tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn toán

Đề THI HSG TPHCM NĂM 06-07
Bài 1: thu gọn BT
a) A=
b) B=
c) C=
Bài 2:
a) cmr: , với mọi x,y,z thuộc R
b) cho x+y+z=1 và
Dấu'=' xảy ra khi nào x,y,z bằng bao nhiêu?
Bài 3: Cho pt a^2+bx+c=0 có các hệ số a,b,c là các số nguyên lẻ. chứng mỉnh rằng pt
nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy ko thể là số hữu tỉ.
Bài 4:giải hpt
a)
b)
Bài 5: Cho nửa (O,R), đường kính AB. gọi M là diểm chuyển động trên nửa (O) (M
khác A,B). vẻ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến với
đường tròn M tại C và D.
a) Cmr M,C,D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn(O) tại M.
b) Cmr ĂCBD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD
c) Giả sử CD cắt AB tại K.Cmr
Bài 6: Tam giác ABC nội tíêp (O) có góc ACB= 45 độ. Đường tròn đường kính AB cắt
AC, BC tại M và N.
Cmr MN vuông góc vs OC và
Đề THI CHọN HọC SINH GIỏI LớP 9 TRƯờNG HÀ NộI-AMSTERDAM
Năm học 2005-2006
Bài 1: Cho t là số dương tùy ý,số các phân số tối giản ; được kí hiệu là
Tính
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
1
Bài 3: Tìm để pt sau có nghiệm:
Bài 4: Cho bảng vuông kích thước

Người ta điền vào các ô số 0 hoặc 1 sao cho không có 4 số 1 nào là đỉnh 1 hình chữ
nhật.Cmr:số các số 1 không quá
Bài 5: Cho điểm thứ tự nằm trên đường tròn Giả sử có
1 điểm trong -giác lồi sao cho
Gọi là 1 điểm trên sao cho tại
CMR
Đề THI TUYểN HSG TOÁN TRƯờNG THPT CHUYÊN
LÝ Tự TRọNG(Cần Thơ)
I) Trắc nghiệm khách quan:
Câu 1) Nếu thì biểu thức: trị tuyệt đối của bằng:
a) ;b)1;c) ;d)
Câu 2) Với thì biểu thức bằng:
a) ; b) ; c) (Trị tuyệt đối của x)/2y; d)
(TTĐx)/-2y
Câu 3) Giá trị của m để 2 đường thẳng : và cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục hoành là:
a) hoặc ; b) ; c) ; d)
Câu 4) Cho pt ẩn . Biết rằng: . Tìm phát biểu đúng :
a)PT(1) có 2 nghiệm phân biệt c)PT(1) có nghiệm
b)PT(1) có 2 nghiệm phân biệt: d)PT(1) có nghiệm
Câu 5) Số là của PT:
a) ; b) ; c) ; d)
Câu 6) Cho đường tròn(O;4cm) và 2 điểm A,B (O) với .Diện tích tam giác
OAB bằng :
a) ; b) ; c) ; d) .
2
Câu 7)Cho đường tròn(O;2cm).AB là 1 dây của đường tròn có độ dài bằng bán kính
của đường tròn đó.Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng :
a) ; b) ; c) ; d)
Câu 8) Cho tam giác ABC vuông tại A,AB=15cm,AC=20cm,khi quay tam giác ABC

một vòng quanh BC ta được một hình có thể tích bằng :
a) ; b) ; c) ; d)
II)Tự luận :
Câu 1:Cho biểu thức
a)Tìm ĐKXĐ
b)CM:
c)Tìm tất cả các cặp số nguyên(x;y) sao cho
Câu 2:Cho phương trình
Xác định các giá trị của m và n để PT có 1 duy nhất
Câu 3:Giải BPT:
Câu 4:Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AC=2R và 1 điểm B thay đổi trên nửa
đường tròn(O) .Dựng điểm D đối xứng với B qua O.
a)CM:ABCD là hcn.
b)Vẽ đường thảng(d) qua A và vuông góc với AC.(d) cắt BC tại E và CD tại F.Gọi
M,N,I lần lượt là trung điểm của AE,AF,OA.CM:I là trực tâm của tam giác CMN.
c)Xác định vị trí của B để tổng S các tam giác CEM và CFN đạt GTNN.Tính min đó
theo R.
Trắc nghiệm khách quan:
Câu 1) Nếu thì biểu thức: trị tuyệt đối của bằng:
a)
Câu 2) Với thì biểu thức bằng:
b)
Câu 3) Giá trị của m để 2 đường thẳng : và cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục hoành là:
a) hoặc ;b) ;c) ;d)
Trích dẫn:
Không hiểu sao ra
Câu 4) Cho phương trình ẩn .Biết rằng: .Tìm phát
biểu đúng :
a)PT(1) có 2 nghiệm phân biệt

3
b)PT(1) có 2 nghiệm phân biệt:
c)PT(1) có nghiệm
d)PT(1) có nghiệm
Trích dẫn:
Dấu ở giữa a và b là + à ? nếu thế thì b (chắc là + còn nếu - thì là a )
Câu 5) Số là của PT:
c) ;
Câu 6) Cho đường tròn(O;4cm) và 2 điểm A,B (O) với .Diện tích tam
giác OAB bằng :
b)
Câu 7)Cho đường tròn(O;2cm).AB là 1 dây của đường tròn có độ dài bằng bán
kính của đường tròn đó.Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng :
b)
Câu 8) Cho tam giác ABC vuông tại A,AB=15cm,AC=20cm,khi quay tam giác
ABC một vòng quanh BC ta được một hình có thể tích bằng :
a)
I- TNKQ
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A C C B B D
II- TL
Bài 4.
b. Gọi K là giao điểm của MI và CN
Ta có AM. AN = 1/4 AE. AF = 1/4 AC^ 2 = R^ 2
và AI. AC = R^ 2
Vậy AN/ AC = AI/ AM
Suy ra 2 tam giác AIM và ANC đồng dạng
nên AMI = ACN
do đó góc MKC = 90 độ
Vậy I là trực tâm của tam giác CMN.

c.
S tam giácCEM+ S tam giác CFN = 1/4 AC. EF
Mà EF = AE+ AF lớn hơn hoặc bằng 2 lần căn bậc hai của AE. AF = 4R
Tổng diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi AE = AF khi B là điểm chính giữa cung AC.
Khi đó S tam giácCEM+ S tam giác CFN = 1/4 AC. EF = 2.R^ 2
4
CÁC BÀI TOÁN KHÓ TRONG CÁC KÌ THI HSG
Em lập topic này muốn gửi 1 số bài toán khó(đối với em là khó ) các bác cùng giải nha
27/12/1997:
Bài 1) tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
Bài 2) Cho n là số nguyên dương.Biết rằng 2n+1 và 3n+1 là 2 số chính phương.Hãy
chứng minh n chia hết cho 40.
29/12/1996
Bài 3) tìm các nghiệm nguyên của phương trình
Bài 4) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x>y và xy=1.CM BDT:
1998-1999( khá dễ)
Bài 5) với mối số tự nhiên n ,đặt :
Tính tổng
Bài 6) tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho
1999-2000
Bài 7) tìm tất cả các cặp số nguyên(x,y) thỏa mãn
Bài 8) với mối sô tự nhiên , đặt
Chứng minh:
Bài 9) tìm số tự nhiên n ,biết rằng tống các chữ số của nó là
Phần hình em sẽ gửi sau ,mọi người chém hết nhé
5
ĐỀ Thi ChỌn HS GiỎi CẤp TrƯỜngTHCS NGUYỄN NGHIÊM
Năm học 2007-2008
Câu 1 (5 điểm ) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) - +8x-4

b)x -y
Câu 2 (5 điểm )
a) Cho + + =1
và + + =0
Chứng minh + + =1
b) Giải phương trình - +31x-30=0
Câu 3 (5 điểm )
a) Cho đa thức A= + + -2 -2 -2
Chứng minh rằng nếu a,b,c lá số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì A<0
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=
Câu 4 (5 điểm )
1) Cho tam giác ABC có AB=c,AC=b,BC=a thoả mãn a<b<c.Một đường thẳng d đi qua
trọng tâm của tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của đường thẳng d sao cho tổng
khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d là lớn nhất?
2) Cho tam giác ABC có AH là đường cao. Biết AH=6cm , AH chia góc BAC theo tỉ lệ
1:2 và điểm H chia cạnh BC thành hai đoạn mà đoạn nhỏ bằng 3 cm. Tính diện tích của
tam giác ABC
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: a,
b)
Câu 2: a)
ayz+bxz+cxy=0 đ.p.cm
b) (x+6)(x-5) = 0
x=-6 hoặc x=5
Câu 3: A<0 (a-b-c)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c)<0(đúng)
6
Câu 4: Như hình vẽ
ta có GG' là đường TB của hình thang BB'C'C
ta có
Do đó

