SLIDE CƠ LƯU CHẤT CHƯƠNG 4

CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
I.
I.
Phương trình vi phân chuy n động của lưu chấtể
Phương trình vi phân chuy n động của lưu chấtể
II.
II.
Phương trình năng lượng
Phương trình năng lượng
III.
III.
Tích phân phương trình euler
Tích phân phương trình euler
IV.
IV.
Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thựcươ
Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thựcươ
V.
V.
Ph ng trình biến thiên động lượngươ
Ph ng trình biến thiên động lượngươ


I. Phương trình vi phân chuy n động của lưu chất:ể
I. Phương trình vi phân chuy n động của lưu chất:ể
1. Phương trình Euler cho chuyển động của lưu chất lý tưởng.
°
Lưu chất lý tưởng: µ=0 ⇒ τ=0
⇒ khái niệm áp suất:

°
Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x:
°
Lực khối:
°
Lực mặt:
°
Phương trình Đònh luật II Newton trên phương x cho phần tử =>
°
Tương tự:
hay
x
z
F

y
dx
dy
dz
p,
ρ
2
dx
x
p
p
∂
∂
+
2

dx
x
p
p
∂
∂
−
ii
p
σ
=
z
p
F
dt
du
z
z
∂
∂
−=
ρ
1
( )
pgradF
dt
ud
ρ
1
−=



x
Fdxdydz
ρ
dxdydz
x
p
∂
∂
−
x
p
F
dt
du
x
x
∂
∂
−=
ρ
1
y
p
F
dt
du
y
y

∂
∂
−=
ρ
1


I. Phương trình vi phân c.động của lưu chất (tt):
I. Phương trình vi phân c.động của lưu chất (tt):
2. Phương trình Navier-Stokes cho chuyển động của lưu chất thực.
°
Lưu chất thực: µ≠0 ⇒ τ≠0
°
Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên
phương x:
°
Lực khối:
°
Lực mặt:
°
Viết phương trình Đònh luật II Newton trên phương x cho phần
tử =>
°
Giả thiết Stokes:
với
( )
zzyyxx
p
σσσ
++=

3
1








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
zyx
F
dt
du
zx
yx
xx
x
x
σ
σ

σ
ρ
1
dxdydz
zyx
zx
yx
xx








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
σ
x
z
F


dx
dy
dz
dz
z
zx
zx
∂
∂
+
τ
τ
xx
σ
τ
zx
τ
yx
dy
y
yx
yx
∂
∂
+
τ
τ
dx
x

xx
xx
∂
∂
+
σ
σ
x
Fdxdydz
ρ
ij
l
l
i
j
j
i
ijij
x
u
x
u
x
u
p
δµµδσ
∂
∂
−









∂
∂
+
∂
∂
+−=
3
2


°
Đưa tới phương trình Navier-Stokes trên trục x:
°
Dưới dạng vector:
°
Đối với lưu chất không nén được:
°
Lưu ý gia tốc được tính:









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
+=
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
p
F
dt
du
z
y
xxxx
x
x
ρ
µ
ρ
µ

ρ
3
11
2
2
2
2
2
2
( ) ( )
uupgradF
dt
ud



∇∇+∇+−=
νν
ρ
3
11
2
( )
upgradF
dt
ud



2

1
∇+−=
ν
ρ
uu
t
u
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
ud
zyx


∇+
∂
∂
=
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=


II. Phương trình năng lượng
II. Phương trình năng lượng
1. Phương trình vận tải năng lượng:
°
Đònh luật bảo toàn năng lượng (ĐL thứ nhất của nhiệt động lực
học): Tốc độ biến thiên của động năng và nội năng bằng tổng
công cơ học của ngoại lực và các dòng năng lượng khác trên 1
đơn vò thời gian
e: nội năng (khí lý tưởng: ; chất lỏng không nén: )
dòng nhiệt riêng đi vào qua bề mặt bao bọc
°
Đònh luật truyền nhiệt Fourier:
°
Biến đổi:
°
Thu được:
( )
∫∫∫∫
−+=









+
S
e
n
S
n
VV
dSqdSudVuFdVe
u
dt
d



2
2
σρρ
( )
e
q

( )

