bộ đề ôn học sinh giỏi toán 7 có đáp án

TRƯỜNG THCS TAM HƯNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Câu1: (6 điểm)
a) Tính (
4
3
- 81)(
5
3
2
- 81)(
6
3
3
- 81). . .(
2003
3
2000
- 81)
b) Tính giá trị của biểu thức : 6x
2
+ 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1
Câu 2 : (5đ)
a) Cho
6
5
4
3
2

1
−
=
+
=
−
cba
và 5a - 3b - 4 c = 46 . Xác định a, b, c
b) Cho tỉ lệ thức:
d
c
b
a
=
. Chứng minh :
cdd
dcdc
abb
baba
32
532
32
532
2
22
2
22
+
+−
=

+
+−
. Với điều
kiện mẫu thức được xác định.
Câu 3 (2đ)Tìm x, y nguyên biết
4 1
3 5
x
y
− =
Câu 4 : (6đ)
Cho
∆
MNP nhọn, MD vuông góc với NP tại D. Xác định I ; J sao cho MN là trung trực
của DI, MP là trung trực của DJ ; IJ cắt MN ; MP lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a)
∆
MIJ cân
b) DM là tia phân giác của góc LDK
c) NK
⊥
MP ; PL
⊥
MN
d) Trực tâm của
∆
MNP chính là giao của 3 đường phân giác của
∆
DLK
e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh NP. Chứng minh rằng góc IMJ có số đo không đổi

và tìm vị trí điểm D trên cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1đ)Tìm Giá trị nhỏ nhất của

2 2
3 6C x x x x
= + + + + −
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Hết~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
TRƯỜNG THCS TAM HƯNG
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Câu1:
a)(3đ) Trong dãy số có
9
3
6
- 81 =
2
6
3
3
- 81 = 81-81 = 0
Do đó tích bằng 0
b)(3đ)Ta có
2−x
= 1
* x - 2 = 1
⇔
x = 3

* x - 2 = -1
⇔
x = 1
Thay x=1 vào biểu thức ta được 6. 1
2
+ 5.1 - 2 = 9
Thay x=3 vào biểu thức ta được 6. 3
2
+ 5.3 - 2 = 67
KL
Câu 2:
a)(2đ) Xác định a, b ,c
6
5
4
3
2
1
−
=
+
=
−
cba
=
2
241210
2095435
24
)5(4

12
)3(3
10
)1(5
−=
−−
+−−−−
=
−
−−
=
−
+−
=
−
cbacba
=> a = -3 ; b = -11; c = -7.
Cách 2 :
6
5
4
3
2
1
−
=
+
=
−
cba

= t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm được t = - 2 tìm a,b,c.
b)(3đ) Chứng minh
Đặt
d
c
b
a
=
= k => a= kb ; c = kd Thay vào các biểu thức :
0
32
53
32
53
32
532
32
532
22
2
22
2
22
=
+
+−
−
+
+−
=

+
+−
−
+
+−
k
kk
k
kk
cdd
dcdc
abb
baba
=> đpcm.
Câu 3 (2đ)

5 3 4
15
x
y
−
=
⇔
(5x – 3).y = 4.15 = 60 = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 = 6.10
Từ đó suy ra các cặp x,y
Câu 4:
a) Do MN là trung trực của DI
NP là trung trực của DJ (1đ)
=> MI = MD
MD = MJ => MI = MJ =>

ΔMIJ
cân tại M.
b)
∆
MLI =
∆
MLD (c.c.c) =>
·
·
MIL MDL=
TT :
∆
MKD =
∆
MKJ (c.c.c) =>
·
·
MDK MJK=
Mà
∆
MIJ cân (câu a) =>
·
·
MIL MJK=
(1đ)
=>
·
·
MDL MDK=
=> DM là tia p/g của

·
LDK
c) CMTT câu b : PL ; NK là p/g trong của
·
LDK
;
·
DLK
trong
∆
DKL
=> NK
⊥
MP (1 đ)
PL
⊥
MN
d) Từ câu c => trực tâm của
∆
MNP chính là giao của 3 đường phân giác trong
∆
DLK
(1 đ)
e) . * CM được
·
·
2IMJ NMP=
(không đổi) (1 đ)
*
∆

MIJ cân tại M có
·
IMJ
không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên MI
nhỏ nhất.
Ta có MI = MD
≥
MH (MH là đường vuông góc kẻ từ M đến NP)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D
≡
H (1đ)
Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ M xuống NP thì IJ nhỏ nhất.
M
J
I


Câu 5: Đặt x
2
+ x = t
có
3 6
3 6
C t t
C t t
= + + −
= + + −
Áp dụng BĐT
A B A B+ ≥ +
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

. 0A B
≥
GTNN của C = 9 khi
3 2x
− ≤ ≤
N
H D P