Mặt khác
dấu "=" xảy ra đt tại G
mà DG ko đổi
Do đó GTLN đt tại G
kẻ phân giác AD ; kẻ DK vuông góc AC;Đặt
Ta có tam giác ABD cân tại A => AH là đường cao đồng thời là trung tuyến
ta CM đc



từ(1) và(2)

Do đó
Đề THI TRƯờNG THCS PHÚ THÁI -KIM
THÀNH-HảI DƯƠNG
Thời gian :90 phút
Câu 1: 4 điểm
a) cho a,b,c t/m: 2a/(a+b)+b/(a-b)=2. Tìm các giá trị của A=(3a-b)/(a+5b)
b) Cho 3 số dương a,b,c t/m : a^2=b^2+c^2-bc. CMR: 3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c)
7
Câu 2:(4 điểm) Cho phương trình /4-3x/=5-a
a/ Giải phương trình với a=1
b/ Tìm a để phương trình có nghiệm nguyên dương
Câu 3: (3 điểm) Cho phương trình(x+4)/(x+m)=(x+3)/x
a)Giải phương trình với m=-1
b)Xác định giá trị của m để p/t vô nghiệm
Câu 4 :(3 điểm)
a)Tính tổng của 2008 chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy của số(1/16)^2008 khi
viết dưới danh số thập phân
b)Cho 2 số dương a,b thỏa mãm a^3+b^3=a-b. CMR: a^2+b^2-ab/2<1

Câu 5: (6 điểm) Cho đều ABC , M là trung điểm của BC.1 góc xMy=60 độ quay
quanh M, AB tại D, AC tại E
a) CMR:Tích BD.CE không đổi
b) Chứng minh MBD~ EMD , ECM~EMD
c) CMR: Khi góc xMY quay quanh điểm M thì khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng DE có giá trị ko đổi
Câu 5
a)
=> ~ (g.g) (1)
=> =>
b) Từ (1)
=>
=> ~
Bắc cầu => Cái thứ 2
c)
Do là phân giác của
8
Đề THI CHọN ĐộI TUYểN TOÁN 8 - THCS
VĂN LANG
Câu 1: Tìm số có 4 chs thoả mãn 2 ĐK sau
a> Chia 100 dư 6
b> Chia 51 dư 17
Câu 2: CMR số là số CP <Có 2008 chs1; 2007 chs 0)
Câu 3: Cho Tính
Câu 4: Cho hình ngôi sao ( là các đỉnh ngôi sao đó)
Tính
Bài làm:
Bài 1: Gọi số cần tìm là
tận cùng bằng 9 k tận cùng bằng
Bằng phép thử với ta tìm được và từ đó tính đc

Bài 2:
Phân tích, rút gọn
là số chính phương do
Bài 4:
9
Câu 5: Cho tứ giác có ;
O là giao điểm của 2 đường chéo; tính theo
(I là giao điểm 2 tia phân giác góc A và D)
Luyện Vài Bài Hình !!!
Bài 1 : Cho 2 đường tròn : cắt tại P, Q. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB của 2
đừơng tròn gần P hơn ( . Tại P kẻ 1 tiếp tuyến d của cắt tại
C , kéo dài Ap cắt BC tại R.
1/CM : cân.
2/CM : APRQ nội tiếp( > Cái này không chắc. Sợ đề sai )
3/Cm : BP;BR là tiếp tuyến của
Bai 2 : Đường tròn(I;r) nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại
A',B',C' . Gọi IA , IB , IC cắt (I) tại M,N,P.
1/ CM : A'M, B'N,C'P đồng quy .
2/ Tia AI cắt đường tròn(O;R) ngoại tiếp tam giác ABC tại D( khác A). CM :
a, Tam giác PBI , tam giác DCI cân.
b,
Bài 3 :
Cho tứ giác ABCD nội tiếp(O;R) , , sao cho . CM :
1/ Tam giác ACB đồng dạng tam giác ADI.
10
2/ Tam giác ABI đồng dạng tam giác ACD.
3/ AB.CD+BC.AD = AC.BD
DE THI HSG TINH VINH PHUC
Bài 1
a) Em hãy so sánh hai phân số sau:4/5 và 5/6