∫∫∫
∇==
V
i
ij
j
S
ji
ij
S
n
dVudSnudSu
σσσ


.
( )
.TλTλ.gradq ∇−=−=

( ) ( )
TuuFe
u
dt
d
j
ji
ij
j
j
j

∇∇+∇+=








+
λ
ρ
σ
ρ
11
.
2
2
( )
( )
∫∫∫
∇∇−=∇=
V
j
j
V
j
j
S
e

n
dVTdVqdSq
λ
Tce
V
=
cT=e


II. Phương trình năng lượng (tt)
II. Phương trình năng lượng (tt)
2. Phương trình vận tải động năng:
°
Ptrình Navier dưới dạng tensor:
°
Nhân ptrình trên cho u
i
:
3. Phương trình vận tải nội năng:
°
Trừ ptrình vận tải năng lượng cho ptrình vận tải động năng:
°
Sử dụng giả thiết Stokes và cho lưu chất không nén được:
( )
( )
ij
ijj
j
uT
dt

de
∇+∇∇=
σ
ρ
λ
ρ
11








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
zyx
F
dt
du
zx
yx

xx
x
x
σ
σ
σ
ρ
1
ij
ji
i
F
dt
du
σ
ρ
∇+=⇒
1
( )
⇒






∇+=
i
ij
ji

i
uF
dt
du
σ
ρ
1
( )
( )
ij
ij
i
ij
j
i
i
uuuF
u
dt
d
∇−∇+=








σ

ρ
σ
ρ
11
2
2
2
2
2








∂
∂
+
∂
∂
+∇=
i
j
j
i
x
u
x

u
T
dt
de
ρ
µ
ρ
λ


III. Tớch phaõn phửụng trỡnh euler
III. Tớch phaõn phửụng trỡnh euler

Phửụng trỡnh Euler daùng Lambo-Gromeko:

Giaỷ thieỏt:


= const



Phửụng trỡnh Euler daùng Lambo-Gromeko thaứnh:
( )
pgradFu
u
grad
t
u

1
2
2
2
=ì+








+






( )
UgradF =

02
2
2
=ì+

+++


u
up
Ugrad
t
u







III. Tích phân phương trình euler (tt)
III. Tích phân phương trình euler (tt)
1. Trường hợp chuyển động có thế.
°
Chuyển động có thế: và
°
Phương trình Euler trên thành:
°
Trong trường trọng lực: U = - gz

(Tphân Lagrange)
°
Đối với chuyển động ổn đònh:
( )
tC
g
up
z
tg
=+++
∂
∂
2
1
2
γ
ϕ
C
g
up
z =++
2
2
γ
( )
ϕ
gradu =

0=
ω


( )
[ ]
0
2
2
=








++−+
∂
∂ up
Ugradgrad
t
ρ
ϕ
( )
tC
up
U
t
=++−
∂
∂

⇒
2
2
ρ
ϕ


III. Tích phân phương trình euler (tt)
III. Tích phân phương trình euler (tt)
2. Trường hợp lưu chất chuyển động ổn
đònh, tphân dọc đường dòng.
°
Lấy vi phân chiều dài đường
dòng:
°
Nhân vô hướng nó với pt. Euler:
°
Rút ra:
°
Trong trường trọng lực: U = - gz
(Ptrình Bernoulli)
sd

s
R
O
τ

n


b

u

sd

nd

0.2
2
2
=






×+








++−+
∂
∂

sdu
up
Ugrad
t
u



ω
ρ
0
2
2
=








++−⇒
τ
ρ
up
Ud
τ
ρ
C

up
U =++−
2
2
τ
γ
C
g
up
z =++
2
2


III. Tích phân phương trình euler (tt)
III. Tích phân phương trình euler (tt)
3 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn đònh, tphân theo phương
vuông góc với đường dòng.
°
Phương trình Euler trong hệ toạ độ tự nhiên:
°
Lấy vi phân chiều dài đường pháp tuyến với đường dòng:
°
Nhân vô hướng nó với pt. Euler:
°
Khi R → ∞:
°
Trong trường trọng lực: U = - gz
(Tphân Euler)
nd


n
C
p
z =+
γ
( )








