ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ đồng bằng bắc bộ NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên quốc học Huế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THẾN HUẾ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 10
(Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau trên tập số thực:
(
)
2 2
1 3 ( ) 5 15 6 9 .x x x x x+ = − + + −
Câu 2 (4 điểm).
Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi trên đường thẳng
∆
cắt
đường thẳng AB và
1
0;
2
k
 
∈
 ÷
 
, ( k là hằng số ). Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho

.AD kAB=
Đường tròn đường kính BD cắt đường thẳng đi qua C và trung điểm của đoạn
thẳng AB tại E và F. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay
đổi.
Câu 3 (4 điểm).
Cho là một số nguyên tố, chứng minh rằng có vô số các số
*n ∈¥
sao cho chia hết cho
p.
Câu 4 (4 điểm).
Cho
, ,a b c
là ba số thực dương thỏa mãn
3 .ab bc ca abc+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
2 2 2
.
( 2) ( 2) ( 2)
a b c
P
b a c b a c
= + +
+ + +
Câu 5 (4 điểm).
Cho tập hợp
{ }
1;2;3; ;2015 .X = K
Chứng minh rằng trong ba phần tử tùy ý của

X
luôn
có hai phần tử
1 2
,x x
sao cho
5 5
1 2
2.x x− <

HẾT
ĐÁP ÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực:
(
)
2 2
1 3 ( ) 5 15 6 9 .x x x x x+ = − + + −
4,0
Điều kiện:
5
1 .
3
x− ≤ ≤
Vì
0x =
và
1x =
đều không phải là nghiệm của phương trình nên phương
trình đã cho tương đương với:

2 2
2
2
1 3 1 4
5 15 6 9 5 15 6 9
1
1 4
16 (3 1) (2).
1
x
x x x x
x x x x
x x
x
x x
+
= + + − ⇔ + = + + −
− −
−
⇔ + = − −
−

1,0
Nếu
[
)
5
1;0 1;
3

x
 
∈ − ∪


 
thì
1 4
0
1
x x
x x
−
+ <
−
trong khi đó
2
16 (3 1) 0.x− − ≥

Vậy
[
)
5
1;0 1;
3
x
 
∈ − ∪



 
không thỏa phương trình.
1,5
Nếu
( )
0;1x ∈
thì
1 4
0, 0.
1
x x
x x
−
> >
−
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
1 4
4.
1
x x
x x
−
+ ≥
−
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
.
3
x =

Mặt khác
2
16 (3 1) 16x− − ≤
với mọi
( )
0;1x ∈
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi
1
.
3
x =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
.
3
x =
1,5
Câu 2 Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi trên đường
thẳng
∆
cắt đường thẳng AB và
1
0;
2
k
 
∈
 ÷
 

, ( k là hằng số ). Gọi D là điểm
trên cạnh AB sao cho
.AD kAB=
Đường tròn đường kính BD cắt đường
thẳng đi qua C và trung điểm của đoạn thẳng AB tại E và F. Tìm quỹ tích
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi.
4,0
d
H
I
F
E
M
D
A
B
C
Gọi M là trung điểm của AB, H
là điểm đối xứng với D qua M
thì H là điểm cố định và
BH AD=
. Vì
1
,0
2
AD kAB k= < <
nên D
thuộc đoạn AM, H thuộc đoạn
MB, M thuộc đoạn EF.
Ta có

. . .ME MF MD MB MH MA= =

do đó tứ giác AEHF là tứ giác
nội tiếp.
1,0
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là
đường trung trực của AH.
1,0
Đảo lại, với điểm I bất kỳ trên đường trung trực của AH, gọi E và F là các
giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD.
Gọi M là giao điểm của EF và AB. Khi đó
. . .ME MF MH MA MD MB
= =
, suy
ra
1
MH MB MB MH BH
MD MA MA MD AD
−
= = = =
−
, tức là M là trung điểm của HD và do
đó cũng là trung điểm của AB.
1,0
Nếu
∆
đi qua M và cắt đường tròn đường kính BD tại E,F thì quỹ tích là
một điểm I, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
0,5
Nếu

∆
không đi qua M . Khi đó qua M vẽ đường thẳng song song với
∆
cắt
đường tròn đường kính DB tại E,F thì tâm I’ của đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF không thuộc quỹ tích.
Nếu
'I I≠
:
Gọi C là điểm giao của
∆
và đường thẳng EF và không trùng với M. Khi đó
ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường tròn đường kính
BD tại hai điểm E, F và tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm I.
Lúc này quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi là
đường trung trực của đoạn thẳng AH loại trừ I’.
0,5
Câu 3 Cho là một số nguyên tố, chứng minh rằng có vô số các số
*n ∈¥
sao cho
chia hết cho .
4,0
Nếu
2015 pM
thì chọn n = kp, k là số nguyên dương bất kỳ . 1,0
Nếu , theo định lý Fermat
1 ( 1)
2015 1(mod ) 2015 1(mod )
p m p
p p

− −
≡ ⇒ ≡

*
( ).m ∈N

1,0
Lấy
1m kp= −
,
*
k ∈N
ta có
1(mod )m p≡ −
và
( 1) 1(mod ).m p p− ≡
Từ đó ta
có
( 1)
2015 ( 1)(mod ).
m p
m p p
−
≡ −
1,0
Như vậy với mọi
*
k ∈N
, đặt
1m kp= −

và
( 1)n m p= −
thì có vô số số để
(2015 )
n
n p− M
.
1,0
Câu 4
Cho
, ,a b c
là ba số thực dương thỏa mãn
3 .ab bc ca abc+ + =
Tìm giá trị nhỏ
4,0
nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
.
( 2) ( 2) ( 2)
a b c
P
b a c b a c
= + +
+ + +
Ta có
1 1 1
3 3.ab bc ca abc
a b c
+ + = ⇔ + + =

Đặt
1 1 1
; ;x y z
a b c
= = =
. Khi đó
3x y z+ + =
và
2 2 2
.
1 2 1 2 1 2
x y z
P
z x y
= + +
+ + +

1,0
Ta có
( )
2 2
3
2
2 2
3
4
2 2 2 2 7 4
. 1 2 .
1 2 1 2 3 9 9 9

3
x xz xz
x x x x z x x z x xz
z z
z
= − ≥ − = − ≥ − + = −
+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.z
=

Tương tự,
2
7 4
.
1 2 9 9
y
y xy
x
≥ −
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.x
=


2
7 4
.
1 2 9 9

z
z yz
y
≥ −
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.y =

1,0
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có:
7 4
( ) ( ).
9 9
P x y z xy yz zx≥ + + − + +

Mặt khác
2
( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + +
do đó
2
7 4
( ) ( ) 1.
9 27
P x y z x y z≥ + + − + + =
1,0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi
1x y z= = =
hay
1.a b c= = =

1,0
Câu 5
Cho tập hợp
{ }
1;2;3; ;2015 .X = K
Chứng minh rằng trong ba phần tử tùy ý
của
X
luôn có hai phần tử
1 2
,x x
sao cho
5 5
1 2
2.x x− <
Xét ba phần tử
1 2 3
, , .x x x X∈
Đặt
5
, 1,2,3.
i i
y x i= =
Ta có
[
)
1;5 .
i
y ∈
1,0

Ta chia nửa khoảng thành hai nửa khoảng và . Khi đó theo nguyên lý
Dirichlet thì ba trong số
1 2 3
, ,y y y
có hai số cùng thuộc một trong hai nửa
khoảng nói trên.
2,0
Giả sử hai số đó là và thì hai số
1 2
,x x
là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1,0
HẾT