b) Tìm ba số có tử nhỏ hơn 100, thỏa mãn lớn hơn 4/5 và nhỏ hơn 5/6
Bài 2: Tính nhanh các dãy tính sau:
a) A= 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + + 7 - 5 + 3 - 1
b) B= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Bài 3: Tìm số chẵn có 4 chữ số biết số tạo nên bởi chữ số hàng trăm và chữ số hàng
chục gấp 4 lần chữ số hàng đơn vị và gấp 3 lần chữ số hàng nghì.
Bài 4 : Học kì một năm 2004-2005; bạn An đã đặt ra cho mình phải phấn đấu đạt được
số điểm giỏi nhất đinh. Do phấn đấu tốt bạn An đã vượt mức 35 điểm giỏ. Tính ra bạn
An đã vượt 25% mức đặt rạ
a) Hỏi học kì 1 bạn An đã đạt bao nhiêu điểm giỏi?
b) Học kì 2 bạn An lại đạt số điểm giỏi vượt học kì 1là 49 điể. Hỏi nếu học kì 2 bạn
An cũng đạt mức phấn đấu như học kì 1 thì bạn An đã đạt bao nhiêu phần trăm?
TRƯờNG HÀ NộI-AMSTERDAM VÀ CHU VĂN AN
Năm học 1989-1990
Vòng 1
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
với
Bài 2:
a. CMR bao giờ cũng có tam giác mà các cạnh lần lượt bằng các đường trung tuyến của
một tam giác cho trước.
b, Cho tam giác cân
1. Cho biết rằng , AH là đường cao; chứng minh rằng không có tam giác
nào mà các cạnh lần lượt bằng các đường cao của tam giác cân ABC.
2. Xét trường hợp rồi rút ra kết luận.
Bài 3: CMR số với k là số tự nhiên, không biểu diễn được thành tổng của ba
bình phương
11
Vòng 2:
Bài 4: Cho tam giác ABC, ở phía ngoài dựng các tam giác cân đồng dạng ABM và
ACN với

a, CMR các đỉnh M,N luôn cách đều một điểm cố định dù góc ABM lấy giá trị nào.
b, Xét trường hợp tam giác cân ABM ở phía ngoài và tam giác cân ACN ở phía trong
đối với tam giác ABc rồi rút ra kết luận.
Bài 5: Cho hình vuông kích thước 3x3 chia thành 9 ô nhỏ bằng nhau.
a, Hãy tìm cách viết vào mỗi ô vuông một số trong các số từ 1 đến 9 sao cho tổng các số
trong 3 ô theo hàng, theo cột, theo đường chéo của hình vuông bằng nhau.
b, CMR chỉ có một cách viết duy nhất (Hai cách coi như là như nhau khi đối xứng với
nhau qua đường chéo của hình vuông).
Bài 6: Xét các số thập phân kí hiệu là phần nguyên của tức là số nguyên lớn
nhất không vượt quá . Chứng minh:
Bài 2:
a) Gọi 3 trung tuyến của tam giác ABC là AM, BE, CF và trọng tâm G.
LẤy K đxứng G qua M. Tam giác cần tìm là tam giác đồng dạng tam giác GKC theo tỉ
lệ 2/3
b)Gọi 3 đcao lần lượt là AH, BE,CF.
AH 2BC mà CF < BC, BE < BC nên BE+ CF < 2BC < AH( ko thỏa BĐt tam giác nên
ko có tam giác đó). Nhưng mà nếu đã xét AH 2BC thì fải xét TH 2 là AH 2BC chứ,
mà nếu tam giác ABC đều thì 3 đường cao là trung tuyến tạo thành tam giác rùi.
Xét AH 1/2 BC => tù. Kẻ FN BC, AM FN
=> AH < FN => dựng được tam giác.
Bài 3:
1 số chính phương khi chia cho 8 lun dư 0 họăc 1 hoặc 4(*)
Vậy , tổng dư max từ 3 số bất kì lấy 3 số( có thể giống nhau) trong dãy (*) = 12 nên
tổng dư phải là 7.
Nếu có nhiều hơn 1 số dư 4 thì vô lí, ít hơn cũng vậy, nên có 1 số dư 4, và 2 số dư 1, khi
đó chỉ đạt được dang 8l + 6 => đpcm.
Bài 6 Ta có:
[2a] + [2b] = 2a + 2b -(x+y) (0 x + y < 2)
Ta có:
[a] = a- c

