SILDE CƠ LƯU CHẤT CHƯƠNG 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (534.3 KB, 17 trang )

CHƯƠNG III: ĐỘNG HỌC
CHƯƠNG III: ĐỘNG HỌC
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất
II./ Các khái niệm
III./ Phân loại chuyển động
IV./ Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất
V./ Phương trình liên tục
VI./ Phân tích chuyển động của lưu chất

I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất:
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất:
1./ Phương pháp Lagrange:
- Chuyển động của thể tích lưu chất được mô tả bởi vò trí của các
phần tử theo thời gian của thể tích:
- Ưu điểm: mô tả chuyển động một cách chi tiết.
- Khuyết điểm: số lượng phương trình phải giải quá lớn (3n); không
thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử.
- Khả năng áp dụng: phòng thí nghiệm.
( )
( )
( )










=
=
=
⇒









=
=
=
⇒









=
=
=
dt

du
a
dt
du
a
dt
du
a
dt
dz
u
dt
dy
u
dt
dx
u
t,z,y,xzz
t,z,y,xyy
t,z,y,xxx
z
z
y
y
x
x
z
y
x
000

000
000

2./ Phương pháp Euler:
- Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận
tốc và được mô tả bởi một hàm vận tốc liên tục theo không gian và
thời gian:
Ưu điểm: chỉ có 3 phương trình.
Khuyết điểm: không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động.
Khả năng áp dụng: tính toán.
( )
( )
( )





⇒





=
=
=
đạo Quỹ

tốc Gia

tzyxuu
tzyxuu
tzyxuu
zz
yy
xx
,,,
,,,
,,,
9 9 1 0 1 1 0 3 1 0 5 1 0 7 1 0 9 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 9 1 2 1
- 3
- 1
1
3
5
7
9
1 1
1 3
1 5
1 7
1 9
2 1
2 3
2 5
T h ¸ n g 1
V Ë n t è c t r ª n b Ị m Ỉ t
0 . 1 m / s

0 . 5 m / s
S c a l e
0 . 0 5 m / s
0 . 0 1 m / s
V
i
e
ä
t

n
a
m
Trung quốc
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt):
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt):

II./ Các khái niệm:
II./ Các khái niệm:
1./ Đường dòng:
•
Đường dòng: Là đường cong vạch ra trong lchất chuyển động sao
cho vector vận tốc của các phần tử lưu chất chuyển động trên đó
tiếp tuyến với nó.
Có thể thay đổi theo thời gian.
Phương trình
2./ Ống dòng, dòng chảy.
°
ng dòng là bề mặt dạng ống tạo bởi vô số các đường dòng cùng

đi qua một chu vi khép kín.
°
Dòng chảy là khối lượng lưu chất chuyển động bên trong ống dòng
Ví dụ: mặt trong của đường ống; bề mặt lòng sông cùng với mặt
thoáng… là các ống dòng .
zyx
u
dz
u
dy
u
dx
==
s
u
u

3./ Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực.
- Mặt cắt ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với
các đường dòng và nằm bên trong ống dòng.
- Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc
với thành rắn (τ≠0).
- Bán kính thủy lực (R)
4./ Lưu lượng, vận tốc trung bình mặt cắt.
- Lưu lượng (Q) là thể tích lưu chất chuyển động ngang qua mặt cắt
ướt trong một đơn vò thời gian.
- Vận tốc trung bình mặt cắt (V):
PAR =
AQV =

A
P
A
dA
u
II./ Các khái niệm (tt):
II./ Các khái niệm (tt):

III./ Phân lọai chuyển động:
III./ Phân lọai chuyển động:
1./Theo ảnh hưởng của độ nhớt:
°
Chuyển động của lưu chất lý tưởng (µ = 0)
°
Chuyển động của lưu chất thực (µ ≠ 0)
2./Theo ảnh hưởng của khối lượng riêng:
°
Chuyển động của lưu chất không nén được (ρ = const)
°
Chuyển động của lưu chất nén được (ρ = var)
3./Theo ảnh hưởng của thời gian:
°
Chuyển động của lưu chất là ổn đònh ( )
°
Chuyển động của lưu chất là không ổn đònh ( )
4./Theo không gian của chuyển động:
°
Chuyển động của lưu chất là 1 chiều (u ≠ 0; v = w = 0)
°

Chuyển động của lưu chất là 2 chiều (u ≠ 0; v ≠ 0; w= 0)
°
Chuyển động của lưu chất là 3 chiều (u ≠ 0; v ≠ 0; w ≠ 0)
0≠∂∂ t
0=∂∂ t

5./Theo trạng thái chảy:
°
Chuyển động tầng: là trạng thái chảy mà ở đó các phần
tử lưu chất chuyển động trượt trên nhau thành từ tầng,
từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau.
°
Chuyển động rối: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử
lưu chất chuyển động hỗn loạn, các lớp lưu chất xáo trộn
vào nhau.
°
Thí nghiệm Reynolds
Mực màu
Tia mực
III./ Phân lọai chuyển động (tt):
III./ Phân lọai chuyển động (tt):

IV. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất
IV. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất
- Xét phần tử lưu chất chuyển động
trên quỹ đạo của nó (dùng biến
Lagrange), gia tốc của ptử :
Trong biến Euler, vận tốc là hàm theo không gian và thời gian ->

vận tốc u được tính theo u
0
bằng chuỗi Taylor:
Thay vào biểu thức giới hạn:
và thực hiện phép tính giới hạn:
0
u

s
Quỹ đạo
u

( )
0000
,,, zyxt







∆+=
∆+=
∆+=
∆+=
zzz
yyy
xxx
ttt

0
0
0
0
t
uu
dt
ud
a
t
∆
−
==
→∆
0
0
lim


z
z
u
y
y
u
x
x
u
t
t

u
uu ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+=


0








∆
∆
∂
∂
+

∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
+
∂
∂
=
→∆
t
z
z
u
t
y
y
u
t
x
x
u
t
u
a
t



0
lim
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
a
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=




V. Phương trình liên tục
V. Phương trình liên tục
1./ Phương trình liên tục.
- Đònh luật bảo toàn khối lượng: tốc độ gia tăng của khối lượng
của một hệ vật chất bằng khối lượng chuyển động vào hệ trong
1 đơn vò thời gian.
- p dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:
Klượng lưu chất trong thể tích:
Klượng lchất cđộng ra khỏi thể tích:
- Theo ĐL bảo toàn:
- Đối với lưu chất không nén được, ρ=const:
∫
V
dV
ρ








=
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
0
z
u
y
u
x
u
z
y
x
∫
S
n
dSu
ρ
0=+
∂
∂
∫∫
S
n
V
dSudV
t
ρρ

( )
0=∇+
∂
∂
⇒ u
t

ρ
ρ

( )
0=udiv

V
S
u
u
n
u
n
.dS
n


2./Ptrình liên tục cho dòng chảy ổn đònh của lc không nén được.
- Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-
2
Trong trường hợp lưu chất không nén được, chuyển động ổn đònh
ptrình liên tục dưới dạng tích phân được rút gọn còn:

Chia diện tích bao bọc S = A
1
+ A
2
+ S
n
Tách tích phân thành tổng của 3 tích phân:
Hai tích phân đầu cho lưu lượng ngang qua các mcắt 1-1 và 2-2, còn
tích phân thứ 3 bằng không:
0=
∫
S
n
dSu
2
2
1
1
S
n
A
2
A
1
u
n
=0
n

n


u

u

0
21
=++
∫∫∫
n
S
n
A
n
A
n
dSudAudAu
0
21
=+− QQ
⇒=⇒
21
QQ
constQ =
V. Phương trình liên tục
V. Phương trình liên tục

VI. Phân tích chuyển động của lưu chất
VI. Phân tích chuyển động của lưu chất

°
Xét ptử lưu chất. Điểm M
0
được chọn
làm cực của ptử.
°
Giả sử vận tốc tại M
0
đã biết, câu
hỏi là vận tốc tại điểm M?
°
Sử dụng chuỗi Taylor, bỏ qua số hạng
vô cùng nhỏ bậc cao, tphần vận tốc u
x
:
°
Cộng và trừ số hạng vào vế phải của
biểu thức trên,
sau đó sắp xếp lại sẽ thu được biểu thức:
z
z
u
y
y
u
x
x
u
uu
xxx

x
x
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+=
0
x
z
y
M
0
M
∆
x
∆
z
∆
y
0
u

u










∆
∂
∂
+∆
∂
∂
z
x
u
y
x
u
z
y
2
1
z
x
u
z
u
y

x
u
y
u
x
x
u
uu
z
x
y
xx
x
x
∆






∂
∂
+
∂
∂
+∆









∂
∂
+
∂
∂
+∆
∂
∂
+=
2
1
2
1
0
z
x
u
z
u
y
x
u
y
u
z

x
y
x
∆






∂
∂
−
∂
∂
+∆








∂
∂
−
∂
∂
+

2
1
2
1

°
Đặt:
°
Thành phần vận tốc u
x
sẽ được tính bằng công thức:
°
Tương tự:
Ý nghóa các số hạng:
+ ε
x
: Giả sử mặt trái và mặt phải của ptử chỉ chuyển động theo
trục x với vận tốc u
0x
và u
x
tương ứng của điểm M
0
và M. Do có
sự chênh lệch vận tốc, sau 1 đơn vò thời gian, ptử dài ra một
đoạn là: u
x
-u
0x

°
Do đó tốc độ giãn dài tương đối của ptử là:








∂
∂
−
∂
∂
=








∂
∂
+
∂
∂
=

∂
∂
=
j
i
i
j
k
j
i
i
j
k
i
i
i
x
u
x
u

x
u
x
u

x
u
2
1

2
1
ωθε
;;
( ) ( )
zyzyxuu
yzyzx
x
x
∆+∆−+∆+∆+∆+=
ωωθθε
0
( ) ( )
xzxzyuu
zxzxy
y
y
∆+∆−+∆+∆+∆+=
ωωθθε
0
( ) ( )
yxyxzuu
xyxyz
z
z
∆+∆−+∆+∆+∆+=
ωωθθε
0
x
z

M
0
M
∆
x
∆
z
u
x
-u
0x
( )
xuu
x
x
∆−
0

°
Khi ∆x→ 0, ta có:
⇒
ε
i
- tốc độ giãn dài tương đối của ptử theo
trục x
i
.
+ θ
z

và ω
z
:
°
Giả sử mặt trên và mặt dưới của ptử chỉ chuyển
động theo trục x với vận tốc u
0x
và u
x
tương ứng
của điểm M
0
và M. Do có sự chênh lệch vận tốc,
sau 1 đơn vò tgian, ptử sẽ bò đổ nghiêng với góc:
°
Tương tự, do có sự chênh lệch thành phần vận
tốc trên phương y giữa mặt trái và mặt phải mà
ptử cũng sẽ bò đổ nghiêng với góc:
x
xx
x
x
u
x
uu
ε
=
∂
∂
→

∆
−
0
y
u
y
uu
xx
x
∂
∂
→
∆
−
≈
0
1
ω
x
y
M
0
M
∆
x
∆
y
u
y
-u

0y
ω
2
u
y
u
0y
x
y
M
0
M
∆
x
∆
y
u
x
-u
0x
ω
1
u
x
u
0x
x
u
y
uu

yy
y
∂
∂
→
∆
−
≈
0
2
ω

°
Nếu cả 2 chuyển động đồng thời xuất hiện, ptử sẽ bò thay đổi
như hình:
°
Trong 1 đơn vò thời gian ptử bò biến dạng một góc:
⇒ θ
k
- tốc độ bdạng góc của ptử quanh trục x
k
.
°
Trong 1 đơn vò thời gian ptử quay đi một góc:
⇒ ω
k
- tốc độ quay của ptử quanh trục x
k
.

°
Đònh lý Hemholm: Cđộng của ptử lưu chất bao gồm cđộng của
vật rắn (theo cực và quay quanh cực) và cđộng biến dạng
(bdạng dài và bdạng góc).
°
Vector vận tốc quay :
( )
z
x
y
y
u
x
u
θωω
=








∂
∂
+
∂
∂
=+

2
1
2
1
12
x
y
M
0
M’
∆
x
∆
y
ω
1
M
ω
2
(
ω
2
-
ω
1
)/2
( )
z
x
y

y
u
x
u
ωωω
=








∂
∂
−
∂
∂
=−
2
1
2
1
12
( )
urotukji
zyx





2
1
2
1
=×∇=++=
ωωωω

Ví dụ 1: Cho vector vận tốc gồm 3 thành phần:
u
x
= x
2
+ y
2
+ z
2

u
y
= xy + yz + z
2

u
x
= -3xz + z
2
/2 + 4

Tìm vector vận tốc quay?
Giải
( )
( )
( )











−=








∂
∂
−
∂
∂

=
+=






∂
∂
−
∂
∂
=
−−=








∂
∂
−
∂
∂
=
=

yy
y
u
x
u
zz
x
u
z
u
zy
z
u
y
u
x
y
z
z
x
y
y
z
x
2
2
1
2
1
32

2
1
2
1
20
2
1
2
1
ω
ω
ω
ω

kyjzizy



)2/()2/5()2/( −++−=
ω

Ví dụ 2: Chuyển động có vector vận tốc:
u
x
= ay + by
2

u
y

= uz =0
Với a, b là hằng số
a./ Chuyển động có quay không?
b./ Xác đònh a, b để không có biến dạng góc.
Giải:

chuyển động quay ∀a, b ≠ 0
không có cặp a, b nào để biến dạng góc bằng 0
( )
02
2
1
2
1
≠+−=








∂
∂
−
∂
∂
= bya
y

u
x
u
x
y
z
ω
( )
02
2
1
2
1
≠+=








∂
∂
+
∂
∂
= bya
y
u

x
u
x
y
zy
ε

Ví dụ 3: Ch t l ng lý t ng quay quanh trục thẳng đứng (Oz). Giả sử ấ ỏ ưở
vận tốc quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghòch với khoảng
cách từ trục quay trên phương bán kính (u =a/r; a>0 là hằng số).
a./ Chứng minh rằng đây là một chuyển động thế.
b./ Tìm phương trình các đường dòng
Giải:
Suy ra:
Vậy:
Chuyển động là không quay (thế) trên mặt phẳng xOy
Phương trình các đường dòng:
222
x
r
a
ox)u.cos(u,u
yx
ay
r
ay
r
y
+