+−−=−
∂
∂
+
∂
∂
ρ
τ
p
Ugradn
R
u
s
u
t

u


22
2
( )
nd
p
Ugradndn
R
u
s
u
t
u










+−=







−
∂
∂
+
∂
∂
ρ
τ
22
2
n
p
Uddn
R
u








+−=⇒
ρ
2
n
C

p
U =+−
ρ


III. Tích phân phương trình euler (tt)
III. Tích phân phương trình euler (tt)
Ýnghóa năng lượng của các số hạng tích phân.
°
Xét pt Bernoulli. Quá trình thiết lập qua các bước:
°
Các số hạng:
°
⇒ Phương trình Bernoulli là pt bảo toàn năng lượng
0.2
2
2
=






×+









++−+
∂
∂
sdu
up
Ugrad
t
u



ω
ρ
0
2
2
=








++−
τ

ρ
up
Ud
τ
ρ
C
up
U =++−
2
2
τ
γ
C
g
up
z =++
2
2
( )
đường Quãng
lchất klượng
1đv trên Lực
×









→
lchất klượng 1đv từ ra sinh Công→
lchất tlượng 1đv của lượng ăngN→
cđộng trong đổi thay không nó và
lchất klượng 1đv của lượng ăngN
→
gu 2
2
γ
pz +
tónh) áp(cột lchất tlượng 1đv của năng Thế →
tốc) vận áp(cột lchất tlượng 1đv của năng Động→
g
up
z
2
2
++
γ
lchất tlượng 1đv của phần toàn lượng ăngN→
phần) toàn áp(cột




IV. Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thựcươ
IV. Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thựcươ

°
Xét đoạn dòng chảy ổn đònh nằm giữa 2
mcắt ướt 1-1 và 2-2.
°
Xét 1 đường dòng trong đoạn dòng chảy.
Nếu cho rằng lưu chất là lý tưởng, ptrình
Bernoulli cho đường dòng:
°
Phương trình trên thể hiện tính bảo toàn.
Nếu lưu chất là “thực” thì:
°
Bây giờ xét 1 dòng chảy nguyên tố. Năng lượng của nó biến đổi theo ptrình:
°
Như vậy cho toàn bộ dòng chảy, năng lượng của nó sẽ biến đổi theo ptrình:
1
1
2
2
γ
dQ
γ
dQ
dQ
Q
g
up
z
g
up
z

22
2
22
2
2
11
1
++=++
γγ
f
h
g
up
z
g
up
z
′
+++=++
22
2
22
2
2
11
1
γγ
dQhdQ
g
up

zdQ
g
up
z
f
γγ
γ
γ
γ
′
+








++=








++
22

2
22
2
2
11
1
lchất) tlượng đv 1 của nlượngthất tổn :
f
h
′
(
∫∫∫∫∫
′
++








+=+









+
Q
f
AAAA
dQhdQ
g
u
dQ
p
zdQ
g
u
dQ
p
z
γ
γγγ
γ
γγ
γ
2211
22
2
22
2
2
11
1

IV. Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực(tt)ươ
IV. Ph ng trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực(tt)ươ
°
Thực hiện các tích phân:
°
Thay vào cho kết quả:
°
Ghi chú:
1. Điều kiện áp dụng pt Bernoulli cho dòng chảy:
°
; ρ=const;
°
Tại hai mcắt áp dụng pt, dòng chảy phải là biến đổi chậm.
°
Trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt, không có nhập lưu hoặc tách lưu.
2. Nếu trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt viết pt có turbine, máy bơm:
Q
p
zdQ
p
z
A
γ
γ
γ
γ









+=








+→
∫
chậm bđổi là chảy dòng ớt mcắt tại :kiện Điều
Q
g
V
dQ
g
u
A
γ
α
γ
22
22
=→

∫
đnăng, hchỉnh hsố :
α
( )
10,105,1
1
3
÷≈






=
∫
A
dA
V
u
A
α
QhdQh
f
Q
f
γγ
γ
=
′

→
∫
lchất tlượng đv 1 của lượng năngthất tổn :
f
h
áp)cột thất (tổn
f
h
g
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
11
1
α
γ
α
γ
0=∂∂ t
gF