[b] = b- d
[a+b] =(a+b) - e
=> [a]+[b]+[a+b] = 2a+ 2b-(c+d+e) mà c+d+e x+y
=> [2a]+[2b] [a]+[b]+[a+b]. (đpcm)
12
Bài 5
Gọi 9 số cần phải điền là:
a b c
d e f
g h k. Tổng của chúng là 45 mà mỗi 3 điểm thẳng hàng đều có tổng = nhau nên tổng đó
là 15.
Ta có: (a+e+k)+(b+e+h)+(c+e+g)+(f+e+d)=(a+b+c+d+e+f+g+h+k )+ 3e = 60
=> e=5. Ta có:
a b c
d 5 f
g h k. Ko mất tổng quát, xét a > k (vì a,k đối xứng nhau qua đường chéo của ô vuông)
=> a >5 và k<5. (a+k=10)
Ta có: a+d = c+5 mà a>5 => c>d. Tương tự=> g > c > d và e > f > b.
Xét TH1: b > g => b > 5 và g < 5
=> e > f > b > 5 > g > c > d. Xét f và a, ta có : f+5=a+b mà b > 5 => f > a .
=> e > f >(a và b) > 5 => e = 9, f = 8. Thay e = 9, f = 8 vào, ta có :
a b c => 6 7 2
d 5 9 => 1 5 9 => ko mâu thuẫn nên đây là 1 cách điền.
8 g h => 8 3 4
Xét TH2: g > b => g > 5 và b < 5.
Ta xét f < 5. Khi đó c > 5 và a >5 => a + c > 12 => b < 3
Xét b = 1 => g = 9 và a + c = 14 mà a c => a = 6, b=8 hoặc ngược lại.
=> có bảng 6 1 8
7 5 3 hoặc nguợc lại nhưng tương tự cách trên)
2 9 4

Xét b = 2 => g = 8 => a+ c = 13 => a = 6, b = 7 hoạc ngược lại
=> có bảng 6 2 7
6 5 4 hoặc ngược lại nhưng vô lí
3 8 4
Xét f > 5 mà e + 5 = f+ a => e > a, và g+ 5 = a+c mà c < 5 => a > g, và f+ g = a+5
mà g >5 => f < a => e > a > (f,g) > 5 => e = 9 và a = 8.
Có bảng 8 3 4
1 5 9 (tương tự cách trên).
6 7 2
Vậy, chỉ tồn tại một dạng bảng số thỏa đk là
13
Đề THI HSG THÀNH PHố HÀ NộI
Năm học : 2007-2008
Câu1,
a)Tìm số nguyên tố p thoả mãn: ; cũng nguyên tố
b)Tìm số hữu tỷ a thoả mãn: là số tự nhiên và là số chính phương
Câu 2,Cho , tìm min:
Câu 3,Cho pt:
a, Giải pt với m=1
b, m=? thì pt có nghiệm
Câu 4,Cho đa giác đều 91 đỉnh.Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi 1 trong 2 màu xanh
hoặc đỏ.C/m luôn tìm được 3 trong 91 đỉnh của đa giác thoả mãn:3 đỉnh này cùng màu
và là 3 đỉnh của 1 tam giác cân có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60 độ.
Câu 5,Cho đường tròn và dây BC cố định .A di chuyển trên cung lớn
BC
( A khác B,C ).M là trung điểmcủa AC , H là hình chiếu vuông góc của m trên AB.Tìm
vị trí của A trên cung lớn BC để CH max.
Bài 1
a,
Ta thấy : thỏa .Xét :

