ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Đề thi chọn HSG vùng duyên hải Bắc Bộ lớp 10 năm 2015
(Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương)
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Giải hệ phương trình

( 1) ( 1) ( 1)
2 3 2 0
+ = + = +


+ + + =

x y y z z x
x y z
Câu 2. Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn

5 3 2
a b
− =
Câu 3. Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường tròn Ơle. Các đường cao
AX, BY, CZ đồng qui tại H. Gọi M là giao điểm của BH và XZ; N là giao
điểm của CH và XY. Chứng minh AE vuông góc với MN.
Câu 4. Cho các số thực a, b, c không âm và không có hai số nào cùng bằng
0. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
10
a bc b ca c ab
b c c a a b

+ + +
+ + ≥
+ + +
Đáp án Toán 10 chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương
Câu 1. Giải hệ phương trình
( 1) ( 1) ( 1)
2 3 2 0
+ = + = +


+ + + =

x y y z z x
x y z
Lời giải:
Xét
(1 ) (1 ) (1 )
+ = + = +
x y y z z x
Đẳng thức thứ 1 suy ra:
( 1 )
+ − =
y z x x
nên
Nếu
1
+ =
z x
thì
0

=
x
, suy ra
1
= −
z
không thỏa mãn
Nếu
1
+ ≠
z x
thì
1
=
+ −
x
y
z x
và đẳng thức thứ 2 trở thành
( 1)
( 1)
1
+
= +
+ −
x z
z x
z x
↔
1

+ ≠
z x
and
( )(( 1) 1) 0
− + + =
z x x z
Từ đó:
Nếu
=
z x
thì
= =
x y z
Nếu
≠z x
và
1
+ ≠
z x
và
( 1) 1
+ = −
x z
thì
1
≠ −
x
và
1
1

= −
+
z
x
,
0
≠
x
(
1
+ ≠
z x
).
Ta được:
( , , ) ( , , )
=
x y z u u u
1 1
( , , ) ( , 1 , )
1
= − − −
+
x y z u
u u
với mọi
{ 1,0}
∉ −
u
Thay vào phương trình
2 3 2 0

+ + + =
x y z
ta được nghiệm cụ thể
Câu 2. Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn

5 3 2
a b
− =
Lời giải:
. Xét b = 1 suy ra a = 1.
. Xét
2 2b a
≥ ⇒ ≥
. Ta có
( )
6k + 5 5
5 3 2 5 2 3 0 ( mod 9) 5 2( mod 9)
a = 6k + 5 ( k ) 5 = 5 5 3 mod7 3 1 ( mod 7)
a b a b a
a b
= + ⇔ − = ≡ ⇒ ≡
⇒ ∈ ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡¥
Mà 6 là cấp của 3 mod 7 suy ra b = 6m,
*
m∈¥
.
Có
( ) ( ) ( )
a b
5 1 mod4 , 3 1 mod4 5 3 0 mod4 2 4

a b
≡ ≡ ⇒ − ≡ ⇒ M
, vô lý.
Vậy (a, b) = (1, 1) là nghiệm nguyên dương của phương trình.
Câu 3. Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường tròn Ơle. Các đường cao
AX, BY, CZ đồng qui tại H. Gọi M là giao điểm của BH và XZ; N là giao
điểm của CH và XY. Chứng minh AE vuông góc với MN.
Lời giải
- Gọi (K )là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Dễ thấy A là trực tâm tam
giác HBC, đường tròn ( E ) đi qua chân 3 đường cao của tam giác HBC. Vậy
suy ra ( E) là đường tròn Ơle của tam giác HBC. Từ đó E là trung điểm của
đoạn AK.
- Để chứng minh AK vuông góc với MN ta sẽ chứng minh EK vuông góc
với MN.
Vì tứ giác BXHZ, CXHY nội tiếp nên
( ) ( )
( ) ( )
/ /
/ /
. .
. .
M K M E
N K N E
P MB MH MX MZ P
P NH NC NX NY P
= = =
= = =

M
H

A
B
C
O
K
X
Y
Z
E
N
Suy ra hai điểm M, N có cùng phương tích đối với đường tròn (E) và (K)
hay MN là trục đẳng phương của hai đường tròn này.Từ đó có MN vuông
góc với đường nối hai tâm là EK.
Câu 4. Cho các số thực a, b, c không âm và không có hai số nào cùng bằng
0. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
10
a bc b ca c ab
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
Lời giải:
- Đặt
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2

16 16 16
, ,
a bc b ca c ab
f a b c
b c c a c a
+ + +
= + +
+ + +
.
- Do vai trò a, b, c bình đẳng nên có thể giả sử
a b c≥ ≥
.
Xét
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16b 16ca
, , , ,0 =
a bc a b ca b c c a c b c c
f a b c f a b
b c b c a a a b a b
b b c a c a
+ + − −
− = − + − + + +
+ + + +
+ +
. Nếu
( )

2
2
2 2 2 2
16
16
4 16 10 (1)
b bc
a bc
a b
b c b c
+
+
≥ ⇒ ≥ ≥ >
+ +
.
. Nếu a < 4b
( ) ( )
3 2 2 2 3 2 2
16 16 0; 16ca 0 , , , ,0 (2)b a c b c a c b c f a b c f a b⇒ − ≥ − > − ≥ ⇒ ≥
Xét bất đẳng thức
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2 2
2 2 2 2
16 16
, ,0 10 10 2 8 0
8
2 16 8 8
0 0
a-b 8 0 (3)
a b ab a b ab
f a b
b a a b b a a b
a b a b a b
a a b b ab a b
a b a b a b a b
a b a b a b
≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + − + − ≥
+ +
− + −
− + − −
⇔ + ≥ ⇔ − ≥
+ +
 
⇔ + + − ≥
 
Ta có
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2

2 ; a + b 4 a + b 8 (3)a b ab ab a b a b+ ≥ ≥ ⇒ + ≥ ⇒
đúng.
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c) là hoán vị của ( a,a,0).