ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường CHUYÊN bẮC NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN – TIN
ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ NGHỊ DHBB 2015
MÔN TOÁN 10
Câu 1
+ ĐK:
7
; 1
2
x y
≥ ≥
+ Biến đổi (1) được:
( ) ( )
2
4 2 8 2 4xy y xy y x y− + − + = +

( )
( )
2
2
2 2 2 2xy y x y y x
⇔ − + = + ⇔ ⇔ = −
+ Thế vào (2) ta được:
3 8
2 7 3
2
x
x x
−
− + − =
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

( )
2 7 1 2 6
2 7 2 7 .1
2 2
x x
x x
− + −
− = − ≤ =

( )
3 1 2
3 3 .1
2 2
x x
x x
− + −
− = − ≤ =
Suy ra
3 8
2 7 3
2
x
x x
−
− + − ≤
. Dấu
' '
=
xảy ra khi và chỉ khi

4x
=
Vậy nghiệm
( )
;x y
cần tìm là
( )
4;2 .
Câu 2
a) Gọi I, G là điểm chính giữa cung lớn và cung nhỏ cung AB của đường
tròn(O).
 !"#$$%
&'()*+, 
b) Bằng cộng góc ta có
180HFG HQG
ο
∠ + ∠ =
suy ra tứ giác HFGQ nội
tiếp.
/01!" 23!" 2&456!" 2*7.$8!" 2&
461 9#!:86;<$85=&>?#
!:8,,5@?()8*+, 
4
7

,
;
<

'


5
Cõu 3
- Chứng minh có nghiệm.
Nếu P(x) có bậc chẵn thì
)0())().((lim PxPxP
x
>+=

, tức là (*) sai
Do đó P(x) có bậc lẻ, dẫn đến P(x) có nghiệm.
- Chứng minh có nghiệm duy nhất.
Giả sử P(x) có hơn 1 nghiệm và a < b là 2 nghiệm bé nhất.
Không giảm tổng quát, có thể coi
);(,0)( baxxP
>
, vì P(x) thoả mãn (*) thì -P(x) cũng thoả
mãn (*).
Khi đó tồn tại số c > b sao cho P(c) < 0 và
);(,0)( axxP
<
.
Vì
)
2
cc-2a
(P0c).P(c)-P(2a 0P(c) 2

2
+
=><<
aca
, tức là (*) sai.
Vậy giả sử trên sai, hay P(x) có nghiệm duy nhất.
Cõu 4
Trc ht khng nh trong b s cn tỡm khụng cú mt s 1.
- Nu trong b s cú s
5

a
thỡ bng cỏch thay
a
bi 2 s 2 v
2

a
v
gi nguyờn cỏc s cũn li ta c b s mi cú tng khụng i m tớch
ln hn.
- Nếu trong bộ số có từ 3 số 2 trở lên thì bằng cách thay 3 số (2, 2, 2) bởi 2
số (3, 3) và giữ nguyên các số còn lại ta cũng được bộ số mới có tổng
không đổi mà tích lớn hơn.
- Lại thấy rằng, nếu trong bộ số có mặt đồng thời số 2 và 4 hay có từ 2 số 4
trở lên thì ta cũng thay thế được thành bộ số mới “tốt hơn’’.
Vậy nên bây giờ ta chỉ xét các bộ số có tổng là 2015 mà hoặc gồm toàn số 3,
hoặc chỉ có 1 số 4 và các số 3, hoặc có 1 số 2 và các số 3, hoặc có 2 số 2 và
các số 3. Để ý rằng 2015 chia cho 3 dư 2 nên bộ số có được chỉ có thể là 1 số
2 và toàn số 3. Do đó bộ số cần tìm chính là 2 và 671 số 3.

Câu 5
AB"0@(CDEFG86HGAI
@J
!KGAL*M.
N (E?OGA8!KF(P
Q%?OGA(J!K  R@(6STUA
( GACVH A6H UW(X!%6
$%?OGA(Y?$)E1P(VUZUQ8X
6HA*M.6H$)*I6L616[6\6]6^6_6`6IP6II6IL6P6
I16I[6I\6I]6I^6I_6I`6LP6LI6LL6L16L[6L\6L]6L^6L_6L`.*a8
$)'.@J!K$)*L`6L616[6\6]6^6_6`6IP6II6IL6P6I16I[6
I\6I]6I^6I_6I`6LP6LI6LL6L16L[6L\6L]6L^6L_6I.*a8$)L."
$SVSU?
b
(c&Z0dO(& 
$)CD3-OZ6?(TPE$) =d$) eE
(&$8P*I.
AB*
I
6
L
6f6
1P
.8?$)E1P(VUZUNa
g(*

6
h
.8g(!KE$)$HU


i
h
$8jh
6?OZVS0dO(&CD*I.($%
$)*
I
6
L
6f6
1P
.R(g(!KE$)YkgA?
?(l:$)*L.
N(g(!KE$)'8IL6(g(!KE
$)''8]^NHTK$%*L. H$)'m@J!K
$)''I(lZVS0dO(&+F8
6HGAIJ!KGALR(Z@(A8(l
*1.
N?8A$EGA]W\GnL?8W6o
LTFL?8TNR6?OZ@(6(PY
!K@H?88?8TQ8$R6X(PnGAI
$8(PnGALp?n?8(UHGAIm@
J!KGAL?(qZ@(+F8?>r$%
*1.QJHGA*I.T@J!KGAL"0@(C
DEFG8