=> ;
Do => Ít nhất hoăc chia hết choa 3
=> là số duy nhất thỏa.
b, Bổ đề :
với khi và chỉ khi ( )
CM:
Đặt : với => (*)
=>
Theo * => =>
Áp dụng vào bài đưa về giải PTNN :
Đến đây chỉ cần xét mod
Nếu = > chính phương =>
Nếu đặt : ;
14
Đưa về :
=>
Nghiệm là :
Câu 2
a,
Dấu bằng đạt khi
Câu 3
Đặt :
.
Đưa về hệ PT:
Phần câu a chỉ là thế vào
Phần câu b thì chắc xét BDT rù
Đề THI HọC SINH GIỏI THI XÃ LONG KHÁNH
MÔN TOÁN
Câu 1.
a) Cho x,y,z là các số khác nhau và x+y+z=2008. Tính giá trị của biểu thức:

B= + +
b)Cho(x+ )(y+ )=3. Tính giá trị của biểu thức C=x+ỵ
Câu 2.
a) Tính tổng S= + + + +
b) Cho là phân số tối giạn Hỏi phân số có tối giản không?
Câu 3.
a) Tính +
b) Cho đường thẳng(D): y=x+1. Tìm trên đường thẳng(D) những điểm có toạ độ(x;y)
thoả điều kiện y^2 -3y +2x=0
Câu 4. Cho hình thang cân có chiều cao h, cạnh bên có độ dài bằng bán kính đường
tròn ngoại tiếp hình thang. Tính diện tích hình thang theo h?
Câu 5. Tam giác ABC có góc ABC bằng , góc ACB bằng . Cọi O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M,N,P,I lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,ỌC
a) Tính số đo góc PỌN C/m A,M,I thẳng hạng
b) Tìm trực tâm chủa tam giác OMN.
15
Tọa độ (x;y) cần tìm chính là nghiệm của phương trình -3y + 2x = 0 (1)
Thế y=x+1 ta được (1) (x + 1)^2 - 3(x+1) + 2x = 0
+ 2x + 1 - 3x - 3 + 2x = 0
+ 4x - 3x - 3 + 1 = 0
Đặt z= ta có (1) - 3 + 4 - 3z +1 = 0
Thấy ngay 0 không phải là nghiệm phương trình
Ta chia cả hai vế cho
(1) - 3z + 4 - + =0
Đặt m=z+ z+ = - 2
(1) - 2 + 3m + 4 = 0
+ 3m + 2 = 0
(m+1)(m+2) = 0
m=-1 hoặc m=-2
RÙi cứ theo đó mà giải tiếp

Đề THI HSG THị XÃ LONG KHÁNH
Câu 1:
a/ Giải phương trình
b/ Giả sử
Tính
Câu 2/ So sánh và
Câu 3/
a/ Chứng minh : Tích của năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
b/ Chứng minh : một số gồm chữ số toàn bằng chữ số là số chia hết cho
Câu 4/
a/ Cho chứng minh : <
b/ Cho là các số hữu tỉ và thoả mãn
Chứng minh : là bình phương của một số hữu tỉ
Câu 5/ Cho kẻ và AD = AB ( và khác phía đối với ) kẻ tia
Ay ⊥ AC ( và thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng ) kẻ
đường thẳng đi qua vả trung điểm của , tử kẻ đường thẳng vuông góc với
tại và cắt tia ở . Chứng minh cân
16
1/ Giải
Đặt + 6 + 5 - 12x + 3=( + ax + b)( + cx + d)
Rùi xài đồng nhất thức ra (x^2 + 3x -1)(x^2 + 3x - 3) = 0
Rùi giải từng cái
+ 3x - 3 = 0
có = 9 + 12 = 21
= = -6-2
= =-6+2
Rúi tương tự giải x^2 + 3x -1 = 0 y chang thía là ra 4 nghiệm
3/Câu 3:
a) (a - 2)(a -1)a(a + 1)(a + 2)
Ta thất 120=3.5.8

