ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH BẮC NINH 2013-2014

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số
1
1
x
y
x



có đồ thị (C). Biết một nhánh của đồ thị (C) cắt Ox, Oy
lần lượt tại A, B. Tìm trên nhánh còn lại của (C) điểm M sao cho diện tích tam giác MAB bằng 3.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình
 
2 2
2 1
cos cos sin +1
3 3 2
x x x
 
   
   
   
   
.
2. Giải hệ phương trình
 
 
 
2 3 3
2 2

2 3 2 3 2
2 2 2 2
log 3 2 log 3 3 0
, .
log 3log 4 2log 6log 4 0
y x x y x x
x y
x y y x y y

      



      



Câu 3. (5,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B,
2AB BC
. Gọi D
là trung điểm của AB, E nằm trên đoạn thẳng AC sao cho
3 .AC EC
Biết phương trình đường
thẳng chứa CD là
3 1 0x y  
và điểm
16
;1
3

E
 
 
 
. Tìm tọa độ các điểm
, , .A B C
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 3
:
2 1 2
x y z
d
  
 

, điểm
3 3 1
; ;
2 2 2
M

 
 
 
và mặt cầu
 
2 2 2
: 2 4 6 5 0S x y z x y z      
. Viết phương trình mặt phẳng
(P) song song với d, tiếp xúc với (S) và khoảng cách từ M đến (P) bằng

3
2
.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có
6, 8, 10AB AC BC  
, thể tích khối
chóp
'. ' 'C ABB A
là 80. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác
' ' 'A B C
. Tính thể tích khối
chóp M.ABC và tìm vị trí của điểm M sao cho tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp M.ABC
nhỏ nhất.
Câu 5. (3,5 điểm)
1. Tính tích phân
2
3 3
2 8 11
1
1 1 1
2 .I x dx
x x x
 
   
 
 

2. Chứng minh rằng

0 2 4 2014 2013
2014 2014 2014 2014
3 5 7 2017 1010.2 .C C C C    
Câu 6. (1,5 điểm)
Cho các số thực
, , ,a b c d
thỏa mãn
,a d b c 
và
2012 2012 2012 2012
2014 2014 2014 2014
a b c d
a b c d

  


  


Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c             
Hết
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC