Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 5

ĐỀ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y
hai tiếp tuyến
tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn
bởi:
xy
2
log=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ
( )
( )






<+++
<++−
077
022
2
2
mxmx
mxmx
có nghiệm.
2. Giải phương trình
332
2
+=−− xxx
.
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos ≤
++
+++
CBA
CBA
.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phương trình

( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=−+−− xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
−++
→
.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đường thẳng



=−−−
=−−+
0122
0322
zyx
zyx
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dương và 1 ≤ α ∈ R, chứng minh rằng:

11
1
11
1
11
1
−−
−
−−
−
−−
−
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
αα
α
αα
α
αα
α
αα

α
αα
α
αα
α
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
1