chia hết cho 5 với 3 thì khỏi bàn cãi rùi
còn chia hết cho 8 thì vận dụng tính chất hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
Dễ dàng chứng minh 2k(2k+2) = 2k2(k+1) = 4k(k+1) mà k(k+1) thì hiển nhiên chia hết
cho 2 do đó chia hết cho 8
Vậy ta có đpcm
b) Tách 111 1 (27 chữ số 1) ra thành
11 1x100 0 (thừa số đầu có 9 chữ số 1,thừa số sau có 18 chữ số 0) + 111 1x100 0
(thừa số đầu có 9 chữ số 1,thừa số sau có 9 chữ số 0) + 111 1x1 (thừa số đầu có 9 chữ
số 1)
=111 1(100 0 + 100 0 + 1)
THừa số đầu chia hết cho 9 vì tồng các chữ số của nó là 9,thừa số sau có tổng các chữ
số bằng 3 nên chia hết cho 3
vậy ta suy ra đpcm
4/
a> BDT cần CM
(đúng)
Do đó ta có dpcm
b> ta có
Do đó
17
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-NĂM HỌC 2006-2007
MÔN :TOÁN VÒNG 1
Thời gian:120 phút (không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : Cho
Tính giá trị biểu thức :
Bài 2 : Giải hệ phương trình:
Bài 3 : Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời : và
Hỏi có thể nhận là bao nhiêu ? Vì sao?
Bài 4: Tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình:

Bài 5: Cho tam giác nhọn có là các đường cao
Gọi là trực tâm của tam giác lần lượt là trung điểm
của
a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh: Các đường chéo của tứ giác giao nhau tại trung điểm I của
(với là tâm đường tròn đi qua )
c) Cho Tính bán kính của đường tròn
HƯỚNG DẪN GIẢI
1/(1)<=>
<=>
Tương tự
Từ (2) và(3) =>
=>
Bài 1 Xét đề bài , ta xét TH( x,y có vai trò như nhau đối với đề bài )
18
<=>
Nếu(x-y)(y+x)>1.
=> => ( vô lý)
Nếu
=> => vô lý
Từ các nhận xét trên ta có thể rút ra trường hợp
+
+ và ngược lại
-Nếu x=y thì x=y=0
-Nếu x=-y thì x=y=0
-Nếu x^2=y^2+1 => vô lý
=>
Bài 3:
Min chưa nghĩ ra
Bài 4:Ta dễ thấy (do các số hạng còn lại đều chia hết cho 3) mà mỗi số hạng đều

không âm => .Xét trường hợp thì rõ ràng y=0=>x ko nguyên(vô lý).Vậy
z=0 => chỉ có 1 trường hợp thỏa là: từ đó suy ra các
nghiệm:
Bài 5
a/ Áp dụng tính chất trung tuyến ứng với cạch huyền bằng nửa cạnh huyền ta dc:
Dễ thấy vuông cân tại
vuông cân tại vuông cân
là hình thoi
là hình vuông
b/ Gọi là điểm đối xứng với qua
Ta có vuông cân tại là trung trực của
Tương tự
Tứ giác là hình bình hành
19
là trực tâm
Vậy giao điểm đường chéo hình vuông cũng là trung điểm
c/ Vẽ đường kính
hay
Tương tự
là hình bình hành là trung điểm ( do là trung điểm )
là đường trung bình
Đặt
2/Cộng(1) với(2) theo vế ta được
Lấy (2) trừ(1) theo vế ta dược
Ta có hệ
<=>
mà ta có
hệ<=>
<=>
Đến đây dễ dàng tìm ra nghiệm

Hệ pt có nghiệm
Đề THI KHảO SÁT ĐộI TUYểN TOÁN 9 THCS NGUYễN BỉNH KHIÊM
Bài 1: Cho C/minh:
Bài 2: Gọi a là nghiệm của phương trình
Tìm giá trị của
20
Bài 3:Gọi a là tổng các chữ số của , là tổng các chữ số của .Tìm ???
Bài 4:Cho đa thức với là các hệ số nguyên.Chứng minh ko
là nghiệm của đa thức trên
Bài 5:Cho đường tròn tâm . là điểm cố định sao cho .Dây cung lưu
động trên đường tròn sao cho .Gọi là chân đường vuông góc từ
xuống
a)So sánh và
b)Tìm quỹ tích của
c)Quên rồi khi nào nghĩ ra thì post vì khi thi xong thầy giáo ko cho mang đề về nhà
Bài 3.
Đầu tiên để dễ thì ta kí hiệu tổng các chữ số của thằng b là c cái đã.
Ta có:
=>
=>
=>
Mả .Mà theo tính chất chia cho 9 suy ra:
Vậy tổng các chữ số của b là 8.
Bài 4: Do là phương trình bậc 2 nên a khác 0(hồi nãy nhầm cái này).Giả sử phương
trình trên nhận làm nghiệm,ta có:
Nhân cho ta có:
Do a,b,c nguyên dẫn tới hệ sau:
Mà a,b nguyên nên dẫn tới a=b=0(vô lý).Vậy giả thuyết phản chứng là sai từ đó ta có
đpcm.
21

KHảO SÁT Độị TUYểN TOÁN 9 THCS
NGUYễN BỉNH KHIÊM (bài số 2)
Bài 1/Giải bất phương trình sau:
Bài 2/ Chứng minh thoả ta có
Bài 3/ Giải hệ phương trình
Bài 4/So sánh 2 số sau
với
Bài 5/ Cho tứ giác ABCD,kẻ 2 đường chéo,I,J trung điểm AC,BD.CM
Đề ÔN LUYệN ĐộI TUYểN TOÁN 9-THCS
NGUYễN ĐĂNG ĐạO
Bài 1: Cho , chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp
không có số nào là số chính phương.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Bài 3: Tìm các chữ số sao cho nếu chia cho có thương là 16 dư r, nếu
chia cho được thương là 16 nhưng có số dư nhỏ hơn r là .
Bài 4: Cho tam giác ABC và một điểm O thuộc miền trong tam giác. Các đường thẳng
lần lượt cắt các cạnh tại .
a/ CMR: không phụ thuộc vào vị trí điểm O.
22
b/ CMR trong ba tỉ số và có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 2 và có ít
nhất một tỉ số không lớn hơn 2.
Bài 5: Các điểm đối xứng với trực tâm của tam giác qua các cạnh của tam giác ấy tạo
thành một tam giác. Các giao điểm của các cạnh hai tam giác này tạo thành một lục
giác. CMR đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện của lục giác này cắt nhau tại một điểm.
2/ ta có
ta có hệ pt tương đương:
Đặt ta có
Với dễ dàng c/m được bằng BDT côsi
Dấu bằng khi
3/theo đề bài ta có các biểu thức sau:

(1)
(2)
23
lấy (1)-(2) nên chia hết cho
8 mà
nên mà x là số nguyên nên ta chỉ nhận TH
Thử lại:
55555=16.3333+2227
5555=16.333+2227-2000
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
THỰC NGHIỆM TÂY NINH
VÒNG I
Câu 1.
a/ Cho thỏa . CMR:
b/ CMR: thì
c/ CMR: thì
Câu 2. Cho thỏa
a/ Tìm
b/ Tìm
Câu 3.
a/ Cho . CMR: là số nguyên lẻ thì
b/ Tìm thỏa đồng thời cả 2 điều kiện:
-
-
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC=b, AB=c, phân giác AD=d.
CMR:
Câu 5. Cho tam giác ABC có 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao
Tìm
24
ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG II

Thời gian: 120 phút
Câu 1.
a/ Cho x,y,z > 0 thỏa mãn . Tìm GTLN của
b/ Cho a là một hằng số nguyên khác 0. Tìm GTLN và GTNN của:
là số nguyên.
Câu 2.
a/ Cho . Tìm GTNN của
b/ CMR: nếu là nghiệm của phương trình:
thì
c/ Cho 3 số thỏa . CMR:
Câu 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R). Một điểm O bất kì nằm trong
miền trong của tam giác. Gọi x,y,z là khoảng cách từ O đến BC,AC,AB, biết BC=a,
AC=b, AB=c. CMR:
Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R), D thuộc cung BC không chứa A. Kẻ DH, DI,
DK lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Xác định D để đạt GTNN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 10-TP
HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2002 – 2003
Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (3 điểm) Giải phương trình :
Bài 2 : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : với a, b trái dấu.
Bài 3 : (3 điểm) Rút gọn :
Bài 4 : (3 điểm) Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích
lớn nhất ? Tính diện tích đó.
Bài 5 : (4 điểm) Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp
25