Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm học 2015-2016 - Sở GD-ĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm: 01 trang)
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Cho đa thức
( )
2
P x ax bx c
= + +
. Biết
( )
P x
chia cho
1x +
dư 3,
( )
P x
chia cho
x
dư 1 và
( )
P x
chia cho
1x
−
dư 5. Tìm các hệ số
, ,a b c

.
2) Cho các số
, , ,a b x y
thỏa mãn
4 4
2 2
1
0, 0, ; 1
x y
ab a b x y
a b a b
≠ + ≠ + = + =
+
. Chứng minh rằng:
a)
2 2
.ay bx
=
b)
( )
200 200
100
100 100
2
.
x y
a b
a b
+ =
+

Bài 2. (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
2
2
3
4 4
4 4 6.
y x y x x x
x y x y

− − − = −


− + − =


2) Giải phương trình
( )
2 2
3 1 3 3 4 7 0.x x x x x
+ + + − − − =
Bài 3. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn
( ) ( )
1 2
,O O
tiếp xúc ngoài tại
.M
Một đường thẳng cắt đường

tròn
( )
1
O
tại hai điểm phân biệt
,A B
và tiếp xúc với đường tròn
( )
2
O
tại
E
(
B
nằm giữa
A
và
E
).
Đường thẳng
EM
cắt đường tròn
( )
1
O
tại điểm
J
khác
M .
Gọi

C
là điểm thuộc cung
MJ
không
chứa
,A B
của đường tròn
( )
1
O
(
C
khác
M
và
J
). Kẻ tiếp tuyến
CF
với đường tròn
( )
2
O
(
F
là
tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng
,CF MJ
không cắt nhau. Gọi
I
là giao điểm của các đường thẳng

JC
và
,EF
K
là giao điểm khác
A
của đường thẳng
AI
và đường tròn
( )
1
.O
Chứng minh rằng:
1) Tứ giác
MCFI
là tứ giác nội tiếp và
JA JI JE.JM .= =
2)
CI
là phân giác góc ngoài tại
C
của tam giác
.ABC
3)
K
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCI.
Bài 4. (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên
,x y
thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879.
x x x x y
+ + + + − =
Bài 5. (1,5 điểm)
1) Trong mặt phẳng cho tập
S
gồm 8065 điểm đôi một phân biệt mà diện tích của mỗi tam giác có
3 đỉnh thuộc tập
S
đều không lớn hơn 1 (quy ước nếu 3 điểm thẳng hàng thì diện tích của tam giác tạo bởi
3 điểm này bằng 0). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác
T
có diện tích không lớn hơn 1 chứa ít nhất
2017 điểm thuộc tập
S
(mỗi điểm trong số 2017 điểm đó nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác
T
).
2) Cho ba số dương
a, b, c
. Chứng minh bất đẳng thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
3.
2 2 2
a b c b c a c a b

a b c b c a c a b
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
HẾT
Họ và tên thí sinh:…………………
Số báo danh:………………………
Họ tên, chữ ký GT 1……………………
Họ tên, chữ ký GT 2……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC