
không thoả (*)
+ Với
xcos 0
≠
. Chia 2 vế của (*) cho
x
2
cos
, ta được:
(*) ⇔
x x
2
4tan 3tan 1 0− − =
⇔
x

x
tan 1
1
tan
4

=

= −


⇔
x k
x k
4
1
arctan
4
π
π
π

= +


 

= − +
 ÷


 

Vậy PT có nghiệm:
x k x k
1
; arctan
4 4
π
π π
 
= + = − +
 ÷
 
c)
x
x
x x
2
cos
2(1 sin )
sin cos(7 )
π
= +
+ +
⇔
x
x
x x
2
1 sin

2(1 sin )
sin cos
−
= +
−
(*)
Điều kiện:
x x x msin cos 0
4
π
π
− ≠ ⇔ ≠ +
(1)
Với điều kiện (1) thì (*) ⇔
x x x(1 sin )(1 3sin 2cos ) 0+ − + =
⇔
x
x x
sin 1 (2)
3sin 2cos 1 (3)

= −

− =

• (2) ⇔
x k2
2
π
π

= − +
(thoả (1))
• (3) ⇔
x x
3 2 1
sin cos
13 13 13
− =
⇔
( )
x
1
sin
13
α
− =
(với
2 3
sin ; cos
13 13
α α
= =
)
⇔
x k
x k
1
arcsin 2
13
1

arcsin 2
13
α π
α π π

− = +



− = − +


⇔
x k
x k
1
arcsin 2
13
1
arcsin 2
13
α π
α π π

= + +



= + − +



(thoả (1))
Vậy PT có nghiệm:
x k2
2
π
π
= − +
;
x k x k
1 1
arcsin 2 ; arcsin 2
13 13
α π α π π
= + + = + − +
(với
2 3
sin ; cos
13 13
α α
= =
)
2
Câu 2:
1) Số cách chọn 3 quyển sách tè kệ sách:
C
3
12
= 220 ⇒
n( ) 220

Ω
=
.
a) Gọi A là biến cố "Lấy được 3 quyển sách đôi một khác loại"
Số cách chọn 3 quyển sách đôi một khác loại:
C C C
1 1 1
4 6 2
. . 48=
⇒
n A( ) 48=
.
⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) =
48 12
220 55
=
.
b) Gọi B là biến cố "Lấy được 3 quyển sách, trong đó có đúng 2 quyển cùng loại"
+ Số cách chọn có đúng 2 quyển tiểu thuyết:
C C
2 1
4 8
. 48=
+ Số cách chọn có đúng 2 quyển truyện tranh:
C C
2 1
6 6
. 90=
+ Số cách chọn có đúng 2 quyển cổ tích:
C C

2 1
2 10
. 10=
⇒ Số cách chọn có đúng 2 quyển cùng loại: 48 + 90 + 10 = 148 ⇒
n B( ) 148=
⇒ Xác suất của biến cố B: P(B) =
148 37
220 55
=
.
2)
P x x
x
5
3
2
2
( ) 3
 
= −
 ÷
 
Số hạng tổng quát thứ k + 1 là:
k
k
k k k k k k
k
k
x
T C x C

x x
15 3
3 5 5
1 5 5
2 2
2
(3 ) ( 1) 3 .2
−
− −
+
 
= − = −
 ÷
 
Để số hạng chứa
x
10
thì
k k15 3 2 10− − =
⇔
k 1=
Vậy hệ số của số hạng chứa
x
10
là:
C
1 5 1 1 1
5
( 1) 3 .2 810
−

− = −
.
Câu 3:
+ Ta có
·
AIO v1=
⇒ Tập hợp các điểm I là đường tròn (C) nhận AO làm đường
kính.
+ Vì ∆OIK đều nên phép quay
O
Q I K
0
( ,60 )
: a
hoặc
O
Q I K
0
( , 60 )
:
−
a
Vậy tập hợp các điểm K là hai đường tròn (C′) và (C′′) lần lượt là ảnh của (C) qua
các phép quay
O
Q
0
( ,60 )
và
O

Q
0
( , 60 )−
.
Câu 4:
a) Giao tuyến của (SMN) và (SBD)
Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1)
Trong mp(ABCD), gọi E = MC ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ (SBD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (SMN) ∩ (SBD) = SE
b) Giao điểm của MN và (SBD)
Trong mp(SMN), gọi I = MN ∩ SE ⇒ I = MN ∩ (SBD)
c) Xét hai tam giác BME và DCE, ta có MB // DC
⇒
EB EM BM
ED EC DC
1
2
= = =
Gọi F là trung điểm của EC ⇒ NF // SE và E là trung điểm của MF
⇒ IE là đường trung bình của ∆MNF ⇒ I là trung điểm của MN
⇒
MI
MN
1
2
=
.
===========================
3
O

A
B
I
K
S
A B
C
D
M
N
E
I
F