DAP AN DE THI HOC SINH GIOI 12 HA NOI Vong 2

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Ngày thi 28 - 10 - 2010
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài I.(3,5 điểm)
Cho
a,b,c,d
là các số nguyên dương đôi một khác nhau và p là số nguyên tố
thoả mãn điều kiện
p p p p
a b c d+ = +
. Chứng minh rằng
a c b d p− + − ≥
.
Bài II.(3,5 điểm)
Giải phương trình

2 3 3 5
2x sinx xcosx 2x 1 x x x 1+ + + = − + +
.
Bài III.(3,5 điểm)
Cho phương trình
1 1 1 3
...
x 1 2(x 2) n(x n) 4
+ + + =
+ + +
(với

*
n N∈
) (1) .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất.
b) Ứng với mỗi n phương trình (1) có nghiệm dương là x
n
. Tìm limx
n
.
Bài IV.(3,5 điểm)
Trên đường tròn tâm O lấy dây cung AM khác đường kính. Điểm I thuộc đoạn
OA ( I không trùng với O, A). Đường tròn tâm I bán kính IA cắt đường tròn đường
kính IM tại hai điểm B, C. Các tia MB, MI, MC cắt đường tròn tâm O lần lượt tại các
điểm thứ hai là D, E, F. Đường thẳng DF cắt các đường thẳng ME, MA và AE tương
ứng tại các điểm T, S và Q. Chứng minh rằng:
1) SD.SF = ST.SQ.
2) Ba điểm B, C, Q thẳng hàng.
Bài V.(3 điểm)
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
2
. Chứng minh rằng :

2011
1 2 2010 1 2 2010

1 2 2010 1 2 2010
(u 1)(u 1)...(u 1)(u u ... u )
P 2010
1 (u u ... u ) u u ...u
 
 
− − − + + +
= >
− + + +
.
Bài VI.(3 điểm)
Cho
x,y,z
là các số thực thoả mãn điều kiện:
2 2
2 2
x 4xy 6y 2
6y 8yz 3z 1





+ + =
+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P xy yz zx= + +
.
-----------------------------Hết-------------------------------
Họ và tên thí sinh:..................................Số báo danh:.........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
1/ +) Ta có:
p
a a 0(modp)− ≡
;
p
b b 0(modp)− ≡
;
p
c c 0(mod p)− ≡
;
p
d d 0(mod p)− ≡
;
vậy
p p p p
(a c ) (b d ) a c b d(modp)− + − ≡ − + −
a b c d(mod p)⇒ + ≡ +
+) TH1:
a b c d+ ≠ +
suy ra đpcm
+)TH2:
a b c d
+ = +
. Không mất tính tổng quát, giả sử
a c d b d a c d b
> > ⇒ < ⇒ > > >
Xét hàm số

p
f (t) t=
. Vì f(t) có đạo hàm trên các khoảng
( ) ( )
c;a ; b;d ⇒
tồn tại
1 2
t (c;a); t (b;d)∈ ∈
sao cho:
1
f (a) f (c)
f '(t )
a c
−
=
−
;
2
f (d) f (b)
f '(t )
d b
−
=
−
⇒

1 2
f '(t ) f '(t )=
vô lý vì p nguyên tố
1 2

t ;t
thuộc hai khoảng khác nhau.
2/
2 3 5
3
2x sinx x cos x 2x 1 x x x 1+ + + = − + +
4 2
3
x(2xsinx cosx x x 1) 1 2x 1⇔ + + − − = − +
Ta chứng minh :g(x) =
4 2
2xsinx cosx x x 1 0 x R+ + − − ≥ ∀ ∈
Vì g(x) là hàm chẵn nên ta chỉ xét
x 0≥
.
Ta có
3 4
2
x x
sinx x xsinx x
6 6
≥ − ⇒ ≥ −
;
2
x
cosx 1
2
≥ −
Suy ra
4

2 2 4
3 x
2xsinx cosx x 1 x x 1 x R
2 3
+ ≥ − + ≥ − + ∀ ∈
TH1: nếu
x 0>
: VT>0>VP pt vô nghiệm
TH2: nếu
x 0<
: VT<0<VP pt vô nghiệm
x 0=
thoả mãn.
Vậy phương trình có nghiệm
x 0=
To be cotin……………………………………..