ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên Lào Cai

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi này gồm có 01 trang, 05 câu
TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình
Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên
trong hình thang. Gọi tương ứng là giao điểm của với . Đường tròn
ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai . Chứng minh
đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà . Tìm tất cả các số nguyên
dương để
Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh
rằng
Câu 5: (4 điểm ) Cho là số nguyên dương. Đặt
Hãy chứng minh
Page 1
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Hết
HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN HDC ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút
Hướng dẫn chấm này gồm có 0 trang
TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình
Hướng dẫn chấm
Nội dung trả lời Điểm
Xét hệ phương trình
Điều kiện
Ta có phương trình (10
Do điều kiện nên:

phương trình vô nghiệm. Vậy .
Thay vào ta có
(Điều kiện )
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Page 2
HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Điều kiện )
Từ đó ta thu được nghiệm của hệ đã cho là
0,5
0,5
Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên
trong hình thang. Gọi tương ứng là giao điểm của với . Đường tròn
ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai . Chứng minh
đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn chấm
Nội dung trả lời Điểm
Gọi là giao điểm của và đường tròn . Gọi là giao điểm của
và đường tròn .
-Ta có (cùng bằng góc ). Do đo tứ giác nội tiếp (1).
*Ta có (cùng bằng góc ). Do đo tứ giác nội tiếp (2).
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Page 3
Từ (1) và (2) cho ta tứ giác CQDP nội tiếp. Mặt khác nên tứ giác
ABPQ nội tiếp.
Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác là . Khi đó là trục đẳng
phương của từng cặp ba đường tròn .
Gọi là giao điểm của và . Khi đó đi qua điểm cố định.
0,5
0,5
0,5
Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà . Tìm tất cả các số nguyên
dương để
Hướng dẫn chấm
Nội dung trả lời Điểm
Từ suy ra lẻ (*) .
Gọi là cấp của 2 theo .
Ta có (1)
.
Nếu (2)
Từ và suy ra hay , vô lý vì theo (*) thì lẻ.
Do đó không chia hết cho . Mà nên .
Do đó để thì
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chưng minh

rằng
Nội dung trả lời Điểm
Page 4
Đặt , suy ra
Áp dụng điều kiện , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Do nên ta có đánh giá:
Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh
Thật vậy . Điều này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó là nghiệm phương trình
Do đó hoặc các hoán vị
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Page 5