=

BTff
HHhh −+→


1. Phương trình biến thiên động lượng.
Nguyên lý biến thiên động lượng: tốc độ biến thiên của động lượng
của một hệ vật chất bằng vector tổng ngoại lực tác dụng lên hệ.
p dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:
Biến đổi:
Đối với dòng chảy ổn đònh, ptrình biến thiên
động lượng là:
RdVu
dt
d
V


=
∫
ρ
V
S
u
u
n
u
n
.dS
n


RdSuudVu
t
S
n
V


=+
∂
∂
∫∫
ρρ
RdSuu
S
n


=
∫
ρ
V. Ph ng trình biến thiên động lượngươ
V. Ph ng trình biến thiên động lượngươ


2. Ptrình biến thiên đlượng cho dchảy ổn đònh của lchất không nén được.
Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-2
Chia diện tích bao bọc S = A
1
+ A
2

+ S
n
Ptrình biến thiên động lượng thành:
Tích phân thứ 3 bằng không còn hai tích
phân đầu được viết lại thành:
Các tích phân này được thực hiện:
Thay vào cho kết quả:
RdSuudSuudSuu
n
S
n
A
n
A
n


=++
∫∫∫
ρρρ
21
2
2
1
1
S
n
A
2
A

1
u
n
=0
n

n

u

u

RdQudQu
AA


=+−
∫∫
21
ρρ
QVdQu
A
ρβρ


=
∫
( )
1122
VVQR


ββρ
−=
đlượng, hchỉnh hsố :
β
( )
05,102,1
1
2
÷≈






=
∫
A
dA
V
u
A
β
∑∑
−=
111222
VQVQR

βρβρ

⇒
V. Ph ng trình biến thiên động lượng (tt)ươ
V. Ph ng trình biến thiên động lượng (tt)ươ


VD
1
: Cho 1 vòi có tiết diện A = 10cm
2
,

phun nước với vận tốc v = 30m/s
vào tấm phẳng đặt nằm nghiêng 1 góc α=60
0
so với phương ngang.
Bỏ qua ma sát, không khí, hỏi:
a) Nếu tấm phẳng đứng yên (u =0), lực F tác dụng lên tấm phẳng, lưu
lượng Q
2
, Q
3.
b) Nếu tấm phẳng di chuyển (u =10m/s), lực F tác dụng lên tấm phẳng,
phản lực N của tấm phẳng
Giải:
a) Lấy thể tích kiểm soát như hình. Ngoại lực:
Trọng lượng nước trong TTKS
Phản lực của tấm phẳng
Phương trình biến thiên động lượng cho TTKS
Hay:
Chấp nhận xấp xỉ:

G

'
F

111333222
'
VQVQVQFG


βρβρβρ
−+=+
(*)
111333222
VQVQVQFG


βρβρβρ
−+=−



=≈
<<≈
)3,2,1(
)(0
ivv
FGG
i
)( F


−=
u
V
1
,Q
1
V
2
,Q
2
V
3
,Q
3
F’
F


Chiếu (*) lên phương n:
-F = -ρ.Q
1
.β
1
.v
1
.sinα => F= ρ.A . v
2
1
.sinα (**)

Với Q
1
= v
1
.A , β
1
=1
Hay F= ρ.A . v
2
.sinα . Thế số F = 1000.10.10
-4
.30
2
.sin60
0
=779,4 N
Chiếu (*) lên phương τ:
0 = ρQ
2
β
2
v
2
- ρQ
3
β
3
v
3
- ρQ

1
β
1
v
1
cosα
Suy ra: 0 = Q
2
–Q
3
–Q
1
cosα (1)
ptlt c:ụ Q
1
= Q
2
–Q
3
(2)
(1) và (2): Q
2
= Q
1
(1+cos α)/2 ; Q
3
= Q
1
(1-cos α)/2
b)u = 10m/s

Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vòi chuyển động giật lùi
với vận tốc v
1
= v-u. Suy ra: F = ρ.A . (v-u)
2
.sinα =346,4 N
Công suất của tấm phẳng: N = F.u.sinα =3000 W
Công suất của vòi: N
v
= γQv
2
/2g = ρ.A . v
3
/2 = 13500 W
Hiệu suất tấm phẳng: η = N/N
v
= 22,22%